Strona główna‎ > ‎

1. ZGP - Zbiorczy Głos Przechodni

2018.03.07

Zbiorczy Głos Przechodni

 

 

Spis treści:

1. Systemy wyborcze ‘Głosu Przechodniego’

1.1. Rodzaje systemów ‘Głosu Przechodniego’

1.2. Różnice pomiędzy PGP i ZGP

1.3. Kartka wyborcza

2. Algorytm ZGP

2.1. Idea ‘Głosu Przechodniego’

2.2. Ogólny algorytm

2.3. Wybór pierwszego kandydata

2.4. Wybór drugiego kandydata

2.5. Monotoniczność algorytmu ZGP

2.6. Rozstrzyganie remisów

2.7. Metoda redukcji wybierania wielomiejscowego do jednomiejscowego

 

 

1. Systemy wyborcze ‘Głosu Przechodniego’

1.1. Rodzaje systemów ‘Głosu Przechodniego’

Systemy „Głosu Przechodniego” (GP, ang. „Transferable Vote”) są systemami transferowymi i preferencyjnymi. Należą do nich „Pojedynczy Głos Przechodni” (PGP, ang. „Single Transferable Vote”, STV) i jego odmiana jednomandatowa „Głos Alternatywny” (GA, ang. „Alternative Vote”, AV) oraz „Zbiorczy Głos Przechodni” (ZGP, ang. „Collective Transferable Vote”).

Ich podstawą są dwie idee:

·         wyborca na kartce wyborczej może zaznaczyć wielu kandydatów: z uwzględnieniem swoich preferencji dla nich, tzn. z zaznaczeniem, których kandydatów bardziej chciałby wybrać, a których mniej;

·         podczas obliczania wyniku wyborów, aby kolejnego kandydata uznać za wybranego, jest potrzebna pewna ustalona „właściwa” (optymalna) ilość kart wyborczych, przydzielanych (jakby) w tej chwili temu kandydatowi - i ta ilość ma być już wyłączona z dalszych obliczeń (tzn. przy wybieraniu kandydatów na kolejne miejsca), a pozostała ilość kart może być następnie przydzielana kolejnym wybieranym kandydatom.  

 

 

1.2. Różnice pomiędzy PGP i ZGP

W systemach PGP wyborca ma pewne ograniczenia (wymuszające na nim głosowanie czasem niezgodne z jego własnymi ocenami i preferencjami), np. takie, że nie wolno mu przydzielić różnym kandydatom tego samego numeru preferencji - w ZGP nie ma takich sztucznych ograniczeń (ZGP jest więc dla wyborcy też bardziej przyjazny).  

Złą (niedemokratyczną) cechą PGP jest też niemonotoniczność w sensie negatywnej reaktywności, tzn. może się zdarzyć, że polepszenie kart wyborczych (w głosowaniu) na korzyść kandydata, może spowodować jego przegraną (gorszy wynik).

Obliczanie wyniku głosowania w systemie ZGP w przypadku wielomandatowym zwykle wymaga komputera, ponieważ jest trudniejsze niż w najprostszych (nieułamkowych) wersjach PGP (gdzie wystarczy samo przekładanie kart wyborczych).

 

 

1.3. Kartka wyborcza

W systemie ZGP wyborca wpisuje nie liczby, lecz krzyżyki w odpowiednie kolumny preferencji; wydaje się, że powinno wystarczać tylko kilka preferencji (np. 5+), niezależnie od ilości kandydatów. Porównanie wyglądu uproszczonej kartki wyborczej dla systemu PGP i równoważnej jej kartki dla ZGP:

*** system PGP ***

Nr preferencji

1

Kandydat Pierwszy

2

2

Kandydat Drugi

 

3

Kandydat Trzeci

1

4

Kandydat Czwarty

1

5

Kandydat Piąty

4

6

Kandydat Szósty

 

 

*** system ZGP ***

Nr preferencji

1

2

3

4

5

1

Kandydat Pierwszy

 

x

 

 

 

2

Kandydat Drugi

 

 

 

 

 

3

Kandydat Trzeci

x

 

 

 

 

4

Kandydat Czwarty

x

 

 

 

 

5

Kandydat Piąty

 

 

 

x

 

6

Kandydat Szósty

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 






 

 


 

 

2. Algorytm ZGP

2.1. Idea ‘Głosu Przechodniego’

Idee obliczania wyniku głosowania w systemach PGP i ZGP różnią się tym, że po wybraniu kandydata (dzięki zliczeniu wymaganej do tego celu ilości kart z ‘głosami’ na niego):

·   w PGP: te karty wyborcze (ta ich ilość) są usuwane z dalszych obliczeń (wymaga tego idea GP), natomiast pozostałe, nadmiarowe jego karty wyborcze są przekazywane innym kandydatom;

·   w ZGP: ta ilość kart jest usuwana z dalszych obliczeń; natomiast dla następnych kandydatów ilość kart wyborczych dla nich jest obliczana ze zbioru wszystkich kart wyborczych, ale z uwzględnieniem usunięcia tej ich ilości (wymaga tego idea GP).

 

 

2.2. Ogólny algorytm

Poniższy algorytm pokazuje podstawową ideę obliczania wyniku głosowania ZGP (dla uproszczenia pominięta jest w nim sprawa automatycznego zmniejszania WIK oraz remisów).

POWTARZAJ

      ZnajdźNajmniejszyNrPreferencjiDoKtórejKtóryśKandydatOsiągaWymaganąIlośćKartWolnych

      UznajZaWybranegoNaKolejneMiejsce( KandydataZNajwiększąDoTejPreferencjiIlościąKartWolnych )

DOPÓKI WszystkieMiejscaSąJużZajęte

 

Def.1. IlośćKartWolnych do preferencji aktualnej (=NrPref) dla kandydata jeszcze niewybranego (=Kand):

   IlośćKartWolnych( Kand, NrPref ) :=

   Minimum( { IIF( IlośćKartZPodzbAleBezKand(Pzkw,Kand,NrPref) >= IlośćKartPrzydzDlaPodzb(Pzkw),

                              IlośćKartZKand(Kand,NrPref),

                              IlośćKartZPodzbAleBezKand(Pzkw,Kand,NrPref) - IlośćKartPrzydzDlaPodzb(Pzkw) +

                              IlośćKartZKand(Kand,NrPref) ) : Pzkw Ì ZbiórKandydatówWybranych } )  

 

Def.2. IIF(warunek,w1,w2) = w1, jeżeli jest spełniony ‘warunek’, a w przeciwnym wypadku = w2

Def.3. IlośćKartZPodzbAleBezKand(Pzkw,Kand,NrPref) := [ ilość kart wyborczych, w których od pref. nr 1 do pref. NrPref

                                                                                                           jest zaznaczony któryś kandydat z Pzkw, ale nie ma tam Kand ]

Def.4. IlośćKartZKand(Kand,NrPref) := [ ilość kart wyborczych, w których od preferencji nr 1 do preferencji NrPref

                                                                     jest zaznaczony Kand ]

Def.5. IlośćKartPrzydzDlaPodzb(Pzkw) := [ Suma ilości kart przydzielonych (tzn. = WymaganejIlościKart (ówczesnej))

                                                                         dla kandydatów z Pzkw przy ich wybieraniu ]

 

 

 

 

2.3. Wybór pierwszego kandydata

 

Idea obliczania wyniku głosowania ZGP w przypadku wybierania pierwszego kandydata: zlicza się ilości kart (dla każdego kandydata osobno) z kolejnych preferencji (łącznie, od pierwszej), aż któryś kandydat osiągnie Wystarczającą Ilość Kart. (ZGP obejmuje też przypadek jednomandatowy (jednomiejscowy), tzn. gdy wybrany ma być tylko jeden kandydat. ‘Ilość Miejsc’ jest to to samo, co ‘Ilość Kandydatów Do Wybrania’.) 

Ogólny algorytm ZGP w przypadku wybierania pierwszego kandydata redukuje się do algorytmu:

     ZnajdźNajmniejszyNrPreferencjiDoKtórejKtóryśKandydatOsiągaWymaganąIlośćKart,

     UznajZaWybranego( KandydataZNajwiększąDoTejPreferencjiIlościąKart ),

 

a bardziej szczegółowo:

1.      WymaganaIlośćKart := 1 + CzęśćCałkowita( IlośćKartWyborczych / (IlośćKandydatówDoWybrania + 1) ) .

2.      Jako aktualną preferencję ustala się 1.

3.      Zlicza się karty z kandydatami (osobno) w preferencjach od 1. do aktualnej (łącznie, tzn. sumarycznie).

4.      Sprawdza się, czy któryś kandydat osiągnął WymaganąIlośćKart:

·         jeśli Tak, to za wybranego uznaje się tego, który tych kart uzyskał najwięcej (a jeśli jest więcej takich, to np. tego, który ma przewagę w najwcześniejszej preferencji (lub wg innych rozstrzygnięć));

·         jeśli Nie, to zwiększa się nr preferencji aktualnej o 1 i powraca się do p.3.; (jednak jeśli to była już ostatnia preferencja, to za wybranego uznaje się tego kandydata, który uzyskał największą ilość kart).  

 

 

 

 

2.4. Wybór drugiego kandydata

 

Ogólny algorytm ZGP w przypadku wybierania drugiego kandydata redukuje się do podobnego algorytmu jak powyższy (‘Wybór pierwszego kandydata’), tylko że zamiast ‘kart’ należy liczyć ‘karty wolne’ pozostałych kandydatów, a więc:

  ZnajdźNajmniejszyNrPreferencjiDoKtórejKtóryśKandydatOsiągaWymaganąIlośćKartWolnych

  UznajZaWybranego( KandydataZNajwiększąDoTejPreferencjiIlościąKartWolnych )

Sposób obliczania ilości kart wolnych (gdy został już wybrany pierwszy kandydat) dla jakiegoś kandydata niewybranego:

JEŻELI IlośćKartZKandydatemWybranymAleBezKandydataNiewybranego >= WymaganaIlośćKart,

TO:  IlośćKartWolnychKandydataNiewybranego = IlośćKartZKandydatemNiewybranym,

A w przeciwnym wypadku: IlośćKartWolnychKandydataNiewybranego = IlośćKartZKandydatemWybranym -

                                               WymaganaIlośćKart + IlośćKartZKandydatemNiewybranymAleBezKandydataWybranego

Uwaga: przy liczeniu kart wyborczych sprawdza się na nich kandydatów tylko w preferencjach: od 1. do ‘aktualnej’.

 

 

2.5. Monotoniczność algorytmu ZGP

Algorytm ZGP jest monotoniczny w sensie braku negatywnej reaktywności, a właściwie niemalejący względem każdego kandydata. Konkretniej co do definicji niemalejącości tego algorytmu: dla każdego kandydata, funkcja, przyporządkowująca zbiorowi kart wyborczych wynik wyborczy ( ze zbioru { 0, 1 } ) tego kandydata, jest niemalejąca, tzn. gdy w karcie wyborczej (ogólniej: w dowolnym ich podzbiorze): [zostanie polepszony dla tego kandydata jego nr preferencji] lub [dopisze się tego kandydata do tej karty] lub [zostanie pogorszony nr preferencji dla innego kandydata] lub [usunie się z karty innego kandydata], to wynik wyborczy tego kandydata się nie pogorszy (będzie nie mniejszy).

Uzasadnienie monotoniczności, a konkretniej niemalejącości ZGP:

·      Przy wybieraniu pierwszego kandydata (czyli na pierwsze miejsce), niemalejącość ZGP wynika z tego, że wybierany jest ten kandydat, który uzyskuje największą sumaryczną ilość 'kart' od preferencji 1 do tej preferencji, w której którykolwiek kandydat uzyskuje wymaganą ilość 'kart', a polepszenie zbioru kart nie może mu popsuć wyboru.

·      Dokończenie powyżej rozpoczętego uzasadnienia indukcyjnego: jeżeli pewna ilość kandydatów została już wybrana, to powyższy rodzaj uzasadnienia dotyczyłby też wyboru następnego kandydata.

·      Inny argument: przy wybieraniu kandydata na dowolne miejsce niemalejącość algorytmu ZGP wygląda na spełnioną, ponieważ każda część algorytmu (każdy element wzoru (funkcji) i grafu obliczania) jest niemalejąca.

·      Monotoniczność ZGP potwierdzałyby też porównania przykładów głosowań obliczanych różnymi metodami.

 

 

 

 

2.6. Rozstrzyganie remisów

Podczas obliczania wyniku wyborów, po dojściu do takiej preferencji, że któryś kandydat osiągnie WIK, zwykle tylko jeden kandydat osiąga najlepszy wynik (tzn. ilość ‘kart wolnych’ od preferencji nr 1 do tej ‘aktualnej’) i tylko on zostaje wtedy uznany za wybranego (można by to nazwać ‘rozstrzyganiem podstawowym’). Może jednak powstać też sytuacja remisu (konfliktu symetrii ze względu na ilość jego kart wolnych), tzn. taka, że nie wiadomo, którego kolejnego kandydata uznać za wybranego, z powodu uzyskania przez wielu (>=2) kandydatów takiej samej największej ilości 'kart wolnych'. 

Naturalną metodą rozstrzygania takiego konfliktu, czyli rozstrzygania remisu, czy inaczej przerywania remisu, jest porównanie ilości ‘kart wolnych’ różnych kandydatów w innych preferencjach, dzięki czemu następnie można (w niektórych sytuacjach) wyeliminować część z tych kandydatów z takiego zbioru (‘grupy konfliktu’, ‘grupy remisu’)

Podstawowym rozstrzyganiem 'właściwym' jest ‘rozstrzyganie kierunkowe’. Polega ono na tym, że w kolejnych preferencjach porównuje się ilości ‘kart wolnych’ kandydatów z ‘grupy konfliktu’ i eliminuje z tej grupy tych kandydatów, którzy uzyskali w nich gorszy wynik. Parametrem do ustalenia w tym rozstrzyganiu jest kierunek: postępowy lub wsteczny.

W ‘rozstrzyganiu kierunkowym’ obliczanie i porównywanie polega na liczeniu ‘kart wolnych’ kandydatów w sposób:

·     Postępowy, tzn. zaczynając od preferencji pierwszej poprzez kolejne, coraz większe; albo:

·     Wsteczny, tzn. zaczynając od preferencji aktualnej (właściwie wystarczy: poprzedniej) poprzez kolejne, coraz mniejsze, a po ich sprawdzeniu (po dojściu do pierwszej), kolejną byłaby preferencja następna po tamtej ‘aktualnej’ i kolejne, coraz większe. W tym przypadku (tzn. 'wstecznym') chodzi nie o ilości 'kart wolnych' w 'danej' preferencji, lecz o sumę ilości ‘kart wolnych’: od preferencji pierwszej do 'danej'.

 

Metoda, która trochę wypośrodkowuje i optymalizuje ‘rozstrzyganie kierunkowe’, to ‘rozstrzyganie połówkowe’:

·      Połówkowe uproszczone: należy poszukać takiej preferencji (zaczynając od 1.), do której (sumarycznie) któryś z kandydatów z 'grupy konfliktu' osiągnie połowę WIK ('Wymaganej Ilości Kart na wybranie kandydata') – i wtedy wyeliminować z tej grupy tych kandydatów, których wynik jest gorszy od najlepszego z nich.

·      Połówkowe ‘do pewnego poziomu’: jeśli rozstrzyganie połówkowe uproszczone nie wystarczy, to tamte połówki można znowu podzielić na połówki (1/4*WIK i 3/4*WIK (w kolejności zgodnej z kierunkiem)) itd..

·      Połówkowe pełne: rekurencyjne.

‘Rozstrzyganie kierunkowe’ powinno być użyte dopiero po ‘rozstrzyganiu połówkowym’.

 

Metoda obliczania ilości 'kart wolnych': Ilość ‘kart wolnych' dla jakiegoś kandydata oblicza się w ten sposób, że dla każdego podzbioru kandydatów już wybranych oblicza się ilość 'kart wolnych względem tego podzbioru' tego kandydata, czyli ilość 'kart zwykłych' tego kandydata zmniejszoną o sumę ilości WIK (ówcześnie aktualnego) dla każdego kandydata (tzn. którą on 'zabrał') z tego podzbioru.

Ilość ‘kart wolnych' kandydata jest to minimum z powyższych ilości. Powyższe ilości 'kart wolnych względem podzbioru' można ustawić niemalejąco w liście - wtedy ilość 'kart wolnych' jest pierwszym elementem tej listy (z definicji).

Jako następne może być użyte ‘rozstrzyganie listowe’:

·      Listowe pełne: dla kandydatów z 'grupy remisu' (czyli z 'grupy konfliktu') porównuje się pierwsze elementy ich list i eliminuje się tych kandydatów (z tej grupy), których wartość tego elementu listy jest mniejsza od największej (‘najlepszego’ kandydata), następnie porównuje się drugie elementy tych list itd., aż do końca tych list.

·      Listowe uproszczone: polega ono na ograniczeniu tej listy do 2 elementów: elementu pierwszego (‘minimalnego’) oraz elementu dla podzbioru pustego kandydatów wybranych - a więc takie rozstrzyganie redukuje się do porównywania ilości 'kart zwykłych' kandydatów. Jeśli prawdziwa byłaby taka hipoteza, że wyniki metody pełnej i uproszczonej są zawsze takie same, to nie trzeba by wtedy stosować metody pełnej.

·      Listowe pośrednie: listę uproszczoną (lub tę ‘minimalną’, jednoelementową) można rozszerzać (tak, aby nie rozsymetryzować metody), np. o podlisty dotyczące podzbiorów k-elementowych(zbioru kandydatów wybranych), gdzie k=(0), 1, 2, ..., IlośćKandydatówWybranych.

 

Ostatnim rozstrzyganiem merytorycznym jest ‘rozstrzyganie grupowe’ – polega ono na próbie uznania za wybraną całej 'grupy konfliktu'. Jeśli ten zbiór kandydatów z ‘grupy konfliktu’, a właściwie każdy podzbiór tego podzbioru, miałby wystarczającą ilość ‘kart wolnych’, tzn. >= IlośćElementówWTakimZbiorze * WIK (WIK := Wymagana Ilość Kart na wybranie kandydata), to każdego kandydata z tego zbioru można wtedy uznać za wybranego - jeśli nie przekroczyłoby to ilości ‘miejsc’ (tzn. kandydatów do wybrania) ustalonej dla głosowania. Jest taka hipoteza, że wystarczy ‘rozstrzyganie grupowe uproszczone’, tzn. że w takiej sytuacji wystarczy sprawdzić tylko ilość ‘kart wolnych’ tego zbioru (tzn. tylko ‘grupy konfliktu’, bez innych jego podzbiorów).

 

‘Rozstrzyganie ostateczne’ to jedna z poniższych metod przerywania remisu:

·         Wylosowanie kandydata;

·         Wg kolejności kandydatów, tzn. wybranie kandydata o najmniejszym numerze – dotyczyć to może sytuacji, gdy o kolejności kandydatów na liście zadecydowało wstępne, przedwyborcze poparcie społeczne (prewybory);

 

Kolejność stosowanych rozstrzygnięć remisów:

1.      Połówkowe,

2.      Kierunkowe (wsteczne lub postępowe),

3.      Listowe,

4.      Grupowe,

5.      Ostateczne (np. losowe).

 

 

 

2.7. Metoda redukcji wybierania wielomiejscowego do jednomiejscowego

Istnieje metoda zredukowania głosowania z wybraniem wielu kandydatów do głosowania (‘innego rodzaju’) z wybraniem jednego kandydata: wystarczy tylko zastąpić ‘stary zbiór kandydatów’ zbiorem wszystkich podzbiorów tych kandydatów. Wtedy ‘nowymi kandydatami’ są podzbiory ‘starych kandydatów’, a więc ‘ilość nowych kandydatów’ = 2 do potęgi ‘ilość starych kandydatów’. Może to być lepsze w sytuacji, gdy możliwości do wyboru (kandydaty czy kandydaci) są zależne - można wtedy (przed głosowaniem) pominąć takie podzbiory (zestawy) ‘starych kandydatów’, które są niezgodne, sprzeczne, ‘bezsensowne’ lub nie spełniają odpowiednich wymagań, założeń.

 

Autor: Jerzy0Świątoniowski, I000000000000000000000, jeswiat@poczta.onet.pl , J.Ś.

 


Comments