Catégories pour la physique, par Marc Lachièze-Rey (27 mars 2014)

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Introduction

Intérêt des catégories

Relier des objets de natures très différentes 

Discret/continu

Remarque : certaines théories physiques ne peuvent s'exprimer qu'en termes de catégories

Importance des relations pour la physique

Physique, géométrie et topos

Catégories et compréhension : exemple des connections

Quatre questions

Objets ?

Relations ?

Math/phys ?

Catégories ?

Rappels sur les catégories

Catégories

Catégorie des ensembles

Classifiant des sous-ensembles

Espaces vectoriels

Espaces de Hilbert

Groupes

Catégories fonctorielles

Transformations naturelles


Concepts internes au topos de la physique quantique (exemple : groupes internes)

"Objets-groupes"

Dans le topos de la physique quantique ?

Le passage du classique au quantique vu comme un changement de topos ?




Cobordisme

Définition

Spécificité de la catégorie Cob par rapport à Set

Produit tensoriel et adjonction. 


Un miracle 

John Baez : Hilb... Miracle ?!?

Théorie de champ (Attiyah) = foncteur...



Catégories tensorielles

Représentations

Feynmanologies

Rep(G)

Diagrammes de Feynman. 

Particules de Wigner.



Théorie quantique des champs topologiques

TQFT

Categorical quantum mechanics (Abramsky/ Coecke)

Category of quantum computation



Topos


Algébres de Heyting et logique des propositions quantiques

Passer de la logique interne à la logique externe.

Exemple : algèbres non commutatives / algèbres commutatives


Isham / Döring : what is a thing ?


Catégorie des contextes et topos quantique


Ensembles causaux (Causets)



Théories de Jauge


Actions globales/locales du groupe de jauge



La gravité quantique en termes de groupoïdes


Ref : John C. Baez



Conclusion



Discussion

Vidéo YouTube


Références

Marc Lachièze-Rey :


 "Categories and Physics", article soumis (2014)


Abramsky & Coecke

Categorical quantum mechanics


John C. Baez


Isham / Döring 

what is a thing ?


Table des matières détaillée


Table des matières

  1. 1 Introduction
    1. 1.1 Intérêt des catégories
      1. 1.1.1 Relier des objets de natures très différentes 
      2. 1.1.2 Discret/continu
      3. 1.1.3 Remarque : certaines théories physiques ne peuvent s'exprimer qu'en termes de catégories
      4. 1.1.4 Importance des relations pour la physique
      5. 1.1.5 Physique, géométrie et topos
      6. 1.1.6 Catégories et compréhension : exemple des connections
    2. 1.2 Quatre questions
      1. 1.2.1 Objets ?
      2. 1.2.2 Relations ?
      3. 1.2.3 Math/phys ?
      4. 1.2.4 Catégories ?
    3. 1.3 Rappels sur les catégories
      1. 1.3.1 Catégories
      2. 1.3.2 Catégorie des ensembles
      3. 1.3.3 Classifiant des sous-ensembles
      4. 1.3.4 Espaces vectoriels
      5. 1.3.5 Espaces de Hilbert
      6. 1.3.6 Groupes
      7. 1.3.7 Catégories fonctorielles
      8. 1.3.8 Transformations naturelles
    4. 1.4 Concepts internes au topos de la physique quantique (exemple : groupes internes)
      1. 1.4.1 "Objets-groupes"
      2. 1.4.2 Dans le topos de la physique quantique ?
      3. 1.4.3 Le passage du classique au quantique vu comme un changement de topos ?
  2. 2 Cobordisme
    1. 2.1 Définition
      1. 2.1.1 Spécificité de la catégorie Cob par rapport à Set
    2. 2.2 Produit tensoriel et adjonction. 
    3. 2.3 Un miracle 
      1. 2.3.1 John Baez : Hilb... Miracle ?!?
      2. 2.3.2 Théorie de champ (Attiyah) = foncteur...
  3. 3 Catégories tensorielles
    1. 3.1 Représentations
    2. 3.2 Feynmanologies
      1. 3.2.1 Rep(G)
      2. 3.2.2 Diagrammes de Feynman. 
      3. 3.2.3 Particules de Wigner.
  4. 4 Théorie quantique des champs topologiques
    1. 4.1 TQFT
      1. 4.1.1 Categorical quantum mechanics (Abramsky/ Coecke)
      2. 4.1.2 Category of quantum computation
  5. 5 Topos
    1. 5.1 Algébres de Heyting et logique des propositions quantiques
      1. 5.1.1 Passer de la logique interne à la logique externe.
      2. 5.1.2 Exemple : algèbres non commutatives / algèbres commutatives
      3. 5.1.3 Isham / Döring : what is a thing ?
    2. 5.2 Catégorie des contextes et topos quantique
  6. 6 Ensembles causaux (Causets)
  7. 7 Théories de Jauge
    1. 7.1 Actions globales/locales du groupe de jauge
  8. 8 La gravité quantique en termes de groupoïdes
    1. 8.1 Ref : John C. Baez
  9. 9 Conclusion
  10. 10 Discussion
  11. 11 Références
    1. 11.1 Marc Lachièze-Rey :
      1. 11.1.1  "Categories and Physics", article soumis (2014)
    2. 11.2 Abramsky & Coecke
      1. 11.2.1 Categorical quantum mechanics
    3. 11.3 John C. Baez
    4. 11.4 Isham / Döring 
      1. 11.4.1 what is a thing ?
  12. 12 Table des matières détaillée

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