La dynamique en termes d'histoires, par Marc Lachièze-Rey (26 mars 2014)

Prise de vue, mise en page et en ligne : S. Dugowson


Résumé : 

Je présente un formalisme général pour la dynamique, fondé sur la notion universelle d'histoire. Il s'applique au cas où une histoire (un champ) n'est pas une fonction mais une forme différentielle sur l'espace-temps (ceci s'applique à l'électromagnétisme et à la relativité générale). Le formalisme est covariant par construction. Il considère l'espace-temps, dans les théories de champs, exactement à la manière du temps en dynamique temporelle (excepté le nombre de dimensions). Je montre l'existence d'une "forme symplectique généralisée" qui généralise la forme (ou le courant) multisymplectique.
Sa conservation (on shell) fournit une forme symplectique sur l'espace des solutions.

Marc-Lachièze-Rey





Introduction : une (nouvelle ?) formulation de la dynamique en termes d'histoires

Rôle de la diffeologie

Définition d'une histoire


Présentation du formalisme sur l'exemple élémentaire de la dynamique d'une particule

Les histoire comme 0-formes

Lagrangien et action. 

Notion de "formelles".



Formalisme hamiltonien (structure symplectique sous-jacente) 


Cas de la théorie des champs relativistes. 

L'exigence de covariance



Cas des champs scalaires relativistes. 

Calcul formel d'actions et lagrangiens.



Les histoires peuvent être aussi des 1-formes...

Cas du champ électromagnétique

Opérateur de Hodge.



Résultat : on retrouve l'équation du champs électro-magnétique.


Cas de l'équation d'Einstein pour la relativité générale. 

Formulation en termes de co-tétradres et connections (formulation de Cartan au premier ordre)



Questions


Formalisme hamiltonien.

Transformée de Legendre

Questions

Quantification(s). 

Déformations d'algebres. 

Réseaux de spin.

Contrainte hamiltonienne



Formes multisymplectiques pour la théorie des champs 

Problème : il n'y a pas de forme symplectique pour une formulation covariante.

Opérateur D. 

Forme symplectique généralisée.

Forme multisymplectique.

Les Observables comme 1-formes


Questions


Références


Table des matières détaillée



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