Zadania tekstowe - równania

Zadania tekstowe możemy rozwiązywać w różny sposób. Tu przykłady rozwiązywania różnych zadań za pomocą równań:

5 razy więcej, o 4 mniej...

Przykład

W dwóch szafach jest 435 książek. W jednej szafie jest 2 razy więcej książek niż w drugiej. Oblicz ile książek jest w każdej szafie.

liczba książek w I szafie x
liczba książek w II szafie 2x
razem 435

x + 2x = 435
3x = 435
x = 145        2x = 290        Odp. W szafach jest 145 i 290 książek

Próbuj sam:
  1. W dwóch koszyczkach jest razem 11 pisanek. Ile pisanek jest w pierwszym koszyku jeżeli w drugim jest o 5 więcej?
  2. W zagrodzie jest o 5 kur więcej niż kaczek. Ile jest kur, a ile kaczek, jeśli razem jest 327?
  3. Na zebraniu drużyny harcerskiej wybierano lokalizację obozu letniego. Na jedną z miejscowości głosowało 360 osób, przy czym za wnioskiem padły 104 głosy więcej niż przeciw. Ile osób głosowało za wnioskiem, a ile przeciw?
  4. Obwód prostokąta ma 50 cm. Jakiej długości są boki, jeśli jeden bok jest o 5 cm dłuższy od drugiego?
  5. Obwód prostokąta wynosi 60 cm. Jeden z jego boków jest 4 razy dłuższy od drugiego. Oblicz pole prostokąta.
  6. Długość prostokąta jest o 30% większa od szerokości. Znajdź boki prostokąta, jeśli obwód ma 92 cm.
  7. Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 96 cm. Ramię jest o 3 dłuższe od podstawy. Oblicz długości boków trójkąta.
  8. W trójkącie równoramiennym miara kąta przy podstawie jest 6 razy mniejsza od miary kąta przy wierzchołku. Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta.
  9. Suma dwóch liczb wynosi 37. Znajdź te liczby, wiedząc, że jedna z nich jest o 5 większa od drugiej.
  10. W trzech klasach ósmych uczy się razem 97 uczniów. W klasie 8a jest o 2 uczniów więcej niż w 8b oraz o 3 mniej niż w klasie 8c. Ilu uczniów jest w każdej klasie?
  11. Ojciec jest 5 razy cięższy od syna i 8 razy cięższy od córki. Razem z matką ważącą 54 kg cała rodzina waży 160 kg. Ile waży ojciec ile syn ile córka?
  12. Ogrodnik ma 270 drzew: jabłonie, grusze i wiśnie. Jabłoni jest dwa razy mniej niż grusz, a wiśni 3 razy więcej niż jabłoni. Ile jest jabłoni, grusz i wiśni?
  13. Suma trzech liczb wynosi 200. Jakie to liczby, jeśli pierwsza z nich jest o 3 mniejsza od drugiej, a druga jest o 11 mniejsza od trzeciej?
  14. Suma trzech liczb wynosi 270. Znajdź te liczby, wiedząc, że pierwsza z nich jest dwukrotnie mniejsza od drugiej, a trzecia jest trzykrotnie większa od drugiej.
  15. W kopalni, przy głębieniu szybu, wydobyto 1280 ton urobku, w tym: łupku o 160 ton więcej niż węgla, a piaskowca 4 razy więcej niż łupku i węgla razem. Ile wydobyto łupku, piaskowca i węgla?
  16. Za 3 jednakowe zajączki z czekolady i jednego baranka z cukru mama zapłaciła 10 zł. Baranek jest dwa razy droższy od zajączka. Ile kosztował baranek?
  17. Cena kilograma gruszek jest o 75% wyższa od ceny kilograma jabłek. Za 5 kg jabłek i 2 kg gruszek zapłacono 17 zł. Ile kosztował kilogram jabłek?
  18. Leciało stado dzikich gęsi. Naprzeciw podfrunęła ku nim ze stawu gęś domowa i jęła wołać w gęsim zachwycie:
    - Witaj, witaj, stugęśne stado mych dalekich krewnych! Gąsior, prowodyr stada, odgęgał:
    - Nie, nasze stado nie ma stu gęsi! Gdyby nas było jeszcze raz tyle i połowę tego, i jeszcze ćwierć tego, i ty na dodatek, to dopiero wówczas byłaby nas setka.
    Ile gęsi jest w stadzie?
  19. Odcinek o długości 4,7 m podzielono na odcinki o długościach 0,2 m i 0,3 m. Ile otrzymano odcinków każdego rodzaju, jeżeli dłuższych odcinków było o 4 więcej niż krótszych?
  20. Kwotę 850 zł wypłacono banknotami 20 zł, 50 zł i 100 zł. Ile było banknotów każdej wartości, jeśli setek było 2 razy więcej niż pięćdziesiątek a dwudziestek o 4 mniej niż pięćdziesiątek i setek razem?

Szukamy całości

Przykład

Kwiaciarka sprzedała pierwszej osobie połowę róż i jeszcze 2 róże. Drugiej sprzedała połowę reszty i jeszcze jedną różę. Pozostało jej 5 róż. Ile róż miała kwiaciarka przed rozpoczęciem sprzedaży?

I osobie 1/2 x + 2        zostało 1/2 x - 2
II osobie 1/2 (1/2 x - 2) + 1
zostało 5
razem x

1/2 x + 2 +
1/2 (1/2 x - 2) + 1 + 5 = x
1/2 x + 2 + 1/4 x - 1 + 1 + 5 = x
7 = 1/4 x
x = 28        Odp. Miała 28 róż

Próbuj sam:
  1. Na półrocze 1/5 uczniów klasy I miała bardzo dobre oceny z matematyki, uczniów z ocenami dobrymi było 2 razy więcej. Reszta, to jest 14 miała oceny dostateczne. Ilu uczniów było w tej klasie?
  2. Turysta połowę drogi szedł przez las, trzecią część przez góry, a ostatnie 70 km przepłynął kajakiem. Jaką trasę pokonał turysta?

  3. Gdy zapytano greckiego matematyka, Pitagorasa, ilu uczniów uczęszcza do jego szkoły, odpowiedział: „ Połowa studiuje matematykę, czwarta część muzykę, siódma część milczy, a oprócz nich są jeszcze 3 kobiety.” Ilu uczniów było w szkole Pitagorasa.
  4. Z mosiężnego pręta wykonano trzy wałki. Na pierwszy z nich zużyto połowę pręta, na drugi 2/3 reszty, a trzeci razem z wiórami pozostałymi po obróbce ważył 3 kg. Ile ważył cały pręt?
  5. Uczeń przeczytał książkę w ciągu trzech dni. W pierwszym dniu przeczytał 25% całej książki i jeszcze 10 stronic, w drugim 5/11 reszty i 10 stronic, w trzecim ostatnie 50 stronic. Ile stronic ma ta książka?
  6. Połowę ciasteczek i jeszcze dwa zjadł Karol, połowę pozostałych i jeszcze cztery – Ola, pozostałe trzy pożarł pies. Ile ciasteczek było na stole?

Część tak, a reszta inaczej

Przykład
Sprawdzian testowy z matematyki liczył 50 pytań. Za każdą prawidłową odpowiedź uczeń otrzymywał 3 punkty, zaś za błędną odpowiedź tracił 1 pkt. Na ile pytań uczeń odpowiedział poprawnie, a ile stracił punktów, jeżeli ze sprawdzianu uzyskał 78 punktów?

liczba pytań 50:
liczba dobrych odpowiedzi x
liczba z łych odpowiedzi 50 - x

punkty za dobre odpowiedzi 3x
punkty za złe odpowiedzi -1(50 - x)
razem punktów 78

3x - 1(50 - x) = 78
x = 32         50 - 32 = 18           Odp. Dobrych 32, błędnych 18

Próbuj sam:
  1. W pewnym teście złożonym z 20 pytań za poprawną odpowiedź przyznawano 3 punkty, natomiast za błędną odpowiedź zabierano 2 punkty. a. Ilu poprawnych odpowiedzi udzielił uczeń, który otrzymał łącznie 45 punktów? b. Ile razy pomylił się uczeń, który otrzymał 15 punktów?

  2. W sklepie są wafle w cenie po 4 zł/kg oraz po 6 zł/kg. Sprzedawca chce zrobić mieszankę tych wafli w cenie 5,5 zł za kilogram. Ile wafli każdego rodzaju powinien zmieszać, aby otrzymać 20 kg mieszanki?
  3. Na podwórku były kury i owce. Razem były 22 głowy i 54 nogi. ile było kur a ile owiec?
  4. Na podwórzu były kury i króliki. Razem zwierzęta miały 22 głowy i 54 nogi. Ile było kur, a ile królików?
  5. Pociąg przewozi 800 ton węgla w 59 wagonach 10-tonowych i 15-tonowych. Ile jest wagonów każdego rodzaju?
  6. Suma dwóch liczb wynosi 100. Znajdź te liczby, jeżeli połowa pierwszej z nich jest równa trzeciej części drugiej.
  7. Gospodarz ma 240 ha pól uprawnych i lasów. Powierzchnia lasów jest o 10 ha mniejsza od 0,25 powierzchni pól uprawnych. Jaką powierzchnię zajmują pola, a jaką lasy?
  8. Stop dwóch metali waży 180 g. Jeden metal traci po zanurzeniu w wodzie 20% wagi początkowej, a drugi 15% wagi początkowej. Ile gramów każdego z metali było w stopie, jeśli po zanurzeniu stracił on na wadze 30 g.

Gdyby przelano, gdyby oddano...

Pamiętaj: jest różnica między wylewaniem a przelewaniem. Jeśli przelano, to w jednym naczyniu jest teraz mniej, ale w innym więcej.
  1. W dwóch kieszeniach mam monety – razem 16 złoty. Jeśli przełożę 1,50 złoty z lewej kieszeni do prawej, to w obu kieszeniach będę miał tyle samo pieniędzy. Ile pieniędzy mam w każdej z kieszeni?
  2. Obwód prostokąta wynosi 40cm.Jeżeli krótszy bok zwiększymy o 4cm, a dłuższy skrócimy o 5cm,to otrzymamy kwadrat.Jakiej długości są boki prostokąta?
  3. Suma dwóch liczb równa jest 70. Jeżeli pierwsza liczbę zwiększymy o 20% a drugą zmniejszymy o 20 % to ich suma zwiększy sie o 2. Jakie to liczby?
  4. Obwód prostokąta jest równy 24 cm. Jeżeli długość jednego boku zwiększymy o 3.5 cm a drugiego zmniejszymy o 1.5 cm to otrzymamy kwadrat. Oblicz boki prostokąta.
  5. Różnica dwóch liczb wynosi 45. Jeśli mniejszą zwiększymy o 5 i większą z nich zmniejszymy pięciokrotnie, to liczby będą równe. Znajdź te liczby.
  6. W gospodarstwie było 3 razy więcej gęsi niż indyków. Gdy sprzedano 120 gęsi i 28 indyków, to zostało o 50 więcej gęsi niż indyków. Ile na początku było gęsi a ile indyków?
  7. W jednym koszyku jest 3 razy więcej jabłek niż w drugim. Jeśli z pierwszego przełożymy 10 do drugiego, to w obu będzie tyle samo. Ile jabłek jest w każdym koszyku?
  8. Różnica dwóch liczb wynosi 45. Jeśli mniejszą z tych liczb zwiększymy o 5 i większą z nich zmniejszymy pięciokrotnie, to otrzymamy liczby równe. Znajdź te liczby.

Lata lecą

  1. Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od syna.Za 10 lat obaj będą mieli razem 100lat.Ile lat ma obecnie każdy z nich?
  2. Ojciec z synem razem mają 34 lata. Za 4 lata ojciec będzie pięć razy starszy od syna. Ile lat ma każdy z nich obecnie?
  3. Matka ma 27 lat, a córka ma 5 lat. Za ile lat matka będzie 3 razy starsza od córki?
  4. Syn jest 4 razy młodszy od matki. Za 16 lat matka będzie już tylko 2 razy starsza od syna. Ile lat mają obecnie?
  5. Za 9 lat ojciec i syn będą mieli razem 72 lata i ojciec będzie 3 razy starszy od syna. Ile lat mają obecnie?
  6. Ojciec ma 42 lata, córka 10 lat. Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od córki?
  7. Mama jest 7 razy starsza niż córka. Za 20 lat mama będzie 2 razy starsza. Ile lat ma każda z nich obecnie?
  8. Za 3 lata Grześ będzie 3 razy starszy niż 3 lata temu. Ile lat ma Grześ?
  9. Tomek ma 14 lat, jego mama 38. Oblicz, kiedy mama była od Tomka pięć razy starsza/ Za ile lat będzie dwa razy starsza od syna?

Kolejne liczby


n - liczba naturalna                          n, n + 1, n + 2 - kolejne liczby naturalne
2n - liczba parzysta                         2n, 2n + 2, 2n + 4 - kolejne liczby parzyste

2n + 1 liczba nieparzysta                 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 - kolejne liczby nieparzyste

Przykład

Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 93. Jakie to liczby?

I liczba n        II liczba n + 1        n + n + 1 = 93        2n + 1 = 93        2n = 92        n = 46  odp. 46 i 47

Próbuj sam:
  1. Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 86. Znajdź te liczby.

  2. Suma dwóch kolejnych liczb parzystych wynosi 78. Znajdź te liczby.
  3. Suma dwóch kolejnych liczb parzystych wynosi 53. Jakie to liczby?
  4. Suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych wynosi 84. Znajdź te liczby.
  5. Suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych wynosi 64. Jakie to liczby?
  6. Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 51. Jakie to liczby?
  7. Sprawdź, czy istnieją kolejne cztery liczby nieparzyste, których suma wynosi 114.
  8. Suma czterech kolejnych liczb parzystych wynosi 108. Znajdź te liczby.
  9. Zbadaj, czy istnieją cztery kolejne liczby nieparzyste, których suma wynosi 114.

Przestawiamy cyfry w liczbie

x - cyfra jedności        y - cyfra dziesiątek        x i y - cyfry
10y + x  - liczba dwucyfrowa
10x + y - liczba o przestawionych cyfrach
  1. Suma dwóch cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 16. Jeżeli przestawimy cyfry tej liczby i powiększymy ją o dwa to otrzymamy liczbę o 20 większą. Jaka to liczba?
  2. W liczbie dwucyfrowej cyfra jedności jest dwa razy mniejsza od cyfry dziesiątek.Jeżeli w tej liczbie przestawimy cyfry,to otrzymamy liczbę o 18 mniejszą od początkowej.Jaką liczbę otrzymamy przestawiając cyfry?
  3. W pewnej liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest o 4 mniejsza od cyfry jedności. Znajdź tę liczbę, wiedząc, że jest ona 3,25 razy większa od sumy jej cyfr.
  4. W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest dwa razy większa od cyfry jedności. Jeśli przestawimy cyfry tej liczby, to otrzymamy liczbę o 36 mniejszą od szukanej. Jaka to liczba?
  5. Dopisując po prawej stronie pewnej liczby naturalnej cyfrę zero powiększamy ją o 306. Jaka to liczba?
  6. Pewna liczba naturalna jest zakończona zerem. Jeśli zero skreślimy, zmniejszymy tę liczbę o 261. Jaka to liczba?

Ćwicz dalej :)

  1. Jaką liczbę należy dodać do licznika i mianownika ułamka 7/13 , aby otrzymać 2/3?
  2. Janosik chciał rozdzielić zgrabione dukaty między dziesięcioro biedaków. Gdyby każdemu dał po 20 dukatów, to wówczas by mu zabrakło 4 dukatów. Dał więc każdemu po 18 dukatów. Ile dukatów zostało Janosikowi?
  3. Średnia arytmetyczna trzech liczb wynosi 38. Jakie to liczby, jeśli druga jest o 6 większa od pierwszej, trzecia dwa razy większa od drugiej?

Comments