UNIDAD 3‎ > ‎

LA ELIPSE.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

elipse
ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
  • Focos: Son los puntos fijos F y F'.
  • Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
  • Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
  • Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
  • Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
  • Distancia focal :Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
  • Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
  • Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
  • Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
  • Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
  • Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN.

Elipse Horizontal con centro en el origen

Para obtener la ecuación general de la elipse:
F'P + PF = 2a

Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a  + x2 - 2xc + c2 + y2

Simplificamos
4a  = 4a2 - 4xc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
 = a2 - xc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2

Reduciendo términos semejantes
a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2

Factorizando
x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)

Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es:



Elipse vertical con centro en el origen.

Para obtener la ecuación general de la elipse:
F'P + PF = 2a

Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
y2 + 2yc + c2 + x2 = 4a2 - 4a  + y2 - 2yc + c2 + x2

Simplificamos
4a  = 4a2 - 4yc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
 = a2 - yc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a2(y2 - 2yc + c2 + x2) = a4 - 2a2yc + y2c2

Reduciendo términos semejantes
a2y2 - y2c2 + a2x2 = a4 - a2c2

Factorizando
y2(a2 - c2) + a2x2 = a2(a2 - c2)

Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son:

Cuando la elipse es horizontal.

x = 

Cuando la elipse es vertical.

y = 

Eje Mayor = 2a
Eje Menor = 2b

EJEMPLO:


PROCESO:
Caso horizontal:

Vídeo de YouTube


Caso Vertical:

Vídeo de YouTube


ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.
Ecuación de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.
La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que:
x = x' + h
x' = x - h

y = y' + k
y' = y - k
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).

Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:


La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.


El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son:

Cuando la elipse es horizontal.

x = 

Cuando la elipse es vertical.

y = 

Eje Mayor = 2a
Eje Menor = 2b

EJEMPLO:



PROCESO:

Vídeo de YouTube


ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE:


EJEMPLOS:
  • Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)], la ecuación ordinaria , correspondiente a una elipse.

Quitamos los denominadores:

Desarrollamos los cuadrados y multiplicamos:

4(x2-4x+4)+9(y2+6y+9)=36

4x2-16x+16+9y2+54y+81=36

La acomodamos de la forma general:

4x2+9y2-16x+54y+61=0

SOLUCION:

La ecuación de la elipse en la forma general queda:

4x2+9y2-16x+54y+61=0

  •  Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)], la ecuación canónica , correspondiente a una elipse.
Quitamos los denominadores:

Desarrollamos los cuadrados y multiplicamos:

9(x2-4x+4)+4(y2+6y+9)=36

9x2-36x+36+4y2+24y+36=36

La acomodamos de la forma general:

9x2+4y2-36x+24y+36=0

SOLUCION:

La ecuación de la elipse en la forma general queda:

9x2+4y2-36x+24y+36=0

 

PROCESO:

Vídeo de YouTube


FUENTE INTERNET:

http://www.vitutor.com/geo/coni/g_1.html

http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo4/4.3.1.htm

http://www.librosz.com/2012/04/elipse-con-centro-en-el-origen.html

http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo4/4.3.2.htm

http://www.librosz.com/2012/04/elipse-con-centro-fuera-del-origen.html

http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/23.%20Elipse.pdf

http://www.fismat.umich.mx/mateduca/Carlos/geo_analitica/ejergeom/geo6.htm


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