Cours (1) du 14 janvier 2013 : rappels sur les topos de Grothendieck, par O. Caramello



Prise de vue et montage : S. Dugowson


Categorical preliminaries

Review of the theory of Grothendieck toposes and the relevant categorical background: limits, colimits, exponentials, subobject classifier, associated sheaf functor, subcanonical sites, morphisms of sites, geometric morphisms, flat functors, the Comparison Lemma


 

Introduction : les topos de Grothendieck comme ponts unifiant les mathématiques

Intro



Espaces / Univers 

espaces et univers



Faisceaux sur un espace topologique

faisceaux sur un espace topologique


 

Recouvrements généralisés et topologies de Grothendieck

Remarque du webmaster et qui n'engage que lui : une topologie de Grothendieck est une structure de recouvrement dont on munit une catégorie qui, dans le cas de référence de la topologie usuelle, est déjà une topologie. Il est donc important de bien distinguer les deux niveaux : celui de la petite catégorie considérée (par exemple une topologie sur un ensemble), et celui de la structure de recouvrement (topologie de Grothendieck sur la petite catégorie considérée).

recouvrements, TG


Faisceaux sur un site. Topos de Grothendieck

sites, faisceaux, topos


 

L'idée centrale de ce cours : la non-canonicité comme atout

non-canonicite


Exemples de topologies de Grothendieck (topologies usuelles; triviale; atomique)

exemples de TG


Morphismes géométriques.

morphismes geometriques


 

Sheafification (faisceautisation)

(référence : [SGL], pages 128 à 134)

Sheavification


Remarque sur le plongement dans un topos

Plongement



 

Topologies sous-canoniques

topologies sous-canoniques



 

Propriétés des topos

Limites & co 

Limites & co


Exponentielle

Exponentielle


Classificateur de sous-objets

Classificateur de sous-objets



 

Morphismes (de sites, de topos; essentiels)


morphismes (de site, de topos, essentiels)



 

Morphismes géométriques et foncteurs plats


foncteurs plats



Lemme de comparaison de Grothendieck


Lemme de comparaison



 

Exemples

Espaces de Stone; espaces d'Alexandrov

exemples, dualite


Ici, ma caméra est tombée en panne sèche... J'ai donc poursuivi avec mon téléphone :

Algèbres de Boole complètes et atomiques

Algebres de Boole completes et atomiques


Références


[SGL] Sheaves in Geometry and Logic, S. Mac Lane and I. Moerdijk, Springer (1992).

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