Les topos de Grothendieck et les rôles qu'ils peuvent jouer en mathématiques, par Laurent Lafforgue (1er avril 2016, Nantes)



Vidéo de la première heure de la conférence de Laurent Lafforgue. 
La vidéo complète de l'exposé de Laurent Lafforgue se trouve sur

Le texte de référence est là :

Olivia CARAMELLO, Laurent LAFFORGUE -
Sur la dualité des topos et de leurs présentations et ses applications : une introduction septembre 2016. 

Ce texte est une version écrite enrichie des notes d'un exposé donné à l'Université de Nantes le 1er avril 2016. Il a été rédigé par le second auteur, à partir de notes succinctes et d'expositions orales du premier auteur. Il peut servir d'introduction à la technique des topos comme ponts et à ses applications, en particulier pour les géomètres peu familiers de la logique catégorique et de la théorie des topos classifiants.






[0-1'30] Plan général




[1'30-15'30] Présentation du plan détaillé






(I) Symétries et invariants [16']

(0) La notion d'invariant des topos (suivi de quatre exemples) [16']

Qu'est-ce qu'un topos ?

La définition formelle des topos ne dit pas intuitivement leur importance

D'après Récoltes & Semailles, Grothendieck avait compris l'importance des topos

Les topos sont des catégories particulières, équivalentes aux catégories de faisceaux sur un site (où il y a des recouvrements)

Topos des préfaisceaux sur une (petite) catégorie (exemple : ensembles simpliciaux)

Morphismes de topos (couples de foncteurs adjoints, le réciproque étant exact)

Premier exemple de topos : le topos des ensembles (23']

Deuxième exemple : topos classifiant d'un groupe (= topos des ensembles avec action du groupe)

La 2-catégorie des topos. Equivalence de topos

Deux groupes discrets sont isomorphes ssi leurs topos classifiants sont équivalents

Mais deux groupes topologiques non isomorphes peuvent avoir le même topos classifiant (si ces groupes ont les mêmes actions)

Un point de vue aussi révolutionnaire que l'invention des groupes par Galois

Troisième exemple : topos des faisceaux sur un espace topologique

Topos des faisceaux équivariants (combine espaces topologiques et groupes)


(1). Les points [28'50"]

Définition d'un point d'un topos [30'] 

Adjonction entre ensembles et faisceaux sur un espace topologique 

Apparition de nouveaux points s'ajoutant aux espaces topologiques généraux [31']

Sans les topos, nous manquons des points essentiels

Les intervalles sont les points du topos des ensembles simpliciaux [32']

Exemple : l'intervalle [0,1] donne la réalisation géométrique des ensembles simpliciaux...

Points du classifiant d'un groupe [33'50]

Les groupes discrets n'ont qu'un point

Isomorphismes d'un point

Autre exemple de surprise avec les topos : le Topos des fréquences, un exemple tout neuf d'Alain Connes et Caterina Consani

The Scaling Site,  A. Connes et C. Consani, disponible depuis le 19 septembre 2015 : [PDF]


Voir aussi sur le présent site la conférence de C. Consani :"On the geometry of the adele class space of Q"

Théories (géométriques du 1er ordre) associées à un topos [39']

(ex. de th. géo du 1er ordre : th des groupes, des corps, des anneaux, etc... et autres th algébriques)

La catégorie des points d'un topos donné s'identifie à la catégorie des modèles ensemblistes de plein de théories différentes [41']

(les groupes sont donc les points d'un topos, et ces points peuvent aussi être interprétés comme modèles ensemblistes d'autres théories).

(2). Les sous-topos d'un topos [41'30]

Co-algèbre de Heyting des sous-topos (45']

(3). Invariants cohomologiques 

(4). Invariants homotopiques 

(5). Cinq exemples de propriétés invariantes 

Atomicité

Bivalence

Booléanité

"De Morgan"

Type Préfaisceau

(6). Exemples de constructions invariantes


(II) Richesse et profondeur des topos (de Grothendieck)

(1) Généralité des topos : ils s'appliquent à peut-être toutes les parties des mathématiques

(2) Richesse et profondeur technique de la théorie des présentations des topos

Dualité entre les topos et leurs présentations

(3) Caractère calculatoire des topos

(4) Logique interne d'un topos. 

Diversité des logiques, au-delà du seul couple (vrai / faux)

(5) Souplesse de la logique [82']


(III) Les topos comme ponts entre théories mathématiques (théorie de Caramello) [85']

(1) Notion d'équivalence de Morita

(2) Exploitation des équivalences de Morita

(3) Dualité entre Réel et Imaginaire

Du monde réel des grandes théories mathématiques au monde imaginaire, puis recrudescente...

Références



Olivia CARAMELLO, Laurent LAFFORGUE -
Sur la dualité des topos et de leurs présentations et ses applications : une introduction,  septembre 2016. 

Ce texte est une version écrite enrichie des notes d'un exposé donné à l'Université de Nantes le 1er avril 2016. Il a été rédigé par le second auteur, à partir de notes succinctes et d'expositions orales du premier auteur. Il peut servir d'introduction à la technique des topos comme ponts et à ses applications, en particulier pour les géomètres peu familiers de la logique catégorique et de la théorie des topos classifiants.




Table détaillée



Table des matières

  1. 1 (I) Symétries et invariants [16']
    1. 1.1 (0) La notion d'invariant des topos (suivi de quatre exemples) [16']
      1. 1.1.1 Qu'est-ce qu'un topos ?
      2. 1.1.2 La définition formelle des topos ne dit pas intuitivement leur importance
      3. 1.1.3 D'après Récoltes & Semailles, Grothendieck avait compris l'importance des topos
      4. 1.1.4 Les topos sont des catégories particulières, équivalentes aux catégories de faisceaux sur un site (où il y a des recouvrements)
      5. 1.1.5 Topos des préfaisceaux sur une (petite) catégorie (exemple : ensembles simpliciaux)
      6. 1.1.6 Morphismes de topos (couples de foncteurs adjoints, le réciproque étant exact)
      7. 1.1.7 Premier exemple de topos : le topos des ensembles (23']
      8. 1.1.8 Deuxième exemple : topos classifiant d'un groupe (= topos des ensembles avec action du groupe)
      9. 1.1.9 La 2-catégorie des topos. Equivalence de topos
      10. 1.1.10 Deux groupes discrets sont isomorphes ssi leurs topos classifiants sont équivalents
      11. 1.1.11 Mais deux groupes topologiques non isomorphes peuvent avoir le même topos classifiant (si ces groupes ont les mêmes actions)
      12. 1.1.12 Un point de vue aussi révolutionnaire que l'invention des groupes par Galois
      13. 1.1.13 Troisième exemple : topos des faisceaux sur un espace topologique
      14. 1.1.14 Topos des faisceaux équivariants (combine espaces topologiques et groupes)
    2. 1.2 (1). Les points [28'50"]
      1. 1.2.1 Définition d'un point d'un topos [30'] 
      2. 1.2.2 Adjonction entre ensembles et faisceaux sur un espace topologique 
      3. 1.2.3 Apparition de nouveaux points s'ajoutant aux espaces topologiques généraux [31']
      4. 1.2.4 Sans les topos, nous manquons des points essentiels
      5. 1.2.5 Les intervalles sont les points du topos des ensembles simpliciaux [32']
      6. 1.2.6 Exemple : l'intervalle [0,1] donne la réalisation géométrique des ensembles simpliciaux...
      7. 1.2.7 Points du classifiant d'un groupe [33'50]
      8. 1.2.8 Les groupes discrets n'ont qu'un point
      9. 1.2.9 Isomorphismes d'un point
      10. 1.2.10 Autre exemple de surprise avec les topos : le Topos des fréquences, un exemple tout neuf d'Alain Connes et Caterina Consani
      11. 1.2.11 The Scaling Site,  A. Connes et C. Consani, disponible depuis le 19 septembre 2015 : [PDF]
      12. 1.2.12 Théories (géométriques du 1er ordre) associées à un topos [39']
      13. 1.2.13 (ex. de th. géo du 1er ordre : th des groupes, des corps, des anneaux, etc... et autres th algébriques)
      14. 1.2.14 La catégorie des points d'un topos donné s'identifie à la catégorie des modèles ensemblistes de plein de théories différentes [41']
    3. 1.3 (2). Les sous-topos d'un topos [41'30]
      1. 1.3.1 Co-algèbre de Heyting des sous-topos (45']
    4. 1.4 (3). Invariants cohomologiques 
    5. 1.5 (4). Invariants homotopiques 
    6. 1.6 (5). Cinq exemples de propriétés invariantes 
      1. 1.6.1 Atomicité
      2. 1.6.2 Bivalence
      3. 1.6.3 Booléanité
      4. 1.6.4 "De Morgan"
      5. 1.6.5 Type Préfaisceau
    7. 1.7 (6). Exemples de constructions invariantes
  2. 2 (II) Richesse et profondeur des topos (de Grothendieck)
    1. 2.1 (1) Généralité des topos : ils s'appliquent à peut-être toutes les parties des mathématiques
    2. 2.2 (2) Richesse et profondeur technique de la théorie des présentations des topos
      1. 2.2.1 Dualité entre les topos et leurs présentations
    3. 2.3 (3) Caractère calculatoire des topos
    4. 2.4 (4) Logique interne d'un topos. 
      1. 2.4.1 Diversité des logiques, au-delà du seul couple (vrai / faux)
    5. 2.5 (5) Souplesse de la logique [82']
  3. 3 (III) Les topos comme ponts entre théories mathématiques (théorie de Caramello) [85']
    1. 3.1 (1) Notion d'équivalence de Morita
    2. 3.2 (2) Exploitation des équivalences de Morita
    3. 3.3 (3) Dualité entre Réel et Imaginaire
      1. 3.3.1 Du monde réel des grandes théories mathématiques au monde imaginaire, puis recrudescente...
  4. 4 Références
  5. 5 Table détaillée
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