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Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

exercício 1- Dado uma PA com 3 valores crescente, que o valor dos valores é 15 e uma PG com três valores correspondentes a soma do promeiro valor da PA + 3, o segundo corresponde ao segundo valor da PA + 5 e o terceiro corresponde à soma do terceiro valor da PA + 7, determine o valor do primeiro termo da PA.


PA( a ; a+r ; a+2r )
soma PA = 15


soma PA = n.(a1 + a3)/2


15 = 3.(a + a + r + r) / 2
2 = 3.(a + a + r + r) / 15
2 = (a + a + r + r) / 5
10 = 2a + 2r
5 = a + r
a = 5 - r           (EQUAÇÃO I)

 

 


PG( a+3 ; a+r+5; a+r+r+7 )
substituindo a EQUAÇÃO I (a = 5 - r)
PG( 5 - r + 3 ; 5 - r + r + 5; 5 - r + r + r + 7 )
PG( 8 - r ; 10 ; 12 + r )


usando a propriedade de progressão geométrica b² = a . c
10² = (8 - r).(12 + r)
100 = 96 + 8r -12r -r²
r² + 4r + 4 = 0


raízes da equação do 2ºgrau cuja
S = -b/a = -4
P = c/a = 4
raízes são (-2 e -2)


aplicando as raízes na fórmula de soma da PA
15 = 3.(a + a + r + r) / 2
15 = 3.(a + a + (-2) + (-2)) / 2
15 = 3.(2a -4) / 2
30 = 6a -12
6a = 42
a = 21/3
a = 7


resolução de equação do 2º grau por SOMA e PRODUTO


x² + 11x - 26 = 0


S = -b/a = -11
P =  c/a = -26

 


x pode ser -13 ou 2
 
exercício 2- (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

 

Exercício 3: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 4: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

Esse exercício tem uma peculiaridade, se tentarmos achar a razão q usando o primeiro elemento da progressão geométrica, nunca chegaremos ao resultado da soma dos números. Porém se começarmos a achar a razão q do segundo elemento em seguida e depois de realizarmos a soma dos elementos somamos com o primeiro elemento 3 o resultado será igual a 4.

a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4 

 

Exercício 5: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

Esse exercício apenas ficou difícil por causa do termo "dois meios geométricos" que significa que existe mais dois pontos ou valores entre 3 e -24. Depois basta calcular o sexto termo da PG.

a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação. 

 
 
 
FÓRMULAS UTILIZADAS
progressão aritmética
 
an = a1 + (n - 1) . r
 
Sn = n.(a1 + an)/2
 
progressão geométrica
 
b² = a . c
 
an = a1 . qn-1
 
Sn = a1 . (q- 1)
             q - 1
 
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