LOGARITMOS


LOGARITMOS

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.2
\log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\,

  • La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b>0, b \ne 1)\,.
  • x tiene que ser un número positivo (x>0)\,.
  • n puede ser cualquier número real (n\in\mathbb{R})\,.
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

[editar]Identidades logarítmicas

Artículo principal: Identidades logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
  • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
 \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b) \,
  • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
 \!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b) \,
  • El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
 \!\, \log(a ^ x) = x \log(a) \,
  • El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
 \!\, \log(\sqrt[x]{y}) = \frac{\log(y)}{x} \,
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
 \!\, \sqrt[x]{y} = y^\frac{1}{x} \,

[editar]Cambio de base

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,
en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!\,
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como \log(x)\,\!\,, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominadapH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

[editar]Elección de la base

Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e; fueron desarrollados por John Napier.
Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Briggs.
Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: 10^3=1000\, luego \log_{10}1000=3\,.
Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Para indicar logaritmos en base e se usa ln.

[editar]Historia

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis DescriptioJoost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesianavegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e, haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.
Inicialmente, Napier llamó "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su "teorema fundamental", que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

Propiedades generales

  1. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre e^u > 0\, (o 10^u > 0\,) y en consecuencia no hay ningún valor de uque pueda satisfacer e^u = x\, cuando x<0\,, sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la fórmula de Euler.
  2. El logaritmo de su base es 1. Así \log_b b=1\, ya que b^1=b\,.
  3. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así \log_b 1=0\, ya que b^0=1\,.
  4. Si 0<A<1 entonces \log_b A\, es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.
  5. Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 2^0=1\,2^1=2\,2^2=4\,2^3=8\,, y 2^4=16\, etc. Luego \log_2 1=0\,\log_2 2=1\,\log_2 4=2\,\log_2 8=3\, y \log_2 16=4\, etc.

    Logaritmos decimales

    Los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
    • Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
    • Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).
    1. La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que Log_{10} 1=0\, y Log_{10} 10=1\, entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.
    2. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.
    3. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.
    4. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.

    [editar]

    Calcular por la definición de logaritmo el valor de y

    1logaritmo
    logaritmo
    logaritmo
    logaritmo
    3logaritmo
    logaritmo
    4logaritmo
    logaritmo
    5logaritmo
    logaritmo
    logaritmo
    3logaritmo
    logaritmo
    4logaritmo
    logaritmo
    5logaritmo

    Propiedades de los logaritmos

    De la definición de logaritmo:
    Definición
    podemos deducir:
    No existe el logaritmo de un número con base negativa.
    base negativa
    No existe el logaritmo de un número negativo.
    negativo
    No existe el logaritmo de cero.
    cero
    El logaritmo de 1 es cero.
    uno
    El logaritmo en base a de a es uno.
    base a de a
    log 10 = 1


    logaritmo

    Operaciones con logaritmos

    Logaritmo de una multiplicación

    1El logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
    producto
    Producto

    Logaritmo de una división

    2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
    cociente
    Cociente

    Logaritmo de una potencia

    3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
    potencia
    potencia

    Logaritmo de una raíz

    4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
    raíz
    raíz
    Cambio de base:
    Cambio de base
    Cambio de base
    definición
    definición
     definición
    definición


      definición

    definición

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