Funciones Polinómicas e Irracionales

La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 ,  donde an es diferente de cero, se conoce como una  función  polinómica  de  n  ésimo  grado.    Los números an, an-1, ..., a1,a0  se llaman los coeficientes de la función.

 Nota:  Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado.  La función P(x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado.

 Definición:  Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0.

Ejemplo:  Considera la función f(x) = x2 - 4  ilustrada gráficamente:

 

 

Muestra que las intersecciones con el eje x en  -2  y  en 2  son las raíces o soluciones de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0  y  f(2) = (2)2 - 4 = 0.

 Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3   y  x = 1 son las soluciones o raíces.

 Nota:     Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de  y = P(x) son las raíces reales P(x), y son las soluciones reales o raíces para la ecuación P(x) = 0.

 División Sintética

 Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado superior que utilizaremos en el próximo tema.  Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero.

 

 Funciones Irracionales

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:

 

donde g(x) es una función polinómica o una función racional.

Si n es par, el radical está definido para g(x) ³ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).

Ejemplo analizado 1:

Analizar y representar la gráfica de la función irracional

 

  1. Dominio:

No está definida para x2-1<0 « x2 < 1 « -1< x < 1. Luego, Df=R-(-1,1).

  1. Cortes con los ejes coordenado:

Corte con OX: y=0.  No es posible.

Corte con OY: x=0. No es posible.

  1. Regiones:

Es fácil comprobar que para x ³ 1, f(x) >0 y para x £ -1, f(x)<0.

  1. Asíntotas:

- Horizontales:

Luego, y=0 es una asíntota horizontal por la derecha. Como,

 

            no hay asíntota horizontal por la izquierda.

- Oblicuas: Probemos si hay asíntota oblicua y=mx+n por la izquierda.

 

Luego y=2x, es una asíntota oblicua por la izquierda.

  1. Información de la derivada primera:

    Es fácil observar que no se puede anular, por tanto no tiene puntos singulares.

Para x>1, f'(x) <0: f(x) es función decreciente

Para x<-1, f'(x)>0: f(x) es función creciente

  1. Información de la derivada segunda:

Es positiva para todo el dominio: f(x) es función convexa.

  1. Información complementaria:

Con toda la información que ya tenemos puede quedar cierta duda de por donde puede pasar la curva. La siguiente puede darnos la luz necesaria:

- Algunos puntos: x=-1 ® y=-1; x=1 ® y=1

- ¿Atraviesa la asíntota y=2x?: Imposible ya que la ecuación f(x)=2x es incompatible.

 

 

 

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