Première Journée Affine par morceaux
 

Jeudi 7 mai 2009 

 09h30 à 18h00

Institut Henri Poincaré


 

 Documents

Un wiki (en construction) est disponible ici. Chacun est invité à le compléter!

 

Programme 

 
L'objectif de cette première journée est de faire un survol des résultats, méthodes et problèmes ouverts dans les cadres les plus simples. On essaiera de laisser du temps aux discussions informelles.
 

  • 09h30 Duncan Sands
  •           dynamique de la famille de Lozi 
  •  
  • 11h00 Isabelle Liousse
  •           actions de groupes PL 
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  • 13h30 Jérôme Buzzi
  •           mesures d'entropie maximales en dimension 2
  •  
  • 15h00 Viviane Baladi
  •           trou spectral pour des applications hyperboliques par morceaux


  • 16h30 Bastien Fernandez
  •           dynamique symbolique de systèmes affines par morceaux

 

(résumés disponibles ci-dessous)


 

Participants


  • Abdelhamid Amroun*
  • Viviane Baladi
  • Christian Bonatti *
  • Anne Broise
  • David Burguet *
  • Jérôme Buzzi
  • Sylvain Crovisier
  • Arnaud Dehove (matin)
  • Bertrand Deroin *
  • Bastien Fernandez
  • Marguerite Flexor*
  • Guillaume Havard 
  • Isabelle Liousse
  • Frédéric Le Roux *
  • Carlos Matheus*
  • Sylvie Ruette
  • Andres Sambarino *
  • Duncan Sands 
  • Juliana Xavier *


(Merci de me contacter si vous êtes sur la liste et ne pouvez venir et vice-versa)

Informations pratiques

L'inscription est gratuite mais nécessaire

Organisateur: Jérôme Buzzi (prénom.nom@math.u-psud.fr)


 

 

Résumés

 Exposé de Duncan SANDS: Dynamique de la famille de Lozi

 

Je présenterai un survol des résultats connus pour les homéomorphismes affines par morceaux du plan avec Jacobien constant qui ont exactement deux morceaux (applications Lozi généralisés), et quelques exemples concrets et assez étonnants de leurs dynamiques.

Articles:

(1) Lap number entropy formula for piecewise affine and projective maps in several dimensions
Yutaka Ishii, Duncan Sands 2007 Nonlinearity 20 2755-2772

(2) Piecewise affine and projective maps in several dimensions. II: Rigorous entropy computation
Yutaka Ishii, Duncan Sands Prépublication Orsay 2007-04 


Exposé d'Isabelle LIOUSSE: Actions de groupes PL

 

Les groupes d'homéomorphismes PL du cercle ont fourni depuis R. Thompson de  nombreux exemples de groupes  simples infinis  et de présentation finie.   De nombreuses généralisations de ces groupes  ont été définies et étudiées. Ici, nous nous intéressons aux généralisations  proposées par Bieri-Strebel et  Stein.

Le groupe  $T_{r, \Lambda, A}$ est défini par Bieri et Strebel comme étant le groupe  des homéomorphismes PL du cercle  $S_r= \frac{\mathbb R} {r \mathbb Z}= \frac {[0,r]} { 0=r}$  :
        - dont les pentes appartiennent à  un sous-groupe multiplicatif  $\Lambda$ de $\mathbb R^{+*}$,
        - dont les  points de coupure  appartiennent à un $\mathbb Z$-module $\Lambda$-invariant $A$ contenant $r$ et
        - qui préservent $A$.

Stein a montré que lorsque $\Lambda = <n_1, ..., n_p>$ le sous-groupe multiplicatif engendré par  $p$ entiers positifs $n_i$  multiplicativement indépendants et $A = \mathbb Z [\frac{1}{n_1. .. n_p}]$,  le groupe $T_{r,\Lambda, A}$ est toujours de présentation finie. Il sera noté $T_{r, (n_i)}$ et appelé groupe de Stein-Thompson.

Le groupe de Thompson classique $T$ est alors  $T_{1, (2)}.$

Dans cet exposé nous expliquerons comment une étude  de la  dynamique (nombres de rotations, conjugaisons aux rotations) des éléments des groupes de Stein-Thompson  permet d'établir les  propriétés suivantes :
        - les  groupes de Stein-Thompson $T_{r,    (n_i)}$ et $T_{r,    (m_j)}$ (avec $<m_i, i>\not= <n_j, j>$) ne sont jamais isomorphes,
        - les groupes de Stein-Thompson  de rang  $p\geq 2$ n'ont pas d'automorphismes exotiques (i.e non réalisés par des conjugaisons PL),
        - les groupes de Stein-Thompson  de rang  $p\geq 2$ ne peuvent jamais être représentés comme des groupes de  $C^\infty$-difféomorphismes du cercle,
        - les groupes de Stein-Thompson sont ne contiennent pas d'élément distordu,
        - à  partir des groupes de  Stein-Thompson de rang  $p\geq 2$, Dongping Zhuang  a obtenu  les premiers exemples de groupe de présentation finie contenant des élements dont la longueur stable est irrationnelle.

 


 Exposé de Jérôme BUZZI: Mesures d'entropie maximale en dim 2

 

Selon Hofbauer (1979), les endomorphismes de dimension 1 (plus précisément les applications monotones et continues par morceaux) ont un nombre fini de mesures ergodiques d'entropie maximale dès que leur entropie topologique est non-nulle (ceci fournit une forme d'hyperbolicité). Il est conjecturé qu'un résultat semblable aurait lieu pour les difféomorphismes lisses des surfaces compactes mais peu de progrès ont été accomplis depuis les résultats d'approximations de Katok (1981).

Notre exposé portera d'une part sur le résultat positif obtenu pour les homéomorphismes affines par morceaux -dont nous expliquerons les techniques- et d'autre part sur les contre-exemples affines par morceaux. Nous conclurons sur quelques problèmes ouverts.



Exposé de Viviane BALADI: Trou spectral pour des applications hyperboliques par morceaux

Les applications uniformément hyperboliques sont le type même des applications
chaotiques ; elles sont maintenant très bien comprises. Cependant, si on s'autorise des
discontinuités, un certain nombre de problèmes supplémentaires se posent. Avec S.
Gouëzel, nous avons développé une nouvelle méthode pour étudier ce type
d'applications, combinant des outils analytiques (espaces de Sobolev anisotropes) et
géométriques (une classe de feuilletages localement invariante par l'application).
Cette approche traite un certain nombre d'exemples, mais nécessite une hypothèse de
pincement (qui est probablement un artefact de la méthode, mais est satisfaite lorsque
la direction stable ou instable est unidimensionnelle).


Un premier article (le cas où la direction stable est lisse) est disponible sur http://www.dma.ens.fr/~baladi/pwh.pdf. Le cas avec hypothèse de pincement est un travail en cours

 

 

Exposé de Bastien FERNANDEZ: Dynamique symbolique de systèmes affines par morceaux

 

Dans un système affine par morceau, la dynamique peut être résolue  formellement pour obtenir une expression des orbites globales en  fonction de leur code symbolique,  puis une équation pour ces codes.  Je montrerai des exemples où cette équation se révèle utile pour  caractériser la dynamique et ses changements avec les paramètres.
Collaboration avec R. Coutinho.