Isometrías en Rn

Estudio de las transformaciones que preservan la distancia entre puntos de Rn

Generalidades

Se denomina isometría a un automorfismo de un espacio (función que va de un espacio a si mismo) que preserva una cierta métrica del mismo, o sea una determinada noción de distancia entre los puntos del msmo. En esta página veo que forma toman las isometrías de Rn con la métrica normal,

d(p,q) = [(p-q).(p-q)]1/2.

Forma general

Es fácil ver que toda isometría toma la forma de una translación compuesta con una transformación que deja invariante al origen: supongamos que f es una isometría de Rn

f: Rn → Rn

y

∀p,q: d(p,q) = d(f(p),f(q)).

Definamos g como g(p) = f(p) - f(0) y h como h(p) = g(p) + f(0), entonces tenemos

∀q: h(q) = g(q) + f(0) = f(q) - f(0) + f(0) = f(q)

y el hecho de que g es una isometría ya que

∀p,q: d(g(p),g(q)) = d(f(p) - f(0), f(q) - f(0))(por definición de g)

= ||(f(p) - f(0)) - (f(q) - f(0))||(por ser métrica euclidiana)

= ||f(p) - f(0) - f(q) + f(0)||

= ||f(p) - f(q)||

= d(f(p), f(q))(por ser métrica euclidiana)

= d(p, q)(por ser f isometría)

Por lo tanto toda isometría f puede escribirse como la composición de una translación (consistente en sumar f(0)) y una isometría g que deja fijo el origen.

Linealidad

A continuación vemos porque una isometría que deje fijo el origen debe ser lineal. Una transformación T cualquiera (la que suponemos va de Rn a Rn) es lineal si cumple dos condiciones:

  • ∀a,b ∈ Rn: T(a+b) = T(a) + T(b) [1]
  • ∀a ∈ Rn, ∀λ ∈ R: T(λ a) = λ T(a) [2]

Ahora supongamos que f es una isometría que deja fijo al origen, por lo tanto sabemos que

f(0) = 0

y

∀x, y ∈ Rn: d(x, y) = d(f(x), f(y)).

Vamos a probar que f debe ser lineal demostrando primero unas propiedades y usándolas luego para probar primero que es lineal frente a las sumas ([1]) y luego que lo es frente a los productos por escalares ([2]).

Propiedades varias

Lema 1

∀u, v ∈ Rn: u•v = ||u||2 ∧ ||u|| = ||v|| ⇒ u = v

Demostración

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Lema 2

∀u, v ∈ Rn: ||u|| = ||v|| ∧ ||u + v|| = 2||u|| ⇒ u = v

Demostración

||u+v||2 = 4 ||u||2 (por ||u+v|| = 2 ||u||)
(u+v)•(u+v) = 3 ||u||2 + ||v||2 (por propiedad de ||.|| y ||u|| = ||v||)
||u||2 + 2 u•v + ||v||2 = 3 ||u||2 + ||v||2 (por propiedad de ||.|| y propiedad distributiva)
u•v = ||u||2 (resto ||u||2 + ||v||2 de ambos lados y divido por 2 de ambos lados)
u = v (por Lema 1)

Propiedad 1

||v|| = ||f(v)||

Demostración

||v|| = ||v - 0||(por ser 0 elemento neutro frente a -)

= ||f(v) - f(0)||(por ser f isometría)

= ||f(v) - 0||(por ser f(0) = 0)

= ||f(v)||(por ser 0 elemento neutro frente a -)

Propiedad 2

f(-v) = -f(v)

Demostración

Por un lado sabemos que

||f(-v)|| = ||-v||(Por Prop 1)

= ||v||(Por propiedad de ||.||)

= ||f(v)||(Por Prop 1)

mientras que por el otro sabemos que

||f(v) - f(-v)|| = ||v - (-v)||(Por ser f isometría)

= ||v + v||(Por propiedad de Rn)

= 2 ||v||(Por propiedad de Rn y ||.||)

= 2 ||f(v)||(Por ser f isometría)

.

Por el Lema 2 sabemos que ésto solo puede darse si tenemos

f(-v) = -f(v)

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Propiedad 3

f(u)•f(v) = u•v

Demostración

f(u)•f(v) = (1/4)(||f(u)+f(v)||2 - ||f(u)-f(v)||2)([insertar referencia!])

= (1/4)(||u+v||2 - ||u-v||2)(Por ser f isometría y por la Prop 2)

Linealidad frente a sumas

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[Under construction!]