Seno
 Definición a partir de ecuaciones diferenciales y sus propiedades

Generalidades

Cuando se estudia la función seno por lo general se saltea el aspecto de su definición formal. Ciertamente se la define en las clases de "trigonometría" como "cateto opuesto sobre hipotenusa" pero rara vez se formaliza esa noción en los estudios posteriores.

Al estudiar las series de Taylor uno se encuentra con una posible forma de definir formalmente al seno. Pero no parece muy razonable definir a una función tan omnipresente como el seno como

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! + ...

ya que no se aprecian en esta definción muchas importantes propiedades (por ejemplo me parece realmente difícil llegar desde esta definición a la periodicidad).

De las formas (que conozco) me parece como la mejor opción definir al seno como la función que satisface la ecuación diferencial

sin'' + sin = 0 [1]

y las condiciones iniciales

sin(0) = 0 [2]

y

sin'(0) = 1. [3]

Por el Teorema de Existencia de Picard (TEP en adelante) puede verse [link!] que esta es una definición válida y, ciertamente, tiene una importante conexión física; ya que es un caso especial de la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple.

Propiedades varias

A continuación analizo distintas propiedades elementales de la función seno en base a la definición dada arriba.

Propiedad 1

sin^2 + (sin')^2 = 1 [4]

Demostración

(sin^2 + (sin')^2)' = 2 sin sin' + 2 sin' sin''

= 2 sin sin' - 2 sin' sin (sin'' = -sin por [1])

= 0

sin^2(0) + (sin')^2(0) = 0^2 + 1^2 = 1 (por [2] y [3])

Vemos que f = sin^2 + (sin')^2 cumple con f' = 0 y f(0) = 1. Fácilmente se ve que f = 1 es una solución a esa ecuación diferencial y, por el TEP, es la únicasolución.

Q.E.D.

Propiedad 2

f'' + f = 0 & f(0) = b & f'(0) = a -> Ea: Eb: f = a sin + b sin'

Demostración

Tomamos como hipótesis f'' + f = 0, f(0) = b y f'(0) = a. Elegimos una función g(x) = a sin(x) + b sin'(x). Vemos si cumple las condiciones:

g'' + g = a sin'' + b sin''' + a sin + b sin'

= -a sin + b (sin'')' + a sin + b sin'

= -a sin - b sin' + a sin + b sin'

= 0

g(0) = a sin(0) + b sin'(0)

= 0 + b

= b

g'(0) = a sin'(0) + b sin''(0)

= a + 0

= a.

Por el TEP es la única solución y, por lo tanto, f(x) = g(x) = a sin(x) + b sin'(x).

Q.E.D.

Propiedad 3

sin(a+b) = sin(a) sin'(b) + sin'(a) sin(b) [5]

Demostración

Para simplificar a las expresiones hacemos f(x) = sin(a + x). Entonces vemos que

f''(x) + f(x) = (sin(a+x))'' + sin(a+x)

= sin''(a+x) + sin(a+x)

= -sin(a+x) + sin(a+x)

= 0

f(0) = sin(a+0)

= sin(a)

f'(0) = sin'(a + 0)

= sin'(a).

Por la Propiedad 2, tenemos que

f(x) = sin'(a) sin(x) + sin(a) sin'(x)

y, por lo tanto,

sin(a+b) = sin(a) sin'(b) + sin'(a) sin(b)

Q.E.D.

Periodicidad

Una de las características más notables de la función seno es su periodicidad, lo que la diferencia (junto con las otras funciones trigonométricas) del resto de las funciones elementales.

Para demostrar la periodicidad procederé en dos pasos: primero voy a demostrar que la función seno tiene ceros en los reales positivos y luego que esto implica la periodicidad.

Existencia de ceros positivos en la función seno

Para demostrar este punto voy a hacer una prueba por reducción al absurdo, o sea voy a suponer que no hay ningún valor de x positivo tal que sin(x) = 0 y voy a llegar a una contradicción. Empezamos suponiendo:

Ax > 0: sin(x) != 0.

Como sabemos que la derivada de sin(x) es continua y positiva en x = 0, podemos afirmar que

Ee > 0: Ax > 0: x < e -> sin(x) > 0,

o sea que para valores de x positivos cercanos a 0, sin(x) es estrictamente positiva. Combinando ésto con lo anterior y con el Teorema de Bolzano, se llega a la conclusión de que

Ax > 0: sin(x) > 0. [6]

Por [1] sabemos que [6] implica

Ax > 0: sin''(x) < 0

y, por lo tanto el hecho de que sin' sea monótona decreciente. Como [4] implica que sin y sin' son funciones acotadas inferiormente por -1, el hecho de que sin' sea decreciente implica el hecho de que

E lim (x->inf) sin'(x) = L >= -1

Siendo L >= -1 se pueden ver dos casos: L >= 0 y L < 0. Para finalizar analizo cada caso por separado y veo que ambos conducen a una contradicción.

Caso L >= 0

L >= 0 junto con sin' monótona decreciente implican que sin'es estrictamente positiva. Y esto nos lleva a que sin sea monótona creciente. Como sabemos de [6] que sin(1) = k > 0, siendo k un valor positivo, podemos decir que

Ax > 1: sin(x) >= k > 0

Ax > 1: sin''(x) <= k < 0 (por ser sin'' = -sin).

De esto podemos deducir [insertar referencia de acotación por integrales!]

Ax > 1: sin'(x) <= sin'(1) - k(x-1)

y, por consiguiente, que sin' no es una función acotada inferiormente lo que contradice [4].

Caso L < 0

Si el límite de sin' es L < 0, entonces sabemos que

Ek > 0: Ax >= k: sin'(x) <= L/2 < 0.

Aplicando nuevamente [insertar referencia de acotación por integrales!] tenemos que

Ek > 0: Ax >= k: sin(x) <= sin(k) - (L/2) (x - k),

lo que implica que sin(x) no es acotada en contradicción con [4].

Q.E.D.

Definición de π y expresión de los ceros de la función seno

Para probar la existencia de π vamos primero a demostrar que existe un espacio mínimo entre los ceros de la función sin, a continuación usamos ésto para probar la existencia de π (al que definimos en ese momento) y finalmente probamos que ésto implica que todos los ceros de sin son múltiplos de π.

Separación de los ceros de sin

Supongamos que existen dos ceros de la función sin, x1 y x2, tales que x2 > x1 y x2 - x1 < 1. Por el Teorema de Rolle [link!] sabemos que ésto implica que existe un x3 tal que sin' se anula en x3 y que x1 < x3 < x2. Por [4] sabemos que ésto implica que

|sin(x3)| = 1.

Aplicando el Teorema del Valor Medio [link!] tenemos que

Ex4 in (x1, x3): sin'(x4) = (sin(x3) - sin(x1))/(x3 - x1)

= sin(x3)/(x3 - x1) (por sin(x1) = 0).

Como sabemos que x3 in (x1, x2) y que x2 - x1 < 1, podemos ver que 0 < x3 - x1 < 1. Tomando módulos llegamos a

Ex4 in (x1, x3): |sin'(x4)| = |sin(x3)|/|x3 - x1| (por propiedad del valor absoluto)

> |sin(x3)| (por propiedad del cociente y |x3 - x_1| < 1)

> 1 (por |sin(x3)| = 1)

Ésto estaría en contradicción con [4], por lo que llegamos a la conclusión que todos los ceros de sin están separados al menos por uno:

∀x1, x2: sin(x1) = sin(x2) = 0 ⇒ |x2 - x1| ≥ 1

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[To be continued...]