หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

           ในการศึกษาคณิตศาสตร์นั้น บางครั้ง จะพบแบบรูปที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม เช่น  จากการสังเกตผลบวกของจำนวนคี่

                                                     1                  = 1            = 12

                                                  1 + 3              = 4            = 22

                                                  1 + 3 + 5       = 9            = 33

                                                        .                .                  .

                                                        .                .                  .

                                                        .                .                  .

             แล้วทำนายแบบรูปทั่วไปว่า    1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2    ซึ่งเราจะเรียกข้อความนี้ว่า ข้อความคาดการณ์ (Conjecture)

            เราไม่สามารถทราบได้ว่า รูปแบบที่เราได้กำหนดมาเป็นจริงหรือเท็จ หากเราตรวจสอบโดยการแทนจำนวนเต็มเข้าไปทั้งหมดจะไม่สามารถทำได้ เพราะอาจมีกรณีใดกรณีหนึ่งที่ทำให้ข้อความคาดการณ์นี้เป็นเท็จซึ่งเราจะต้องเสียเวลาในการแทนค่า กว่าที่จะหากรณีที่จะให้เป็นเท็จได้ ซึ่งเราจะใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความคาดการณ์ที่กำหนดให้ไว้

            หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เป็นสัจพจน์ของเอปาโน (Peano Postulates) ข้อที่ 5 ซึ่งกล่าวว่า  ถ้า S เป็นเซตย่อยใด ๆ ของเซตของจำนวนนับ  ซึ่งมีสมบัติดังนี้

                                            

 
การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
 
                                       
                                        
                                                                                              
 

             ดังนั้น ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k + 1) เป็นจริงด้วยจาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก

          ***  หมายเหตุ       (1) เรียกว่า ขั้นตอนฐานหลัก และ (2) เรียกว่า ขั้นตอนอุปนัย

          สรุป   จากขั้นที่ 1 เราทราบว่า ข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริงสำหรับค่า n = 1 และ

                    จากขั้นที่2 เราทราบต่อไปอีกว่า ถ้าข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริงสำหรับค่า n = k แล้ว ข้อความคาดการณ์นี้ก็จะเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 ด้วย นั่นคือ ข้อความคาดการณ์นี้จะเป็นจริง

สำหรับค่า n = 1 + 1 = 2 ด้วย ทำนองเดียวกัน ก็จะเป็นจริงสำหรับ n = 2 + 1 = 3 และไปเรื่อย ๆ นั่นคือ ถ้าขั้นตอน p(k + 1) เป็นเท็จ จะทำให้ข้อความอื่น ๆ เท็จตามไปด้วย

           
                                       
                                          
                                           
                                       
 
                                                                                           ข้อสังเกต!!!

      "การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ไม่ใช่รูปแบบของการให้เหตุผลแบบอุปนัย ซะทีเดียวถึงแม้ว่า เราจะยึดหลักในการพิสูจน์เป็นอย่างเดียวกันก็ตาม ทั้งนี้เพราะ

ผลสรุปที่ได้จากการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ถือว่าแน่นอนและเป็นจริงเสมอ ซึ่งผิดกับผลสรุปทีได้จากแบบอุปนัย ซึ่งเป็นเพียงแค่ความน่าจะเป็นเท่านั้น"

Comments