1. Définitions
L’incertitude, au sens large, d’une mesure est la zone au sein de laquelle se trouve probablement la valeur vraie. C’est donc un indicateur de qualité.
2. Les incertitudes de mesure
On distingue différentes sortes d'erreurs :
a. Les erreurs systématiques se produisent lorsqu'on emploie des instruments mal étalonnés. Pour les mesures effectuées dans le cadre de travaux pratiques, elles n'ont en général qu'une signification de second plan.
b. Les erreurs accidentelles causées par l'expérimentateur lui‐même ne peuvent pas être évitées. L'observateur doit d'être conscient des erreurs accidentelles de mesure.
3. Calculs d'incertitudes (méthode)
a. Déterminer l’expression algébrique des incertitudes d’une grandeur en calculant les différentielles → dU ou les différentielles logarithmiques → d(ln(U)) = dU/U.
b. Regrouper les termes semblables par une mise en facteur des différents éléments dx, dy etc.
c. Passer aux incertitudes absolues ᐃ en prenant les valeurs absolues des coefficients des erreurs : dU → ᐃU et dU/U → ᐃU/U
d. Effectuer le calcul numérique et donner l’expression du résultat.
4. Quelques cas simples souvent rencontrés en pratique
Somme/différence : Y = a + b - c
dY= da + db - dc. Dans une somme (ou différence), les erreurs absolues s’additionnent → ᐃY= ᐃA + ᐃB + ᐃC.
Produit : Y= a * b
dY= adb + bda → ᐃY= bᐃa + aᐃb. Dans un produit (quotient), les erreurs relatives s’additionnent. Pour le calcul de l'erreur relative, on divise par Y → ᐃY/Y= ᐃa/a + ᐃb/b.
Constante : Y= k*a*b (k=Cte)
ᐃY= k(bᐃa + aᐃb) → ᐃY/Y= ᐃa/a + ᐃb/b , la constante disparaît.
Produit/Quotient : Y= a*b/c
On passe aux logarithme → Ln(Y)= Ln(a)+Ln(b)-Ln(c) → puis aux différentielles → dY/Y= da/a + db/b - dc/c → puis aux erreurs relatives → ᐃY/Y= ᐃa/a + ᐃb/b + ᐃc/c.
Attention : les erreurs absolues s’additionnent.
5. Présentation des résultats
Le résultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs tel fixé par le calcul d'incertitudes.
Exemples
Soit à afficher 2 valeurs expérimentales avec leurs incertitudes :
m1 = 3,58162 mg ; ᐃm1 = 0,0381 mg et m2 = 42,185762 mg ; ᐃm2 = 0,00624 mg
Pour ᐃm1 on garde le 1er chiffre significatif qui est 3. Pour ᐃm2 le 1er chiffre significatif est 6.
Puis on regarde le chiffre après (8 pour le 1er et 2 pour le 2e) :
ᐃm1 = 0,0381 mg et ᐃm2 = 0,00621 mg
Ces deux chiffres (8 et 2) sont > à 0, alors dans ce cas il y a majoration : ᐃm1= 0,04 mg et ᐃm2= 0,007 mg.
Pour exprimer le résultat, on prend le même nombre de décimales que pour ᐃmi :
Pour m1 = 3,58162 mg → le 3e chiffre (1) est < 5 alors on garde 3,58 :
(m1 ± ᐃm1) = (3,58 ± 0,04) mg
Pour m2= 42,185762 mg → le 4e chiffre (7) est ≥ 5 alors majoration (5+1= 6 → 42,186).
(m2 ± ᐃm2) = (42,186 ± 0,007) mg