Unidad 2: Raíces de ecuaciones

Los siguientes métodos requieren que las funciones sean diferenciales, y por lo tanto continuas, en un intervalo donde se apliquen aquéllas, por lo tanto estos tipos de métodos son llamados "Métodos de Intervalos". También se puede intentar utilizarlos para funciones no diferenciales o discontinuas en algunos puntos, pero en este caso el llegar al resultado dependerá, aleatoriamente, de que durante la aplicación del método no se toquen esos puntos.

El problema de obtener las soluciones o raíces de una ecuación algebraica o trascendente de la forma F(x)=0 se representa frecuentemente dentro el campo de la ingenieria.

Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a f(x) = 0.

Así, que un método simple para obtener a la raíz de la ecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruza el eje x. Por eso estos tipos de métodos, son llamados "Métodos Gráficos"

Debido a ello, el desarrollo de métodos que nos permiten solucionarlo es amplio;  en esta unidad presentamos algunos para determinar las raíces reales o complejas de ecuaciones de este tipo, tales como:


2.1 Métodos de intervalos: Gráficos, Bisección y falsa posición.

  • El método de la bisección: o también llamado Método de Bolzano, parte de una función F(x) y un intervalo [x1, x2] tal que F(x1) y F(x2) tienen signos contrarios. Si la función es continua en este intervalo, entonces existe una raíz de F(x) entre x1 y x2.

Una vez determinado el intervalo [x1, x2] y asegura la continuidad de la función en dicho intervalo, se valúa ésta en el punto medio xm del intervalo, como se ve:


Si F (xm) y F(x1) tienen signos contrarios, se reducirá el intervalo de x1 a xm, ya que dentro de estos valores se encuentra la raíz buscada. Al repetir este proceso, hasta lograr que la diferencia entre los dos últimos valores de xm sea menor que una tolerancia prefijada, el último valor xm será una buena aproximación de la raíz.

 

Pasos:

1.- Elija valores iniciales inferior x1, y superior de x2, que encierren a la raíz, de forma que la función cambie el signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(x1) f(x2) <0

2.- Una aproximación de la raíz, se determina mediante: Xr= x1 + x2 / 2

3.- Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo ésta la raíz:

- Si f(x1) f (Xr) <0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por tanto, haga X2 = Xr y vuelva al paso 2.
- Si f(x1) f(Xr)>0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por tanto, haga X1 = Xr y vuelva al paso 2.
- Si f(x1) f(Xr) =0, entonces la raíz se igual a Xr; y termina el cálculo.


  • Método de la Falsa Posición: Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación por "fuerza bruta" es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.

Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de x1 a xu en mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes de f(x1) y f(xu). Por ejemplo, si f(x1) está mucho más cercana a cero que f(xu), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de x1 que de xu. Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(x1) y f(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se remplace la curva por una línea recta de una "falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.

Bibliografía

Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill.

Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Domínguez Sánchez,  Métodos Numéricos, 3ª ed., CESA.

Rafael Iriarte V. Balderrama, Métodos Numéricos, 3a ed, Trillas

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_regla_falsa

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n

2.2 Métodos abiertos: Iteración punto fijo, Método de Newton Raphson y Método de la secante. Métodos para raíces múltiples.

Los métodos abiertos utilizan una formula para predecir la raíz. Esta formula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo).

  • Raíces múltiplesLas raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómicas que tienen la forma general:

Donde n es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las raíces de los polinomios pueden ser reales y / o complejos, y cumplir con las tres reglas:

1.- En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas. Cabe señalar que las raíces no son necesariamente diferentes.

2.- Si n es impar hay al menos una raíz real.

3.- Si hay raíces complejas, estas se encuentran en pares conjugados.

-Método de Punto Fijo: 

El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. No obstante que en la actualidad existen otros métodos más eficientes, el de punto fijo se considera el más simple en sus principios y en él se pueden apreciar claramente todas las características de un método de aproximaciones sucesivas.

Sea F(x) = 0 una ecuación algebraica o trascendente cualquiera. Se suma x en ambos miembros y se obtiene:                                                                                                                                                                         

F(x)   +  x   =   x       (a)

donde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como:

G(x)  +    x   =  x    (b)

Se sustituye en la ecuación (a):                                                                                                                                      

x   =  G(x)     (c)

Obsérvese ahora que cualquier ecuación puede representarse en esta forma, siguiendo el procedimiento anterior.

        Si x = a es una raíz de la ecuación, entonces

F (a)   = 0

o bien, al sustituir en la ecuación (c)

a  =  G (a)

El método de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir un valor inicial (x0) apropiado (cercano a la raíz) en el segundo miembro de la ecuación (c). Si x0 es la raíz, se deberá cumplir la ecuación (d); esto es:

x0  =  G(xo)

pero esto será difícil de que ocurra; seguramente el valor inicial principal proporcionado x0 será solo un valor cercano a la raíz. Entonces, en el caso general:

x0  =/  G(x0)           o bien,             x1  = G(x0)

donde x1 es la nueva aproximación de la raíz a. se sustituye x1 en el segundo miembro de la ecuación (c) y se obtiene:

x2  =  G(x1)

Al proceder reiteradamente en esta forma se induce que la n-ésima aproximación es:

Xn  = G(Xn-1)

n = 1,2,3,.....

De acuerdo con lo visto en los temas anteriores, puede afirmarse que si el método converge, la diferencia en valor absoluto entre valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas será cada vez más pequeña a medida que n aumnete, y con esto se tendrá un criterio para saber cuándo termina la aplicación del método.

Es posible afirmar que si en la n-ésima iteración el método se está aproximando a la raíz o converge a ella, entonces:

|G´(t)| = |a - Xn| / |a - Xn-1| <1

Es decir, el método es convergente si: 

  |G´(t)|<1                       Xn-1<t<a

Esto significa que el método converge en la n-ésima iteración cuando el valor absoluto de la derivada de G(x) en cualquier punto del intervalo (Xn-1, a) es menor que la unidad.

   Por otra parte el método es divergente si

|a - Xn|  >  |a - Xn-1|

  • Recordar que el método dePunto Fijo, nos dice que, solo podra haber y tener un unico punto o raíz.
-Método de Newton - Raphson:

         Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuación algebraica o trascendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciones.
          Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como trascendentes y con él es posible obtener raíces complejas.
        Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

El método de Newton-Rapshon se deduce a partir de esta interpretación geométrica.

El método de Newton-Raphson, como todos los de aproximaciones sucesivas, parte de una primera aproximación y mediante la aplicación de una formula de recurrencia se acercara a la raíz buscada, de tal manera que la nueva aproximación se localiza en la intersección de la tangente a la curva de la función en el punto y el eje de las abscisas.

De la figura se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente:

Simplificando:

Lo que se conoce como ecuación de Newton-Raphson.


-Método de la Secante:

La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente.

Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante empleando para saber la respuesta de ésta operación se emplea en matemáticas la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja. El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la segunda derivada.

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1), f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula.


Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión gráfica siguiente:

En la siguiente iteración, emplearemos los puntosx1 yx2 para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación de arriba. En la figura se representa geométricamente este método.

En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson.

Forma de hacerlo:

Primero hay que definir algunos conceptos como:

Xn: es el valor actual de X

Xn- 1: es el valor anterior de X

Xn+1: es el valor siguiente de X

Para simplificar la formula que se usa en este método se dirá que:

A=Xn-1

B=Xn+1

C=Xn

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando hasta que encuentra la raíz.

El método se define por la relación de recurrencia:


Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial. 

Bibliografía

Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill.

Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Domínguez Sánchez,  Métodos Numéricos, 3ª ed., CESA.

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_secante

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n

2.3 Aplicaciones a la ingeniería mecánica

El papel del ingeniero ha sido tratar de conocer e interpretar los mecanismos de la naturaleza para así poder modificarla al servicio del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos, intuición, experiencia y los medios naturales a los que en cada momento ha tenido disponibles. Con el gran poder de cómputo que se tiene en estos días, el ingeniero dispone de grandes ventajas para poder llevar a cabo su misión y abordar cada día retos más ambiciosos en la solución de nuevos problemas, cuyos aspectos políticos, económicos, científicos o tecnológicos pueden tener un mayor impacto en la mejora de la calidad de vida del hombre. Encontramos así aplicaciones de los métodos numéricos en los ámbitos más diversos desde sectores tecnológicos tan clásicos como la ingeniería estructural o la aerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más sofisticadas como ingeniería de alimentos, ingeniería medica, diseño de fármacos, biología, etc.

En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico estructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles  (a veces de millones) de incógnitas. Se presentan a continuación algunas aplicaciones de los métodos numéricos a diversos problemas de ingeniería. Conocer y aplicar los fundamentos de los métodos numéricos para solución de problemas en Ingeniería, implementando los algoritmos en un lenguaje de programación. Establecer las bases para la aplicación de los métodos numéricos como herramienta orientada la solución de problemas en las Ingenierías.

Desarrollar la capacidad para el planteamiento y solución de problemas mediante el uso de herramientas computacionales que impliquen la aplicación de los métodos numéricos.

  • Raíces de ecuaciones

En ocasiones en el ámbito de la ingeniería es necesario resolver ecuaciones no lineales que no tienen solución analítica o que es muy complicado hallarlas, como en el caso de la fórmula de la secante para deflexión de columnas con carga excéntrica. Para estos casos, deben utilizarse métodos de solución numérica de ecuaciones.

Conclusiones

Como ha podido constatarse, los métodos numéricos y su aplicación computacional, permite resolver diversos problemas físicos en forma eficiente. La cantidad de problemas que se abordan aumenta día a día y la calidad de los resultados se ajusta más a la realidad. La conjunción de las matemáticas y los métodos numéricos a permitido abordar problemas de mucho intereses tanto para la comunidad científica, como para que la sociedad se vea beneficiada de la aplicación de simulaciones numéricas.

Bibliografía

Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill.

Comments