Cálculos para periodos de pagos

2.2 Cálculos para Periodos de Pago

 

CALCULOS PARA PERIODOS DE PAGOS.

Además de considerar el interés o el periodo de capitalización, es también necesario considerar la frecuencia de los pagos o entradas dentro del intervalo de un año. Para simplificar, la frecuencia de los pagos o entradas se conoce como periodo de pago.


Es importante distinguir entre periodo de capitalización y de periodo de pago, porque en muchos casos ambos no coinciden.
Por ejemplo si una persona deposita dinero cada mes en una cuenta de ahorros que produce una tasa de interés nominal del 6% anual capitalizada semestralmente, el periodo de pago seria un mes mientras que el periodo de capitalización seria 6 meses.


De manera semejante, si una persona deposita dinero cada año en una cuenta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, el periodo de pago es un año, mientras que el periodo de capitalización es trimestral.
Si el pago y los periodos de capitalización son iguales, la tasa se expresa como los capítulos anteriores (es decir, 1% mensual, donde el periodo de capitalización es un mes y los pagos deben hacerse al final de cada mes).

2.2.2 Mayores a los periodos de capitalización

MAYORES A LOS PERIODOS DE CAPITALIZACION.

Caso 2: Periodos de pago mayores a los periodos de capitalización. (P>C).

3c
. k= numero de pagos al año.
z = número de veces de la capitalización en un periodo de pago.

Ejemplo:
1. Se invierten $ 50 000 cada semestre (empezando el próximo semestre) y durante 4 años, si la tasa de interés es del 35 % capitalizable bimestralmente, ¿Cuánto se tendrá de valor equivalente a la información anterior y que se ubique en este momento?
Solución:
Datos: A = 50 000 i = 35 % i = 0.35 n = 4 años t = 6 k = 2 z = 3 P = ¿?


3c



222

P = 50 000 (P/A, 18.5407 %,8) = 50 000 (4.010185675) = $ 200 509.28

 

Cuando los períodos de capitalización y pagos no coinciden En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas. Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones: 1. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA). 2. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de gradientes. 2.3.1. Factores de pago único Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos: 1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma: VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos: Tasa de interés efectiva i Unidades para n 1.5% mensual Meses 4.57% trimestral Trimestres 9.34% semestral 19.56% anual Años 42.95% cada 2 años Período de dos años 70.91% cada 3 años Período de tres años Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral: j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =? El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n... Ejercicio 121 (Capitalización de depósitos variables) Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años. Solución: Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero calculamos la tasa periódica trimestral a partir de la tasa nominal del 18%: j = 0.18; n = 4; i =? Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la fórmula [19]. n1...3 = (12*4) = 48, (8*4) = 32 y (6*4) = 24 Respuesta: El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55 2.3.2. Factores de serie uniforme y gradientes Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos: 1. El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC 2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC 3. El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos: a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres. b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n en (a). c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de n e i. Ejercicio 122 (Capitalización de una anualidad semestral) Si ahorramos UM 300 cada 6 meses durante 5 años. ¿Cuánto habré ahorrado después del último abono si la tasa de interés es 24% anual compuesto semestralmente? Solución: Como n está expresado en períodos semestrales, requerimos una tasa de interés semestral, para ello utilizamos la fórmula [44B]. C = 300; m = 2; j = 0.24; n = (5*2) = 10; i =?; VF = ? Con esta tasa calculamos el VF de estos ahorros aplicando la fórmula [27] o la función VF. Respuesta: El monto ahorrado es UM 5,264.62 2.3.3. Períodos de pagos menores que los períodos de capitalización Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades: 1. No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización. 2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simple. 3. Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto. De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de crédito

 

 

2.2.3Menores a los periodos de capitalización

MENORES ALOS PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN.


Caso 3: periodos de pago menor al los periodos de capitalización. (P < C).


3d
y = numero de pagos por
Periodo de capitalización.

Ejemplo:
1. Se invierten $ 24 700 cada mes (empezando el próximo mes) y durante 5 años, si la tasa de interés es del 30 % capitalizable trimestralmente, ¿Cuánto se tendrá en el momento de efectuar el último depósito?
Solución:
Datos: A = 24 700 i = 30 %= 0.30 n = 5 años t = 4 y = 3 k = 12 F = ¿?

3d

223

 

anuali7

Se observa que el primer pago está en el periodo 4 que corresponde al final del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será:

800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09)-3

R = $113.492,69

Anualidades

  • Ordinarias 
  • vencidas
  • Diferidas
  • Perpetuas
  • Generales

ANUALIDADES PERPETUAS

Una anualidad que tiene infinito número de pagos, se denomina Anualidad infinita o perpetua, en realidad, las anualidades infinitas no existen, porque en este mundo todo tiene fin, pero, se supone que es infinita cuando el número de pagos es muy grande.

Este tipo de anualidades se presenta,  cuando se coloca un capital y únicamente se retiran los intereses.

La anualidad perpetua se representa:

anuali8

Obviamente, solo existe valor presente que viene a ser finito, porque  el valor final será infinito

 

2.2.1 Iguales a los periodos de capitalización

IGUALES AL LOS PERIODOS DE CAPITALIZACION.


Caso 1: periodos de capitalización y de pago iguales. (P=C).

7n = número de años

Ejemplo:
1. Se invierten $ 7 500 cada mes (empezando el próximo mes) y por tres años, si la tasa de interés es del 40 %, capitalizable mensualmente, ¿Cuánto se tendrá en el momento de efectuar el último depósito?
Solución:
Datos: A =7 500 i= 40 % i= 0.40 cap.mens. n = 3 años, t = 12, F= ¿?

221

F = 7 500 (F/A, 3.3333%,36) = 7 500 (67.67357027) = $ 507 551.78

Cálculo de Años Desconocidos

 

 

            En el análisis económico del punto de equilibrio, algunas veces es necesario determinar el número de periodos requerido antes de que la inversión se pague. Otras veces se desea cuándo determinadas cantidades de dinero estarán disponibles a partir de una inversión propuesta. En estos casos, el valor desconocido es n.

 

            Algunos de estos problemas pueden resolverse directamente para n mediante una manipulación apropiada de las fórmulas de serie uniforme y de pago único. De manera alternativa, se pueden resolver para el factor e interpolar en tablas de interés.

 

 

  1. ¿Cuánto tiempo tomará duplicar $ 1000 si la tasa de interés es del 5% anual?

 

 

Utilizando el factor P/F

 

                               P = F (P/F, i, n)

                           000 = 2000 (P/F, 5%, n)

(P/F, 5%, n) = 0.500

 

 

Según la tabla de interés del 5%, el valor 0.500 bajo la columna P/F se encuentra entre 14 y 15 años. Por interpolación

 

 

            (P/F, 5%, 14) = 0.5051                   (P/F, 5%, 14) = 0.4810

                 

            c =  0.5051 – 0.5000  (15 – 14) 

                 0.5051 – 0.4810

                       

               =  0.0051 (1)

                 0.0241

 

   = 0.2116

Dado que el factor disminuye en medida que n aumenta, c se resta del factor n = 1

           

n = 15 -  0.21 = 14. 7 años

Valor n desconocido. Si una persona deposita $ 2000 ahora, $500 dentro de 3 años y $ 1000 dentro de 5 años, ¿dentro de cuántos años su inversión total ascenderá a $ 10 000 si la tasa de interés es 6% anual?

 

 

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