Теорія нескінченність-категорій

Щоб записатись на курс заповніть, будь ласка, цю форму 
Відеоматеріали лекцій Теорія нескінченність-категорій

"Симетричні моноїдальні категорії, категорії кіс і теореми когерентності до них ... є цікавими як самі по собі, так і в зв'язку з застосуваннями у квантовій теорії поля, а саме, в теорії струн."
(Маклейн, 'Категорії для працюючого математикаʼ, Передмова до другого видання)

"Мета (книги, курсу лекцій тощо) представити ті ідеї і методи (теорії категорій), які наразі можуть ефективно застосовуватись математиками, що працюють в багатьох інших областях.
Таке застосування здійснюється на кількох рівнях.
По-перше, категорії дають зручну мову мислення, що базується на поняттях категорії, функтора, природного перетворення, контраваріантності і категорії функторів  ... "
(Маклейн, 'Категорії для працюючого математикаʼ, Передмова до першого видання)

"Застосування теорії категорій основані на тому, що  в математиці вивчаються не тільки властивості об`єктів, що наділені певною структурою, та їх елементів, але й відображення цих об`єктів, узгоджені зі структурами, що розглядаються.
Теорія категорій концентрується на вивченні властивостей відображень (морфізмів) між об`єктами. ...
Мова категорій - функтори, морфізми, (ко)границі, (ко)добутки, резольвенти, спряжені функтори і т.п. - широко використовується в різних розділах математики.
Тому оволодіння цією мовою і вміння її використовувати дозволяє сучасному освіченому математику бачити і усвідомлювати єдність науки.
Отже, знайомство (з теорією категорій) є важливою складовою освіти сучасного математика."
(В.А. Артамонов - редактор перекладу 'Категории для работающего математикаʼ)


Лекція 1 (2.10.2017): Базові поняття теорії категорій.
Категорії, функтори, природні перетворення: приклади. Протилежна категорія. Моноїдальні категорії. Спряженості і спряжені функтори.

Лекція 2 (9.10.2017): Приклади еквівалентностей і спряженостей.
Еквівалентність категорій.
Ізоморфізм категорії модулів над алгеброю Лі і категорії модулів над її універсальною обгортуючою алгеброю.
Критерій еквівалентності [1, Theorem IV.4.1].
Одиниця і коодиниця спряженості. Рівняння для одиниці і коодиниці [1, Theorems IV.1.1, IV.1.2(v)].
Компактно породжені топологічні простори; слабко гаусдорфові топологічні простори.

Лекція 3 (16.10.2017): Компактно породжені і k-гаусдорфові простори.
Компактно породжені  топологічні простори. k-гаусдорфові топологічні простори.

Лекція 4 (23.10.2017): Лема Йонеда і пов'язані поняття.
Cлабко гаусдорфові топологічні простори.
Вкладення Йонеда, лема Йонеда, представлювані функтори.
Термінальні і ініціальні об'єкти, добутки і кодобутки.

Лекція 5 (30.10.2017): Декартово замкнені категорії.
Прямі добутки в CG і в CGkH.
Збагачені категорії, топологічні категорії. Замкнені моноїдальні категорії.
Симетричні моноїдальні категорії. Декартово замкнені категорії.
Простір Map(X,Y) [2, Definition 8.1, Proposition 8.2].

Лекція 6 (06.11.2017): Декартово замкнена категорія компактно породжених просторів.
Лема про трубку [2, Proposition 6.1]. k-відкриті підмножини прямого добутку [2, Proposition 6.2].
Локально компактні простори - компактно породжені [2, Section 7].

Лекція 7 (13.11.2017): Симпліціальні множини.
Компактно породжені топологічні простори утворюють декартово замкнену категорію.
Симпліціальні об'єкти категорії. Симпліціальні множини.

Лекція 8 (20.11.2017): Кограниці і передпучки.
Нерв категорії. Границі і кограниці. Конуси і коконуси. Границя передпучка. Кома-категорія.

Лекція 9 (27.11.2017): Геометрична реалізація.
Кожен передпучок - кограниця представлюваних. Продовження функтора на передпучки.
Функтор геометричної реалізації. Вироджені симплекси.

Лекція 10 (27.12.2017): Властивості функтора геометричної реалізації.
Функтор геометричної реалізації спряжений зліва до  функтора сингулярної симпліціальної множини.
Функтор геометричної реалізації зберігає добутки симплексів.

Лекція 11 (29.12.2017): Симпліціальні множини і компактно породжені топологічні простори.
Симпліціальні множини утворюють декартово замкнену категорію.
Функтор геометричної реалізації комутує зі скінченними границями.

Приклади нервів і їх властивості. Канівські множини. ∞-категорії [5, Propositions 1.1-1.7] (qатегорії).

Топологічні категорії. Симпліціальні категорії. Їх спільні риси. Гомотопійна категорія H.
Приклад симпліціальної категорії. Когерентний нерв симпліціальної категорії.
Когерентний нерв топологічної категорії.

Лекція 14 (19.2.2018): Когерентний нерв. Комонада в категорії малих категорій. Симпліціальні категорії P*C та C*C. 2-категорія Q'C. poSet-категорія QC.
Незведений когерентний нерв симпліціальної категорії. Когерентний нерв симпліціальної категорії.

Лекція 15 (26.2.2018): Гомотопійна еквівалентність симпліціальної резольвенти і постійного об'єкта.
Лівий спряжений до (незведеного) когерентного нерва. Збільшені симпліціальні множини.
Симпліціальні резольвенти, що будуються по парі спряжених функторів.
Симпліціальні гомотопії. Гомотопійна еквівалентність між симпліціальною резольвентою графа і даним графом.

Лекція 16 (5.3.2018). Теорема Дольда-Кана.
Адитивні категорії. Розщеплення ідемпотента. Оболонка Карубі категорії. Комплекси. Теорема Дольда-Кана.

Лекція 17 (12.3.2018). Теорема Дольда-Кана 2.
Функтор N:sA->Ch>=0(A) для адитивної категорії A з розщепленими ідемпотентами. Правий спряжений до нього.

Лекція 18 (19.3.2018). Симпліціальні категорії і гомотопії.
Симпліціальні категорії з додатковими структурами. Гомотопії.

Лекція 19 (26.3.2018). Ланцюгові гомотопії.
Ланцюгова гомотопія. Збагаченість Ch.(A) в Ch.(Ab),Розслаблений моноїдальний функтор. Симпліціальна гомотопія породжує ланцюгову на комплексі Мура; на його доданках NkA і NA.
Розслаблений симетричний моноїдальний функтор K. Відображення Ейленберга-Зільбера. Розслаблений симетричний моноїдальний функтор N.

21. Відображення Александера-Вітні. Симпліціальні резольвенти в адитивному випадку. Границі і кограниці; добутки і кодобутки; термінальні і ініціальні об'єкти в qатегоріях.

22. Повні, строгі і суттєво сюр'єктивні функтори; категорні еквівалентності для qатегорій.

23. Лема Йонеда; вкладення Йонеда для qатегорій.

24. Системи факторизації; слабкі системи факторизації. Модельні категорії. Фібрації і кофібрації - розшарування і корозшарування.

25. Еквівалентність за Квиленом. Еквівалентність за Квиленом ∞-категорій, топологічних категорій, симпліціальних категорій, категорій Сіґала, категорій Резка.

26. (∞,n)-категорії. ∞-групоїди. Гомотопійна категорія ∞-категорії. Фундаментальний групоїд топологічного простору. Протилежна qатегорія. Симпліціальне представлення підмножин геометричного симплекса.

Література
[1] Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, GTM, vol. 5, Springer-Verlag, New York, 1971, 1988.
[3] Jacob Lurie, Higher topos theory, 2012
[4] Andre Joyal, Notes on quasi-categories
[5] Andre Joyal, The Theory of Quasi-Categories and its Applications
[7] Andre Joyal, Quasi-categories vs Simplicial categories
Subpages (21): View All
Ċ
Volodymyr Lyubashenko,
Dec 28, 2017, 12:54 PM
Comments