Temps et incomplétude : genèse et développements de l’approche catégorique des MES, par Andrée Ehresmann (11 janvier 2014)

(exposé donné dans le cadre du séminaire Mamuphi)

***

A l'exception de la première séquence
de la 
deuxième partie de l'exposé de Mme Ehresmann,
 filmée par Michael Wrightles séquences vidéos 
de cette page ont été réalisées par S. Dugowson 

Mise en page : S. Dugowson


Avertissement : comme d'habitude sur ce
  site CLE, les vidéos sont placées après les
titres, textes et images qui s'y rapportent.



Andrée C. EHRESMANN
Université de Picardie Jules Verne
ehres [at] u-picardie.fr


Toutes les diapos reproduites sur cette page sont d'Andrée Ehresmann.

Présentation de l'exposé

Table des matières condensée 

(une table des matières détaillée se trouve en bas de page)

Texte de présentation (Andrée Ehresmann)


 
Pour répondre à diverses questions posées sur les MES et les D-MES et sur leur lien avec l’approche catégorique de Charles Ehresmann, je commencerai par expliquer la vision particulière des catégories qu’il a développée en relation avec sa conception de la Géométrie. En effet, ayant été témoin de ses travaux pendant plus de 20 ans et ayant collaboré avec lui, mon approche des catégories reflète la sienne, même si ma formation en Analyse m’a conduite à introduire des dimensions temporelles (temps comme ’changement’) et une approche de l’incomplétude de manière plus explicite, comme je l’expliquerai dans une seconde partie. 


Après sa thèse (1934) sur la topologie des espaces homogènes, Charles cherche à fonder la Géométrie Différentielle. Pour cela, il donne une définition générale des structures locales associées à un pseudogroupe de transformations, avec pour exemples les espaces fibrés ou feuilletés. Le pseudogroupe est vite remplacé par un groupoïde, puis en 1957 (dans son premier article utilisant le mot "catégorie") par une catégorie ; ceci le conduit aux notions d’action d’une catégorie (locale) et d’espèces de structures (locales), ainsi qu’à un Théorème du "faisceau associé" pour des topologies sans points.

En 1963, les notions de catégories locales, topologiques, différentiables, doubles,... sont unifiées par l’introduction des catégories p-structurées et de leurs actions, où p : H → Ens est un foncteur fidèle. Ceci se fait par relèvement dans H de ’l’idée de catégorie’ (formée des applications source, but et composition). En 1966, cette ’idée de catégorie’ est étendue en ’l’esquisse de catégorie’ dont les modèles dans une catégorie quelconque sont les catégories internes. Ceci est à la base de la théorie des esquisses qui cherche à décrire non seulement des "structures algébriques" classiques (Lawvere, Bénabou,...), mais aussi d’autres structures telles que les catégories (conçues comme généralisation des groupes et espaces ordonnés). Dans un article commun (1972) nous associons de manière constructive à une esquisse son prototype ("plus petit modèle") par contraste avec l’approche logique qui lui associerait sa théorie (couvrant toutes les présentations possibles).

Au total, ces notions forment une vision très particulière des catégories qui se reflète dans les MES, et à distinguer par exemple d’une approche toposique.

Dans une seconde partie, je chercherai à répondre à certaines des questions suscitées par l’exposé de Mathias Béjean (mamuphi, 7 décembre 2013) sur les D-MES en expliquant notamment comment :

1. La notion de semi-faisceau permet de prendre en compte le ’devenir en acte’. Un semi-faisceau (modélisant une action partielle du temps) est formé de catégories configurations, chacune représentant l’état du système à un certain instant, reliées entre elles par les transitions (foncteurs partiels) qui mesurent le changement.

2. Les transitions sont engendrées par complexifications successives traduisant la perte et/ou l’adjonction de composants ; ce processus sera illustré sur des exemples simples (coupures de Dedekind) et plus complexes (élargissement d’une fibration).

3. Dans un MES, la complexification permet de penser et décrire la formation d’une mémoire flexible (grâce au principe de multiplicité), avec émergence de composants multi-facettes d’ordre supérieur formant un ’noyau archétypal’. La mémoire joue un rôle de médiateur crucial entre les différents co-régulateurs. L’action globale résulte des interactions entre leurs actions locales, chacun opérant avec sa propre temporalité et avec les informations partielles recueillies dans son ’paysage’ actuel.

4. L’activation du noyau archétypal permet la formation de ’macro-paysages’ collectifs (i.e. impliquant plusieurs co-régulateurs) de plus longue durée, dans lesquels l’émergence d’un ’vraiment nouveau’ est appréhendée via le "Théorème de complexification itérée". Cette vision de l’émergence permet notamment de comprendre comment une notion nouvelle introduite localement peut se transformer en un objet archétypal, puis, au cours du temps, prendre une valeur universelle (exemple : certaines notions mathématiques incontournables).



Présentation par François Nicolas

Esquisses et topos

Adjonction et coupures de Dedekind



Présentation et plan par Andrée Ehresmann

Deux parties : 

Première partie : approche des catégories par Charles Ehresmann

(Deuxième partie : compléments sur les MES [memory evolutive systems])


Première partie : approche des catégories par Charles Ehresmann

Au commencement était l'action ! 
Faust 
Goethe

Vue d'ensemble : des espaces homogènes aux esquisses et aux prototypes dans le système évolutif des travaux de Charles Ehresmann


"Au commencement était l'action" 

L'ambition : fonder la Géométrie Différentielle.

Des espaces homogènes aux structures locales (1930-1956) : comment localiser une notion ?

Un espace homogène est une variété sur laquelle un groupe de Lie opère transitivement.


 " C'est l'exposé d'Elie Cartan sur les espaces localement euclidiens et le livre de Veblen-Whitehead sur The foundation of Differential Geometry qui m'ont conduit à étudier les espaces localement homogènes de Lie et à chercher une définition générale des structures de caractère local. " 

C. Ehresmann, 1955



Pseudo-groupe de transformations (les transformations d'un pseudo-groupe sont définies localement, et se recollent)

Espaces localement isomorphes à  D pour le pseudo-groupe de transformations G. Cartes. Atlas.

Espèce de structures locales associées à un pseudo-groupe de transformations

 (exemples : les espaces fibrés; les  feuilletés).





Remarque : à la fin de la guerre, l'éloignement de Charles Ehresmann vis-à-vis de Bourbaki était lié au rôle qu'il aurait souhaité qu'on reconnaisse aux structures locales (dès le niveau des ensembles).




 


Charles Ehresmann et Andrée Bastiani
en 1957, au congrès de Nice
(devant eux : Gustave Choquet)



Catégories et espèces de structures (1957 – 1966)




[1957] L'article fondamental : "Gattungen von lokalen Strukturen" (espèces de structures locales)



Traduction française : 

Espèce de structures locales, Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle, 3 (1960-1962),  exposé n°. 4, pp. 1-24.


C'est le premier article de Charles Ehresmann faisant appel aux catégories 

Remarque : c'est bien par les groupoïdes, donc par les petites catégories, qu'Ehresmann vient aux catégories.

Première idée fondamentale de cet article : donner une version catégorique des espèces de structures de Bourbaki

Seconde idée fondamentale de cet article : formalisation catégorique des espèces de structures locales.

Actions de catégories. Partialisation




Espèces de structures. Hypermorphismes. Élargissement.

Remarque : on verra plus loin la différence avec les semi-faisceaux.
Remarque : Il appelle hypermorphismes les morphismes (x,s) considérés dans la définition 3. C'est que certains aujourd'hui appellent parfois "constructions de Grothendieck", mais Grothendieck a considéré cela bien après C. Ehresmann.





Cas particulier d'élargissement 

1. de groupe à groupoïde transitif (connexe)

2. structures locales associées à un pseudo-groupe vues comme élargissement d'une certaine espèce de structures.


Remarque : dans le cas d'un pseudo-groupe, il y a de la topologie, mais seule l'inclusion des ouverts importe, d'où l'idée de topologie sans point.

(A. Ehresmann rappelle que selon J. Bénabou les topologies sans points sont là, en 1957, l'une des grandes idées de Charles Ehresmann)

Classes locales. 

Catégories locales

Espèces de structures locales.


Théorème d'élargissement complet : une version sans point du théorème du faisceau associé (en 1957, preuve pour les groupoïdes)

Remarque sur les catégories d'applications partielles et les travaux récents de Cockett (2002)




[1959] Catégories topologiques et catégories différentiables

"Catégories topologiques et catégories différentiables", Coll. Géo. Diff. Globale Bruxelles, C. B. R.M. (1959), 137-150.

[1963] Plusieurs articles de 1963 sur les catégories p-structurées 

"Catégories doubles et catégories structurées", C. R.A.S. Paris 256 (1963). 1198- 1201


Notion d'idée d'une catégorie




Notion de catégorie p-structurée, où p : H → Ens un foncteur fidèle.

Exemples : espèces de structures topologiques, différentiables, catégories doubles

Foncteurs p-structurés


Esquisses, catégories monoïdales fermées (1966-1979)


[1966] Les idées de catégories sont étendues aux esquisses de catégories.

Définition des esquisses (projectives, inductives, mixtes) : une (néo-)catégorie et des cônes (projectifs, inductifs).

Modèles d'une esquisse. Catégorie des modèles d'une esquisse dans une catégorie donnée. Catégories internes.


Remarques sur les néo-catégories (= graphes multiplicatifs)




L'esquisse des catégories (cette esquisse est une sous-catégorie pleine de l'opposée de la catégorie simpliciale)




[1972] Prototype d'une esquisse : son "plus petit" modèle.

Notion introduite dans l'article commun de Charles et Andrée Ehresmann :


Interprétation des esquisses. 

Une remarque d'A. Rodin : esquisses et structuralisme. 

Aspects logiques : référence à Guitart & Lair.








Deuxième partie : compléments sur les MES


Semi-faisceaux.

Remarque : Choquet et les catégories

Pour faire de l'analyse, il fallait davantage de partialisation, d'où les semi-faisceaux


(K,M)-semi-faisceaux



(Cette séquence a été filmée par Michael Wright)

 Introduction du temps comme changement. Systèmes guidables


Semi-faisceaux sur le temps.

Remarque terminologique : il faudrait peut-être parler plutôt de semi-pré-faisceaux (ce point sera repris dans le discussion).





Les systèmes évolutifs à mémoire comme semi-faisceaux de catégories hiérarchiques


Complexification et émergence




Gerbes. Liens simples. Catégorie des objets inductifs d'une catégorie.


Patterns homologues (non-)connectés.  Principe de Multiplicité.


Le principe de multiplicité conduit à l'émergence de liens complexes.

Remarque sur les colimites virtuelles.

Objets multi-facettes.




Exemple : cas d'une (catégorie associée à une) relation d'ordre





Complexification pour une procédure. 

Construction de la complexification (I)


Construction de la complexification (II)


Utilisation d'une esquisse : la complexification en est alors le prototype.

Exemple de complexification : construction de R.


Théorème d'émergence


Théorème de complexification itérée.

Référence à la "créativité transformationnelle" de Margaret Boden

Référence : The Creative Mind: Myths and Mechanisms (Weidenfeld/Abacus & Basic Books, 1990; 2nd ed. Routledge, 2004)



Exemple de complexification itérée : le mystère Picasso.


Des dynamiques locales aux macro-paysages.


Problèmes temporels dans MES


Le jeu des dynamiques opératives locales

Noyau archetypal




Macro-paysages



Application : naissance du cubisme




Questions

François Nicolas 

Dans un triangle Ehresmann-Grothendieck-Lawvere, que dire du lien Ehresmann-Lawvere ? Aspects logiques ?

Objets libres et (absence de l') adjonction chez Charles Ehresmann

Jean Bénabou (1)

Témoignage de J. B. sur la position de C. Ehresmann à l'égard de la notion de foncteurs adjoints. 

Différence fondamentale avec la position de Lawvere sur cette question.

Remarques d'A. E. sur le livre "Catégories et structures" (1965), et en particulier le dernier chapitre. 

Importance de la notion de partialité pour C. Ehresmann.




René Guitart (1)

Retour sur le livre "Catégories et structures" de C. Ehresmann.

Morphismes de la catégorie des objets inductifs, Atlas et Gerbes.

Remarque d'A.E. sur l'existence d'un lien pour les oeuvres complètes de C. Ehresmann : http://carlossicoli.free.fr/E/


Jean Bénabou (2)

Retour sur la terminologie "semi-faisceaux" : sans recollement, il faudrait trouver un terme comme "semi-préfaisceaux"


René Guitart (2)

Gerbes, atlas maximaux ou non, et présentations.

Exemple de patterns homologues non connectés : {{A,B}, {C,D}} et {{A,C},{B,D}}.

On ne peut pas toujours raffiner des patterns homologues non connectés pour se ramener à une description unique commune.

Sur le processus de complexification : l'utilisation de semi-limites pourrait être intéressante. Exemple des métaphores.

S'agissant de ce type de flexibilité, réponse d'A. E. sur le principe de multiplicité et sur les colimites locales.


Jean Bénabou (3)

Autre témoignage : admiration de J.B. pour Gustave Choquet.

Choquet a incité J. B. à travailler sur l'analyse non standard, avant même la publication du travail de Robinson (1961)




Table des matières détaillée

Table des matières

  1. 1 Présentation de l'exposé
    1. 1.1 Table des matières condensée 
    2. 1.2 Texte de présentation (Andrée Ehresmann)
    3. 1.3 Présentation par François Nicolas
      1. 1.3.1 Esquisses et topos
      2. 1.3.2 Adjonction et coupures de Dedekind
    4. 1.4 Présentation et plan par Andrée Ehresmann
      1. 1.4.1 Deux parties : 
      2. 1.4.2 Première partie : approche des catégories par Charles Ehresmann
      3. 1.4.3 (Deuxième partie : compléments sur les MES [memory evolutive systems])
  2. 2 Première partie : approche des catégories par Charles Ehresmann
    1. 2.1 Vue d'ensemble : des espaces homogènes aux esquisses et aux prototypes dans le système évolutif des travaux de Charles Ehresmann
      1. 2.1.1 "Au commencement était l'action" 
      2. 2.1.2 L'ambition : fonder la Géométrie Différentielle.
    2. 2.2 Des espaces homogènes aux structures locales (1930-1956) : comment localiser une notion ?
      1. 2.2.1 Pseudo-groupe de transformations (les transformations d'un pseudo-groupe sont définies localement, et se recollent)
      2. 2.2.2 Espaces localement isomorphes à  D pour le pseudo-groupe de transformations G. Cartes. Atlas.
      3. 2.2.3 Espèce de structures locales associées à un pseudo-groupe de transformations
      4. 2.2.4 Remarque : à la fin de la guerre, l'éloignement de Charles Ehresmann vis-à-vis de Bourbaki était lié au rôle qu'il aurait souhaité qu'on reconnaisse aux structures locales (dès le niveau des ensembles).
    3. 2.3 Catégories et espèces de structures (1957 – 1966)
      1. 2.3.1 [1957] L'article fondamental : "Gattungen von lokalen Strukturen" (espèces de structures locales)
      2. 2.3.2 C'est le premier article de Charles Ehresmann faisant appel aux catégories 
      3. 2.3.3 Première idée fondamentale de cet article : donner une version catégorique des espèces de structures de Bourbaki
      4. 2.3.4 Seconde idée fondamentale de cet article : formalisation catégorique des espèces de structures locales.
      5. 2.3.5 Actions de catégories. Partialisation
      6. 2.3.6 Espèces de structures. Hypermorphismes. Élargissement.
      7. 2.3.7 Cas particulier d'élargissement 
      8. 2.3.8 Remarque : dans le cas d'un pseudo-groupe, il y a de la topologie, mais seule l'inclusion des ouverts importe, d'où l'idée de topologie sans point.
      9. 2.3.9 (A. Ehresmann rappelle que selon J. Bénabou les topologies sans points sont là, en 1957, l'une des grandes idées de Charles Ehresmann)
      10. 2.3.10 Classes locales. 
      11. 2.3.11 Catégories locales
      12. 2.3.12 Espèces de structures locales.
      13. 2.3.13 Théorème d'élargissement complet : une version sans point du théorème du faisceau associé (en 1957, preuve pour les groupoïdes)
      14. 2.3.14 Remarque sur les catégories d'applications partielles et les travaux récents de Cockett (2002)
      15. 2.3.15 [1959] Catégories topologiques et catégories différentiables
      16. 2.3.16 [1963] Plusieurs articles de 1963 sur les catégories p-structurées 
      17. 2.3.17 Notion d'idée d'une catégorie
      18. 2.3.18 Notion de catégorie p-structurée, où p : H → Ens un foncteur fidèle.
      19. 2.3.19 Exemples : espèces de structures topologiques, différentiables, catégories doubles
      20. 2.3.20 Foncteurs p-structurés
    4. 2.4 Esquisses, catégories monoïdales fermées (1966-1979)
      1. 2.4.1 [1966] Les idées de catégories sont étendues aux esquisses de catégories.
      2. 2.4.2 Définition des esquisses (projectives, inductives, mixtes) : une (néo-)catégorie et des cônes (projectifs, inductifs).
      3. 2.4.3 Modèles d'une esquisse. Catégorie des modèles d'une esquisse dans une catégorie donnée. Catégories internes.
      4. 2.4.4 Remarques sur les néo-catégories (= graphes multiplicatifs)
      5. 2.4.5 L'esquisse des catégories (cette esquisse est une sous-catégorie pleine de l'opposée de la catégorie simpliciale)
      6. 2.4.6 [1972] Prototype d'une esquisse : son "plus petit" modèle.
      7. 2.4.7 Interprétation des esquisses. 
      8. 2.4.8 Une remarque d'A. Rodin : esquisses et structuralisme. 
      9. 2.4.9 Aspects logiques : référence à Guitart & Lair.
  3. 3 Deuxième partie : compléments sur les MES
    1. 3.1 Semi-faisceaux.
      1. 3.1.1 Remarque : Choquet et les catégories
      2. 3.1.2 Pour faire de l'analyse, il fallait davantage de partialisation, d'où les semi-faisceaux
      3. 3.1.3 (K,M)-semi-faisceaux
      4. 3.1.4  Introduction du temps comme changement. Systèmes guidables
      5. 3.1.5 Semi-faisceaux sur le temps.
      6. 3.1.6 Remarque terminologique : il faudrait peut-être parler plutôt de semi-pré-faisceaux (ce point sera repris dans le discussion).
      7. 3.1.7 Les systèmes évolutifs à mémoire comme semi-faisceaux de catégories hiérarchiques
    2. 3.2 Complexification et émergence
      1. 3.2.1 Gerbes. Liens simples. Catégorie des objets inductifs d'une catégorie.
      2. 3.2.2 Patterns homologues (non-)connectés.  Principe de Multiplicité.
      3. 3.2.3 Le principe de multiplicité conduit à l'émergence de liens complexes.
      4. 3.2.4 Remarque sur les colimites virtuelles.
      5. 3.2.5 Objets multi-facettes.
      6. 3.2.6 Exemple : cas d'une (catégorie associée à une) relation d'ordre
      7. 3.2.7 Complexification pour une procédure. 
      8. 3.2.8 Construction de la complexification (I)
      9. 3.2.9 Construction de la complexification (II)
      10. 3.2.10 Utilisation d'une esquisse : la complexification en est alors le prototype.
      11. 3.2.11 Exemple de complexification : construction de R.
      12. 3.2.12 Théorème d'émergence
      13. 3.2.13 Théorème de complexification itérée.
      14. 3.2.14 Référence à la "créativité transformationnelle" de Margaret Boden
      15. 3.2.15 Exemple de complexification itérée : le mystère Picasso.
    3. 3.3 Des dynamiques locales aux macro-paysages.
      1. 3.3.1 Problèmes temporels dans MES
      2. 3.3.2 Le jeu des dynamiques opératives locales
      3. 3.3.3 Noyau archetypal
      4. 3.3.4 Macro-paysages
      5. 3.3.5 Application : naissance du cubisme
  4. 4 Questions
    1. 4.1 François Nicolas 
      1. 4.1.1 Dans un triangle Ehresmann-Grothendieck-Lawvere, que dire du lien Ehresmann-Lawvere ? Aspects logiques ?
      2. 4.1.2 Objets libres et (absence de l') adjonction chez Charles Ehresmann
    2. 4.2 Jean Bénabou (1)
      1. 4.2.1 Témoignage de J. B. sur la position de C. Ehresmann à l'égard de la notion de foncteurs adjoints. 
      2. 4.2.2 Différence fondamentale avec la position de Lawvere sur cette question.
      3. 4.2.3 Remarques d'A. E. sur le livre "Catégories et structures" (1965), et en particulier le dernier chapitre. 
      4. 4.2.4 Importance de la notion de partialité pour C. Ehresmann.
    3. 4.3 René Guitart (1)
      1. 4.3.1 Retour sur le livre "Catégories et structures" de C. Ehresmann.
      2. 4.3.2 Morphismes de la catégorie des objets inductifs, Atlas et Gerbes.
      3. 4.3.3 Remarque d'A.E. sur l'existence d'un lien pour les oeuvres complètes de C. Ehresmann : http://carlossicoli.free.fr/E/
    4. 4.4 Jean Bénabou (2)
      1. 4.4.1 Retour sur la terminologie "semi-faisceaux" : sans recollement, il faudrait trouver un terme comme "semi-préfaisceaux"
    5. 4.5 René Guitart (2)
      1. 4.5.1 Gerbes, atlas maximaux ou non, et présentations.
      2. 4.5.2 Exemple de patterns homologues non connectés : {{A,B}, {C,D}} et {{A,C},{B,D}}.
      3. 4.5.3 On ne peut pas toujours raffiner des patterns homologues non connectés pour se ramener à une description unique commune.
      4. 4.5.4 Sur le processus de complexification : l'utilisation de semi-limites pourrait être intéressante. Exemple des métaphores.
      5. 4.5.5 S'agissant de ce type de flexibilité, réponse d'A. E. sur le principe de multiplicité et sur les colimites locales.
    6. 4.6 Jean Bénabou (3)
      1. 4.6.1 Autre témoignage : admiration de J.B. pour Gustave Choquet.
      2. 4.6.2 Choquet a incité J. B. à travailler sur l'analyse non standard, avant même la publication du travail de Robinson (1961)
  5. 5 Table des matières détaillée
  6. 6 Références

Références


1 Charles Ehresmann : Œuvres Complètes et Commentées, 7 volumes (Ed. A. Ehresmann), Amiens 1980-83. 
Version pdf téléchargeable online  http://carlossicoli.free.fr/E/ 

2  Cockett J.R.B. & Lack S., Restriction categories I: categories of partial map, Computer Science 270, 2002, 223–259.

3 Barr M. & Wells C., Toposes, Triples and Theories, 1985, Springer.
DiIsponible en ligne ici :  Reprints in Theory and Applications of Categories, 12, 2005, pp. 1–288.


5 Rodin A., Categories without structures, Philosophia Mathematica 19(1), 2011, 20-46. 

6 Guitart R. & Lair C., Calcul syntaxique des modèles et calcul des formules internes, Diagrammes  4, 1980.


8 Ehresmann A. & Vanbremeersch J.-P., Memory Evolutive Systems : Hierarchy, Emergence, Cognition, Elsevier 2007.

9 Bénabou J., Structures algébriques dans les catégories. Cahiers Top. et Géom. Diff. X-1, 1968, 1-126.

10 Ehresmann A. & Vanbremeersch J.-P., Multiplicity Principle and emergence in MES, SAMS 26 ,1996, 81-117.

11  Béjean M. & Ehresmann A, D-MES : conceptualizing the working designer, 8th Intern. Conf. on Design Principles and Practices, Vancouver, January 2014. Vidéo accessible en ligne ici.

12 Béjean M., Approche catégorique des processus de conception et d’innovation collectives, Séminaire Mamuphi, ENS Paris, 7/12/2013. Voir ici les vidéos et références de cet exposé.

13 Ehresmann A. & Vanbremeersch J.-P., Petite mathématique de la création, L'Etincelle 6, Nov. 2009, IRCAM , Centre Pompidou.



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