Haro sur les ensembles (6 mai 2015), par Jean Bénabou

Prise de vue et mise en page : S. Dugowson




Table des matières

  1. 1 Le remplacement des ensembles, une question centrale pour J. Bénabou
    1. 1.1 Des réticences anciennes à l'égard de la théorie des ensembles
    2. 1.2 L'intuition d'espaces non constitués de points
    3. 1.3 Une question centrale pour J. Bénabou : par quoi remplacer les ensembles ?
    4. 1.4 D'abord comprendre comment fonctionne la théorie des ensembles
  2. 2 Notions de petitesse (1) : catégories (localement) petites
    1. 2.1 Les catégories enrichies 
    2. 2.2 Constat : la théorie des ensembles masque des choses profondes en théorie des catégories
    3. 2.3 Catégories dans un topos, localement finies au sens de Kuratowski
  3. 3 Notions de petitesse (2) : foncteurs localement petits.
    1. 3.1 Définition des foncteurs localement petits
    2. 3.2 Une généralisation des catégories localement petites et des foncteurs pleinement fidèles
    3. 3.3 Le composé de deux foncteurs localement petits est localement petit
  4. 4 Notions de petitesse (3) : un préfaisceau est "petit" s'il est représentable
    1. 4.1 C'est cette idée qui a conduit J. Bénabou aux distributeurs 
  5. 5 Notions de petitesse (4) : "grandes" familles de "petits" objets
    1. 5.1 Morphismes représentables de préfaisceaux
    2. 5.2 En topologie : en prenant pour petit  : "compact", on obtient les morphismes propres
    3. 5.3 Dans un topos, objet des sous-objets Kuratowski-fini d'un objet
    4. 5.4 Définissabilité
  6. 6 Sommes disjointes et universelles des ensembles : propriété merveilleuse... ou tautologie ?
    1. 6.1 Donner un sens à la notion de famille indexée par un "ensemble" d'objets d'une catégorie
    2. 6.2 Sommes disjointes et universelles
  7. 7 Questions de langage
    1. 7.1 La théorie des ensembles peut ausi empêcher de comprendre des phénomènes linguistiques
    2. 7.2 La formalisation du "très" : impossible dans le cadre ensembliste
  8. 8 Discussion
    1. 8.1 Votre motto est-il : "fibrer pour se débarrasser des ensembles" ?
    2. 8.2 Réponse...
  9. 9 Références
    1. 9.1 Jean Bénabou
    2. 9.2 Samuel Eilenberg & G. Max Kelly
  10. 10 Table des matières détaillée



Le remplacement des ensembles, une question centrale pour J. Bénabou

Des réticences anciennes à l'égard de la théorie des ensembles

Des réticences tant mathématiques que philosophiques

Ces réticences ont orienté J. Bénabou vers les catégories


L'intuition d'espaces non constitués de points

Une lecture du volume de topologie de Bourbaki

Cours d'Ehresmann sur les locales

Puis rencontre des topos de Grothendieck, qui généralisent les catégories de faisceaux sur les locales


Une question centrale pour J. Bénabou : par quoi remplacer les ensembles ?

Les espaces sans points ont conforté J. Bénabou dans l'idée que toutes les mathématiques ne devaient pas nécessairement être fondées sur la théorie des ensembles

Durant 60 ans, la question de remplacer les ensembles aura été une question centrale pour J. Bénabou



D'abord comprendre comment fonctionne la théorie des ensembles

Quel morceau de la théorie des ensembles sert réellement dans tel ou tel chapitre des catégories ?


Notions de petitesse (1) : catégories (localement) petites

Les catégories enrichies 

Une notion attribuée à Eilenberg et Kelly


Samuel Eilenberg & G. Max Kelly : Closed Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (1966), pp 421-562

Mais conçue et publiée antérieurement par Bénabou, auquel Eilenberg et Kelly font référence


Bénabou, J  Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 (1965): pp. 3824-3827


L'idée : généraliser les catégories localement petites au cas où le "hom" est un objet d'une catégorie monoïdale


Constat : la théorie des ensembles masque des choses profondes en théorie des catégories

Ainsi, on devrait souhaiter se passer des "Univers" introduits par Grothendieck 


Catégories dans un topos, localement finies au sens de Kuratowski

Contrairement à l'intuition ensembliste qu'un sous-objet d'un objet petit est lui-même petit...

Une sous-catégorie d'une catégorie localement finie au sens de Kuratowski n'est pas n'est pas nécessairement localement finie


Notions de petitesse (2) : foncteurs localement petits.




Définition des foncteurs localement petits

Une généralisation des catégories localement petites et des foncteurs pleinement fidèles

Le composé de deux foncteurs localement petits est localement petit



Notions de petitesse (3) : un préfaisceau est "petit" s'il est représentable

C'est cette idée qui a conduit J. Bénabou aux distributeurs 

Les foncteurs apparaissant alors comme des "petits" distributeurs

Terminologie (1966) : "profoncteurs", puis "distributeurs"




Notions de petitesse (4) : "grandes" familles de "petits" objets

Morphismes représentables de préfaisceaux

Une notion due à Grothendieck et qui devrait être dans tous les ouvrages sérieux de catégories (et qui n'est dans aucun) !

On peut voir un morphisme représentable comme une famille de "petits" préfaisceaux indexée par un "grand" préfaisceau

Remarque : "quand les définitions sont bonnes, on peut démontrer des choses"



En topologie : en prenant pour petit  : "compact", on obtient les morphismes propres

Espaces des sous-espaces compacts d'un espace topologique

Dans un topos, objet des sous-objets Kuratowski-fini d'un objet

Définissabilité



Sommes disjointes et universelles des ensembles : propriété merveilleuse... ou tautologie ?

Donner un sens à la notion de famille indexée par un "ensemble" d'objets d'une catégorie

Sommes disjointes et universelles

Une propriété soit-disant merveilleuse de la catégorie des ensembles... qui est une tautologie !

Les ensembles ont cette propriété mirifique uniquement parce qu'on les compare à eux-mêmes



Questions de langage

La théorie des ensembles peut ausi empêcher de comprendre des phénomènes linguistiques


Sur ce sujet, voir aussi cette conférence donnée à l'ENS dans le cadre du séminaire Mamuphi :





La formalisation du "très" : impossible dans le cadre ensembliste




Discussion

Votre motto est-il : "fibrer pour se débarrasser des ensembles" ?

Réponse...

fibrer, toposer, enrichir, etc... infini-catégories, etc... 

Regarder la physique, etc... mais aussi le langage humain



Références

Jean Bénabou

Catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 256, (1963)

Algèbre élémentaire dans les catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 258, (1964)

Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 (1965): pp. 3824-3827

Introduction to bicategories. In : Reports of the Midwest Category Seminar. Springer Berlin Heidelberg, 1967. p. 1-77.

Les distributeurs. Rapport n°33 du Séminaire de Mathématiques Pures, Université Catholique de Louvain, 1973.

Théories relatives à un corpus, C.R. Acad. Sci., Paris, 281, (1975)

Fibrations petites et localement petites, CR Acad. Sci., Paris, 281 (1975): A897-900.

Fibred Categories and the foundations of naive category theory, J. Symbolic Logic 50 (1985), p. 10-37

(cet article "Fibred categories...." a été dédié par Jean Bénabou à Grothendieck, avec l'accord de celui-ci)


Distributors at work. Lecture notes written by Thomas Streicher, 2000.

Locally small Cartesian functors. Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 46, No. 3, 177-179 (2005)



Samuel Eilenberg & G. Max Kelly

Closed Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (1966), pp 421-562


Table des matières détaillée


Table des matières

  1. 1 Le remplacement des ensembles, une question centrale pour J. Bénabou
    1. 1.1 Des réticences anciennes à l'égard de la théorie des ensembles
      1. 1.1.1 Des réticences tant mathématiques que philosophiques
      2. 1.1.2 Ces réticences ont orienté J. Bénabou vers les catégories
    2. 1.2 L'intuition d'espaces non constitués de points
      1. 1.2.1 Une lecture du volume de topologie de Bourbaki
      2. 1.2.2 Cours d'Ehresmann sur les locales
      3. 1.2.3 Puis rencontre des topos de Grothendieck, qui généralisent les catégories de faisceaux sur les locales
    3. 1.3 Une question centrale pour J. Bénabou : par quoi remplacer les ensembles ?
      1. 1.3.1 Les espaces sans points ont conforté J. Bénabou dans l'idée que toutes les mathématiques ne devaient pas nécessairement être fondées sur la théorie des ensembles
      2. 1.3.2 Durant 60 ans, la question de remplacer les ensembles aura été une question centrale pour J. Bénabou
    4. 1.4 D'abord comprendre comment fonctionne la théorie des ensembles
      1. 1.4.1 Quel morceau de la théorie des ensembles sert réellement dans tel ou tel chapitre des catégories ?
  2. 2 Notions de petitesse (1) : catégories (localement) petites
    1. 2.1 Les catégories enrichies 
      1. 2.1.1 Une notion attribuée à Eilenberg et Kelly
      2. 2.1.2 Mais conçue et publiée antérieurement par Bénabou, auquel Eilenberg et Kelly font référence
      3. 2.1.3 L'idée : généraliser les catégories localement petites au cas où le "hom" est un objet d'une catégorie monoïdale
    2. 2.2 Constat : la théorie des ensembles masque des choses profondes en théorie des catégories
      1. 2.2.1 Ainsi, on devrait souhaiter se passer des "Univers" introduits par Grothendieck 
    3. 2.3 Catégories dans un topos, localement finies au sens de Kuratowski
      1. 2.3.1 Contrairement à l'intuition ensembliste qu'un sous-objet d'un objet petit est lui-même petit...
      2. 2.3.2 Une sous-catégorie d'une catégorie localement finie au sens de Kuratowski n'est pas n'est pas nécessairement localement finie
  3. 3 Notions de petitesse (2) : foncteurs localement petits.
    1. 3.1 Définition des foncteurs localement petits
    2. 3.2 Une généralisation des catégories localement petites et des foncteurs pleinement fidèles
    3. 3.3 Le composé de deux foncteurs localement petits est localement petit
  4. 4 Notions de petitesse (3) : un préfaisceau est "petit" s'il est représentable
    1. 4.1 C'est cette idée qui a conduit J. Bénabou aux distributeurs 
      1. 4.1.1 Les foncteurs apparaissant alors comme des "petits" distributeurs
      2. 4.1.2 Terminologie (1966) : "profoncteurs", puis "distributeurs"
  5. 5 Notions de petitesse (4) : "grandes" familles de "petits" objets
    1. 5.1 Morphismes représentables de préfaisceaux
      1. 5.1.1 Une notion due à Grothendieck et qui devrait être dans tous les ouvrages sérieux de catégories (et qui n'est dans aucun) !
      2. 5.1.2 On peut voir un morphisme représentable comme une famille de "petits" préfaisceaux indexée par un "grand" préfaisceau
      3. 5.1.3 Remarque : "quand les définitions sont bonnes, on peut démontrer des choses"
    2. 5.2 En topologie : en prenant pour petit  : "compact", on obtient les morphismes propres
      1. 5.2.1 Espaces des sous-espaces compacts d'un espace topologique
    3. 5.3 Dans un topos, objet des sous-objets Kuratowski-fini d'un objet
    4. 5.4 Définissabilité
  6. 6 Sommes disjointes et universelles des ensembles : propriété merveilleuse... ou tautologie ?
    1. 6.1 Donner un sens à la notion de famille indexée par un "ensemble" d'objets d'une catégorie
    2. 6.2 Sommes disjointes et universelles
      1. 6.2.1 Une propriété soit-disant merveilleuse de la catégorie des ensembles... qui est une tautologie !
      2. 6.2.2 Les ensembles ont cette propriété mirifique uniquement parce qu'on les compare à eux-mêmes
  7. 7 Questions de langage
    1. 7.1 La théorie des ensembles peut ausi empêcher de comprendre des phénomènes linguistiques
    2. 7.2 La formalisation du "très" : impossible dans le cadre ensembliste
  8. 8 Discussion
    1. 8.1 Votre motto est-il : "fibrer pour se débarrasser des ensembles" ?
    2. 8.2 Réponse...
      1. 8.2.1 fibrer, toposer, enrichir, etc... infini-catégories, etc... 
      2. 8.2.2 Regarder la physique, etc... mais aussi le langage humain
  9. 9 Références
    1. 9.1 Jean Bénabou
      1. 9.1.1 Catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 256, (1963)
      2. 9.1.2 Algèbre élémentaire dans les catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 258, (1964)
      3. 9.1.3 Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 (1965): pp. 3824-3827
      4. 9.1.4 Introduction to bicategories. In : Reports of the Midwest Category Seminar. Springer Berlin Heidelberg, 1967. p. 1-77.
      5. 9.1.5 Les distributeurs. Rapport n°33 du Séminaire de Mathématiques Pures, Université Catholique de Louvain, 1973.
      6. 9.1.6 Théories relatives à un corpus, C.R. Acad. Sci., Paris, 281, (1975)
      7. 9.1.7 Fibrations petites et localement petites, CR Acad. Sci., Paris, 281 (1975): A897-900.
      8. 9.1.8 Fibred Categories and the foundations of naive category theory, J. Symbolic Logic 50 (1985), p. 10-37
      9. 9.1.9 Distributors at work. Lecture notes written by Thomas Streicher, 2000.
      10. 9.1.10 Locally small Cartesian functors. Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 46, No. 3, 177-179 (2005)
    2. 9.2 Samuel Eilenberg & G. Max Kelly
      1. 9.2.1 Closed Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (1966), pp 421-562
  10. 10 Table des matières détaillée

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