Caractérisation d’invariants topos-théoriques en termes de sites, par O. Caramello (6 février 2013)

Résumé : La méthode générale d’unification introduite dans le cours récemment donné «Les topos de Grothendieck comme ponts unificateurs des mathématiques » se fonde sur la possibilité de caractériser un grand nombre d’invariants topos-théoriques de manière explicite en termes de sites.

On exposera quelques exemples concrets de calculs de telles caractérisations, pour des invariants de type géométrique ou logique. Pour ceux qui ont assisté à la cinquième séance du cours (22 janvier 2013), cela constituera une illustration des deux théorèmes généraux sur l’existence de caractérisations bijectives en termes de sites pour les invariants géométriques et logiques présentés dans ce contexte.

Table des matières

  1. 1 Introduction. Rappels : ponts et arches, invariants toposiques et expressions en termes de sites.
  2. 2 Deux méta-théorèmes
    1. 2.1 Premier méta-théorème.
      1. 2.1.1 Au sujet de l'inspiration topologique pour les topos et certains de leurs invariants.
      2. 2.1.2 Hypothèse : l'invariant considéré est équivalent à l'existence de certaines classes d'objets et flèches faisceautisés.
      3. 2.1.3 Alors... (conclusion du méta-théorème) + Remarque : clôture et  J-densité plutôt que faisceautisation.
      4. 2.1.4 Clôture. Cribles J-fermés et classificateur de sous-objets dans le topos des faisceaux.
      5. 2.1.5 Explicitations de certains isos par le site (cribles couvrants, densité).
    2. 2.2 Deuxième meta-théoreme.
      1. 2.2.1 Séquences du 1er ordre dans la théorie des algèbres de Heyting. Exemples : "être booléen", "être intermédiaire entre classique et intuitionniste", "vérifier De Morgan"...
  3. 3 Exemples.
    1. 3.1 A. Être atomique.
      1. 3.1.1 Ensembles séparants. Atomes. 
      2. 3.1.2 Utilisation du foncteur l.
      3. 3.1.3 Envoyer les cribles sur les atomes. Faisceautisation d'unsous-prefaisceau d'un J-faisceau = J-clôture.
      4. 3.1.4 Sous-objets de $a_J(S)$.
      5. 3.1.5 Conjonction des deux conditions. Utilisation de cribles principaux.
      6. 3.1.6 Conclusion. Corollaire :  une condition connue d'atomicité de Sh(C,J).
      7. 3.1.7 Question (L. L.) : théories à topos classifiant atomique ? Contexte de Fraïssé. Topos à deux valeurs, plongement conjoint et complétude. Remarque épistémologique : les topos comme "fictions utiles" (*) ?
    2. 3.2 B. Être localique.
      1. 3.2.1 être localique = avoir un ensemble séparant d'objets terminaux.
      2. 3.2.2 Monomorphies explicitement reformulées par "kernel pair" et densité.
      3. 3.2.3 Exemples : topos de préfaisceaux localiques, topos de faisceaux localique dans le cas géométrique.
    3. 3.3 C. Être booléen.
      1. 3.3.1 Opérations logiques sur Omega. Groupoïdes et "discrétude" (*)
    4. 3.4 Autres exemples : De Morgan + Logique de Gödel-Dummett + essentialité des morphismes géométriques + dualité de Lindenbaum-Tarski. Conclusion.
  4. 4 Références

Introduction. Rappels : ponts et arches, invariants toposiques et expressions en termes de sites.

001


Deux méta-théorèmes


Premier méta-théorème.


Au sujet de l'inspiration topologique pour les topos et certains de leurs invariants.

2


Hypothèse : l'invariant considéré est équivalent à l'existence de certaines classes d'objets et flèches faisceautisés.

3


Alors... (conclusion du méta-théorème) + Remarque : clôture et  J-densité plutôt que faisceautisation.

4


Clôture. Cribles J-fermés et classificateur de sous-objets dans le topos des faisceaux.

6


Explicitations de certains isos par le site (cribles couvrants, densité).

7


Une partie du tableau a été coupée.



Deuxième meta-théoreme.

Séquences du 1er ordre dans la théorie des algèbres de Heyting. Exemples : "être booléen", "être intermédiaire entre classique et intuitionniste", "vérifier De Morgan"...

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Exemples.

A. Être atomique.

Ensembles séparants. Atomes. 

9


(séquence coupée intempestivement.)

Utilisation du foncteur l.

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Envoyer les cribles sur les atomes. Faisceautisation d'un
sous-prefaisceau d'un J-faisceau = J-clôture.

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Sous-objets de $a_J(S)$.

12


Conjonction des deux conditions. Utilisation de cribles principaux.

13


Conclusion. Corollaire :  une condition connue d'atomicité de Sh(C,J).

14



Question (L. L.) : théories à topos classifiant atomique ? Contexte de Fraïssé. Topos à
 deux valeurs, plongement conjoint et complétude. Remarque épistémologique : les topos comme "fictions utiles" (*) ?


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(*) Olivia n'a pas utilisé l'expression de Leibniz "fictions utiles", mais c'est bien ce que signifie sa comparaison avec les nombres imaginaires, dont Cardan découvre la mystérieuse nécessité à l'occasion de son étude des solutions (réelles) des équations du troisième degré (à coefficients réels)...)

B. Être localique.


être localique = avoir un ensemble séparant d'objets terminaux.

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Monomorphies explicitement reformulées par "kernel pair" et densité.

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Exemples : topos de préfaisceaux localiques, topos de faisceaux localique dans le cas géométrique.

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C. Être booléen.

Opérations logiques sur Omega. Groupoïdes et "discrétude" (*)

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(*) discrétude ? eh bien, oui : ça existe ! Voir par exemple ici.

Autres exemples : De Morgan + Logique de Gödel-Dummett + essentialité des morphismes géométriques + dualité de Lindenbaum-Tarski. Conclusion.


(A propos de dualité, voir aussi ce document pdf d'Olivia Caramello sur les dualités de type Stone)



Conclusion




Références





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