La solución lógica.


Aquellos que postularon el milenario problema de la cuadratura del círculo, sin duda conocieron la forma de resolverlo. De su enunciado debería deducirse que se trata de un problema de dibujo geométrico.

 

El centro de una circunferencia coincide siempre con el centro de la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo.

Sobre un triángulo rectángulo se marca el punto medio de la hipotenusa y  desde este punto, tomando como radio la distancia hasta uno de los extremos, con el compás se traza una circunferencia que pasa por los tres vértices.



        De esta forma, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es a la vez el eje o el diámetro de la circunferencia que pasa por sus tres vértices.

         Esta singularidad tan simple nos muestra un detalle de gran importancia, y es que si desde los extremos de cualquier eje de una circunferencia se trazan dos líneas rectas que convergen en un mismo punto situado en el perímetro circular, dichas líneas forman siempre un ángulo recto.

         Esta curiosa propiedad tiene como resultado que desde cualquier eje de una circunferencia se pueden trazar un número ilimitado de líneas rectas con las que se pueden construir cuantos cuadrados se deseen, cuyas superficies van a ir en aumento de forma progresiva, desde la del cuadrado inscrito, que es menor que la de la circunferencia, hasta la del cuadrado circunscrito que es mayor.

        Por lógica se deduce que, al menos uno de esos cuadrados, tendrá la misma superficie que la del círculo. Esta propiedad se completa cuando se comprueba que todas esas líneas y sus cuadrados correspondientes se pueden trazar utilizando un compás y una regla sin graduar.

         Se da la curiosidad de que esta propiedad era conocida por los antiguos maestros constructores de las pirámides de Egipto, a quienes hay que atribuir la autoría del famoso problema, cuyo origen sería precisamente este conocimiento.

No hay que descartar por tanto que los citados maestros egipcios conocieran también la solución de este problema, si se tiene en cuenta que las pirámides regulares, semejantes a las de Egipto, se pueden diseñar partiendo de una circunferencia y utilizando únicamente un compás y una regla sin graduar.


¿Cómo se construye un cuadrado a partir de la circunferencia?



Resulta muy sencillo obtener cualquier cuadrado partiendo de una circunferencia. Basta con trazar un eje o diámetro cualquiera (a-c), y desde el punto superior del mismo (a), trazar una línea hasta cortar la circunferencia en un punto (x) y desde ese mismo punto, trazar otra línea (x-c) hasta el punto opuesto del mismo eje (c). Estas dos líneas forman siempre un ángulo recto y junto con el citado eje un triángulo rectángulo, a partir del cual se construye fácilmente un rectángulo o un cuadrado.

Con este conocimiento tan elemental, el siguiente objetivo consiste en conocer las diferentes formas con las que se puede trazar un número ilimitado de cuadrados, para encontrar aquél cuya superficie ha de ser igual a la del círculo, resolviendo así el histórico problema, cuya solución es posible encontrar, cuando menos desde una deducción lógica.

 
 

Desde el punto superior del eje (a) hasta cualquier otro punto situado en el perímetro circular (b-c) comprendido entre el lado del cuadrado inscrito y el lado del cuadrado circunscrito, se pueden trazar un número ilimitado de líneas, una de las cuales (a-x) será el lado de un cuadrado cuya superficie es igual a la del círculo.

 

Es muy probable que los antiguos egipcios, los constructores de las pirámides, tuvieran conocimiento de esta curiosa peculiaridad, sobre la relación existente entre la circunferencia y el cuadrado.
 
Sin duda ninguna que Leonardo da Vinci conoció este “secreto”, muy bien guardado durante milenios, y en lugar de revelarlo públicamente, lo hizo a través de un genial dibujo, lleno de marcas y de claves, como si de un enigma se tratara, posibilitando de esa forma que ese “secreto” pudiera transmitirse en el tiempo para conocimiento de todos aquellos que adivinaran el “acertijo”.
 
Para demostrar de una forma lógica que la solución a este problema es posible, basta con dibujar a partir de una circunferencia los dos cuadrados muy específicos: El cuadrado inscrito y el circunscrito.     
 
Para ello, se trazan dos ejes o diámetros de la circunferencia, uno vertical y otro horizontal, ambos perpendiculares entre sí. Uniendo los cuatro vértices de ambos ejes se obtiene un cuadrado inscrito, de lado (a-b). A continuación, con la misma medida de lado que la del  eje o diámetro, se traza el cuadrado circunscrito, de lado (a-c). 
   
 
 
 
 
El razonamiento es muy simple: El cuadrado inscrito tiene una superficie menor que la del círculo, mientras que la del circunscrito es mayor.
 
En consecuencia y como ya se ha mostrado, desde el vértice superior del eje vertical (a) hasta cualquier punto situado sobre el perímetro circular del cuadrante comprendido entre las medidas de los lados de ambos cuadrados (b-c), se pueden trazar un número ilimitado de líneas, cuyas medidas aumentan de forma progresiva, desde la medida del lado del cuadrado menor, hasta la del mayor. De dicha progresión, con toda lógica, se desprende que al menos una de las líneas ha de tener la medida del lado de un cuadrado cuya superficie será igual a la del círculo dado.
 
El trazado del  hipotético cuadrado se realiza como sigue:
 
 
 

Desde el punto superior del eje vertical (a) hasta un punto situado en el citado perímetro circular (b-c), se traza la línea (a-x) que tendrá la misma medida que el lado de un cuadrado cuya superficie será igual a la del círculo dado. 

Se traza una nueva línea desde el punto (x) pasando por el punto inferior del eje vertical (c) prolongándola. Con el compás, se toma la medida del primer lado (x-a) y se traslada sobre la prolongación de la línea (x-c), con lo que se obtiene el segundo lado del cuadrado.

Desde el vértice inferior (x) se traza la línea que pasa por el centro de la circunferencia, hasta marcar un nuevo punto (d) sobre la misma.

Desde el vértice superior (a) y pasando por el nuevo punto (d) se traza otra línea, a la cual se traslada con el compás la misma medida del lado inicial (a-x), formando el tercer lado del cuadrado.     
 
Finalmente, se unen los dos puntos extremos de los lados anteriores, trazando el cuarto lado, con el que queda completado el cuadrado.
 

El cuadrado tiene la misma superficie que la del círculo.

 
Con este razonamiento tan elemental, se ha mostrado una hipótesis mediante la cual el problema de la cuadratura del círculo, si bien fue demostrado matemáticamente que resulta imposible de resolver, aparentemente si tiene una solución geométrica que, al menos por lógica, resulta en teoría posible.
 
Todos los dibujos se han realizado con un programa de dibujo informático, de la misma forma que se trazarían manualmente utilizando un compás y una regla sin graduar.
 
Queda finalmente por determinar cómo o de qué forma, se podrá trazar esa primera línea del lado de un cuadrado.  Planteado de una forma muy elemental, si por un punto pasan un número infinito de líneas rectas, por dos puntos únicamente pasa una línea.
 
En base a ello y partiendo siempre de un primer punto conocido (a), situado en el vértice de un eje cualquiera de la circunferencia, es necesario encontrar un segundo punto por el que trazar esa primera línea buscada. Un punto que ha de estar situado a lo largo de la hipotética línea (a-x), o en su prolongación. Dentro o fuera del círculo.
 
Lógicamente, para encontrar el citado segundo punto, es preciso localizar el trazado de otras dos líneas, rectas o curvas, a partir de otros puntos previamente señalados en el círculo, de forma que se corten entre sí exactamente en el punto buscado.
 
En los dibujos realizados manualmente, son muchas las formas de trazar los cuadrados que, ante la dificultad de realizar mediciones exactas, se podrían aceptar como soluciones. Si los mismos dibujos se ejecutan con un ordenador, se pone de manifiesto la dificultad para encontrar ese punto exacto, ya que las posibilidades que existen para el trazado de las dos líneas que se han de cortar en ese punto, son prácticamente infinitas.

 

         Con la posibilidad de utilizar ordenadores, encontrar esa solución exacta se ha transformado en una cuestión secundaria y marginal, ya que del problema de la cuadratura del círculo, lo realmente imposible será superar en genialidad la solución que Leonardo da Vinci plasmó en su famoso dibujo de El Hombre de Vitruvio.

        
        La solución de Leonardo y otras formas de buscar esa solución, así como otros aspectos referidos a este tema, se describen en el libro publicado en Internet, cuya versión en formato pdf  puede descargarse en la siguiente dirección:

 

 http://www.bubok.com/libros/10058/EL-SECRETO-DE-LA-CUADRATURA-DEL-CIRCULO    

 

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Pedro Tomás Vela

Mayo de 2009

 

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