Initiation‎ > ‎Dia-a-dia‎ > ‎

FÍSICA - Teorema de Arquimedes

Módulo 53. Teorema de Arquimedes

 

1. Teorema de Arquimedes


Um corpo mergulhado num líquido recebe forças do líquido em toda sua superfície, conforme a figura.


As componentes horizontais das forças se equilibram e as componentes verticais fornecem uma resultante para cima. Vamos considerar um corpo cilíndrico totalmente submerso num líquido em equilíbrio, conforme mostra a figura.


O líquido exerce pressão em todos os pontos do cilindro.

Sejam F1 a força que o líquido exerce em cima do cilindro de área A1 e F2a força que o líquido exerce embaixo do cilindro de área A2.

Como A1 = A2 e P2 > P1 (a pressão aumenta com a profundidade), temos:
p = F/A
è p1 = F1/A1 è p2 = F2/A2
F2 > F1
A diferença das intensidades das forças F1 e F2 é a intensidade da força de empuxoE.

E = F2 – F1

Todo corpo imerso em um fluido recebe uma força vertical para cima chamada empuxo, de intensidade igual à intensidade de peso do fluido deslocado. Sejam:

uc  è  massa específica do corpo que será imerso.
mc  è massa do corpo
Vc  è volume do corpo
Pc  è peso do corpo
uL è massa específica do líquido
mL  è massa do líquido deslocado
VL  è volume do líquido deslocado
PL  è peso do líquido deslocado

Como uL = mL/VL è uL . VL = mL

 

E = PL = mL . g è E = PL = uL . VL . g

 

1o Caso
Vamos mergulhar num líquido um corpo menos denso que o líquido. Ele vai flutuar com uma parte submersa.

Um bloco de madeira, cuja massa específica é de
0,6 g/cm3 é colocado num recipiente contendo água de massa específica 1,0 g/cm3 num local onde g = 10 m/s2. Calcule a razão entre o volume submerso e o volume total do bloco.



Resolução
uC = 0,6 g/cm3
uL = 1,0 g/cm3
g = 10 m/s2

 

E = Pc

uL . VL . g = mc . g

uL . VL = uc . Vc

VL / Vc = uc / uL = 0,6/1,0

VL / Vc = 3/5


2o Caso
Vamos mergulhar um corpo de mesma densidade que o líquido. Ele ficará totalmente submerso, numa situação de equilíbrio indiferente. Uma esfera maciça de raio 5 cm está totalmente submersa, sem tocar o fundo do recipiente em equilíbrio num líquido de massa específica 2 g/cm3, num local onde g = 10 m/s2. Calcule:

a) a massa específica do material da esfera;
b) a intensidade do empuxo recebido pela esfera.
Resolução

r = 5 cm = 5 . 10-2 m

uL = 2g/cm3 = 2 . 103 kg/m3

g = 10m/s2

VL = Vc = V

U = m/V è m = u.V

a) A intensidade do empuxo que a esfera recebe é igual à intensidade do seu peso (equilíbrio):

E = PC

mL · VL · g= mc · g è mL · VL = mc
uL .
V = uc . V è uc = 2g/cm3

b) Vc = 4 π /3· r3
Vc = 4 π /3· (5.10-2)3
Vc = 5,23 · 10–4 m3
VL = Vc
E = uL · VL · g
E = 2 ·103 · 5,23 · 10–4 · 10
E = 10,46 Newton

3o Caso
Vamos mergulhar um corpo mais denso do que o líquido. Ele ficará em contato com o fundo do recipiente. Uma esfera de massa 10 kg e volume 2.000 cm3 está submersa, como mostra a figura, num líquido de massa específica 2 g/cm3, num local onde g = 10 m/s2. Calcule:

a) a intensidade do empuxo recebido pela esfera;
b) a intensidade da força normal entre a esfera e o fundo do recipiente.

mC = 10kg

VC = 2000 cm3 = 2.10-3 m3

uL = 2g/cm3 = 2.103 kg/m3

g = 10m/s2

 

a) Corpo totalmente submerso è Vc = VL
E = uL · VL · g = 2 ·103 · 2 ·10–3 · 10
E = 40 Newton

b) E + N = Pc
40 + N = mc · g
N = 10 ·10 – 40
N = 60 Newton

2. Peso Aparente


Vamos medir a intensidade da força peso P de um corpo utilizando um dinamômetro:

Com o corpo em equilíbrio, temos: Pc = T. Neste caso, com o objeto no vácuo o dinamômetro indica o valor da força peso do objeto. Contudo, quando este processo de medição é realizado com o corpo imerso num fluido (gás ou líquido), o corpo fica sujeito a uma força de empuxo , aplicada pelo fluido.
 

Assim, a intensidade da força T, que é medida pelo dinamômetro, é: T = Pc – E    (na situação de equilíbrio)
Esse valor é chamado de peso aparente:

Pap = Pc - E

Exemplo 4
Num local onde g = 10 m/s2, verifica-se que o peso de uma esfera no ar é de 15 N e, totalmente mergulhado na água, seu peso aparente é de 10 N. Se a massa específica da água é de 1 g/cm3, calcule a massa específica da esfera.

Resolução
g = 10 m/s2
Pc = 15 N
Pap = 10 N
uL
= 1 g/cm3 = 103 Kg/m3

Como a esfera é totalmente mergulhada na água, o seu volume é igual ao volume de líquido deslocado.

Vc = VL



Pc – Pap = uL · VL · g

15 – 10 = 103 · Vc · 10

Vc = 5/104 = 5 ·10–4 m3
Pc = mc · g
15 = mc · 10
mc = 1,5 Kg
uc
= mc / Vc = 1,5/5.10-4 = 0,3.104 kg/m3
uc
= 3.103 kg/m3 = 3g/cm3

1) Um cubo de borracha de massa 100 g está flutuando em água com 1/3 de seu volume submerso. Sabendo-se que a densidade da água é de 1g/cm3 e tomando-se como aceleração da gravidade g = 10 m/s2. Qual é o volume do cubo de borracha?

E = PC

uL.VL.g = mC.g

uL.Vc/3.g = mC.g

1.Vc/3 = 100

Vc = 300cm3

 

1m3 = 1m.1m.1m  è  1m3 = 100cm.100cm.100cm = 1 000 000cm3

 

1m3 ààààààà 1 000 000cm3

xm3 ààààààà 300cm3

1 000 000x = 300

x = 0,0003m3 = 3.10-4m3

 

 

2) Quando um corpo de 3,0 kg está completamente imerso em água, cuja densidade é d = 1,0 g/cm3, apoiado sobre uma balança ela marca 20 N. Calcule o volume desse corpo.

 

Atenção para a densidade da água que está sendo oferecida em g/cm3. Ela deverá ser transformada em kg/cm3, basta dividir por 1000. Atenção também para o peso do corpo dado em baixo da água que é igual a 20 Newtons, já a força normal do corpo será a mesma de quando o corpo estava fora da água, massa vezes gravidade. Perceba que elas não se igualam!

 

PC = E + N

PC = uL.VL.g + mC.g

20 = 0,001.VL.10 + 3.10

20 = 0,01.VL + 30

20-30 = 0,01.VL

VL = -10/0,01

VL = -1000cm3 / 1 000 000 = 10-3m3

 

3) A figura a seguir mostra uma caixa cúbica de aresta a = 20 cm e massa M = 10 kg, imersa em água, sendo mantida em equilíbrio por um fio muito leve preso ao teto. Determine a tração no fio, em newtons.

Observe que na próxima figura o peso aparente, representado pela força de tração no fio está substituindo a força normal. Teremos a fórmula è Pap = Pc - E

0,2m . 0,2m . 0,2m = 0,008m3

O enunciado não deu, mas a densidade da água é 103kg/m3

 

Pap = Pc – E

Pap = mC.g – uL.VL.g

Pap = 10.10 – 103.0,008.10

Pap = 100 – 80

Pap = 20 Newton

 

4) Um bloco de madeira de volume V = 60 cm3, totalmente submerso, está atado ao fundo de um recipiente cheio de água por meio de um fio de massa desprezível. O fio é cortado e o bloco emerge na superfície com 1/4 de seu volume fora da água. Sendo g = 10 m/s2 a aceleração da gravidade e D = 1 g/cm3 a massa específica da água, calcule

a) a massa específica do bloco.

b) a tração no fio, antes de ser cortado.

 

VL = 3Vb/4 = 3.60/4 = 45cm3

 

E = PC

uL.VL.g = mC.g

1.45 = uC.VC

45 = uC.60

uC = 45/60 = 0,75 g/cm3

 

Atentando que as densidades em g/cm3 transformadas para kg/m3 multiplica-se o valor por 103 e cm3 multiplica-se o valor por 10-6 pois

1g/cm3 = 0,001kg/0,000001m3 = 1kg/10-3m3 = 103kg/m3

e

1cm3 = 0,01m. 0,01m. 0,01m = 0,000001m3 = 10-6m3

 

 

 

Para o equilíbrio do bloco, temos:

E = P + T

μL VB g = μB.VB.g + T

T = μL.VB.g - μB.VB.g

T = (μL – μB).VB.g

T = (1,0 – 0,75).103.60.10-6.10 (N)

T = 1,5.10-1N

T = 0,15N

 

 

 

 

 

5) Um bloco de alumínio, de massa igual a 2,0kg, está pendurado por uma corda de massa desprezível e tem metade do seu volume mergulhado em um recipiente com água. A tensão na corda é igual a 12N. Se acrescentarmos água ao recipiente, de modo que o bloco fique completamente mergulhado, o valor da tensão na corda será (use o valor da aceleração da gravidade, g = 10m/s2):

a) 1 N. b) 2 N. c) 3 N. d) 4 N. e) 5 N.

 

No primeiro caso o corpo está com a metade do seu volume dentro da água

T = Pc – E

12 = 2.10 – E

12 = 20 – (uC.VC/2).g

8/5 = uC.VC

 

No segundo caso o corpo está totalmente dentro da água

T = Pc – E

T = 2.10 – E

T = 20 – (uC.VC).g

uC.VC = (20 – T)/10

 

substituindo uma equação na outra teremos

8/5 = (20 – T)/10

80 = 100 – 5T

T = 4 Newton        resposta letra D

 

6) Um pedaço de madeira, de densidade 600 kg/m3, possuindo massa de 12000 kg, flutua na água do lago de densidade 1000 kg/m3. Determine o volume da parte emersa desse pedaço de madeira.

 

Pc = E

m.g = uC.VC.g

12000 = 1000.VC

VC = 12m3

 

 

600kg/1m3     è     12000kg/xm3

600x = 12000

x = 20m3

 

20m3 - 12m3 = 8m3 emerso da Madeira na água.

 

7) Um copo cilíndrico, vazio, flutua em água, com metade de sua altura submersa, como mostra a fig. 1. Um pequeno objeto, de 1,0N de peso, é posto dentro do copo, com cuidado para que não entre água no copo. Restabelecido o equilíbrio hidrostático, verifica-se que o copo continua a flutuar, mas com 3/4 de sua altura submersos, como mostra a fig. 2.Calcule o peso do copo.

 

 

No primeiro caso temos

PC = E

PC = uC.VC/2 . g

2PC/uC.g = VC

 

No segundo caso temos

PC = E

PC + 1 = uC.VC3/4 . g

VC = 4.(PC + 1)/3.g.uC

 

Igualando as duas equações teremos

2PC/uC.g = 4PC+4/g.uC.3

6PC = 4PC + 4

2PC = 4

PC = 2 Newton é o peso do copo

 

15) Uma caixa com forma de paralelepípedo retângulo, de dimensões 160cm, 60cm e 20cm, flutua em água de massa específica 1g/cm3. Ivo observa que seu irmão, ao entrar na caixa, faz com que ela afunde mais 5cm abaixo da superfície livre da água. Após alguns cálculos, Ivo pode afirmar que a massa de seu irmão é de:

1,6m.0,6m.0,2m = 0,192 m3

Mas como a caixa já está na água, existe uma parte dela, uma altura h, que já está submersa

1,6m.0,6m.hm = 0,96.h m3

 

a densidade da água g/cm3 transformada para kg/m3

1 g/cm= 0,001kg/0,000001m3 = 1kg/0,001m3 = 1kg/10-3m3 = 103kg/m3

 

 

Primeiro caso com caixa vazia

E = PC

uL.0,96.h.g = mc.g

1000.0,96.h mc

mc = 960h

 

No segundo caso com o irmão dentro da caixa

E = Pc + Pi

uL.VL.g = mC.g + mi.g

1000.0,96.(h+0,05) = mC + mi

960h + 48 = 960h + mi

mi = 48Kg

 

Comments