Rotación

Ejes principales y momentos principales de inercia.

Ejes principales de inercia
        Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica.

        Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación.

        El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

 \mathbf{L} = \mathbf{I} \boldsymbol\omega = \lambda\boldsymbol\omega  

        Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia corresponiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

        Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetría axial, peonzas simétricas.

Momentos de inercia principales
        Si consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la parametrizamos mediante coordenadas rectangulares (x,y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o según Y además del momento de inercia mediante:

 \begin{cases} I_{x} = \iint_{\Sigma} y^2\ dxdy\\ I_{y} = \iint_{\Sigma} x^2\ dxdy \\ I_{xy} =- \iint_{\Sigma} xy\ dxdy = I_{yx} \end{cases}, \qquad \mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_x & I_{xy}\\ I_{yx} & I_y \end{bmatrix},  \quad \det{\mathbf{I}} > 0

        Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0, y en ese caso podemos escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión desviada simple del elemento estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada como:

 \sigma(x,y) = -\frac{M_x \cdot y}{I_x}+\frac{M_y \cdot x}{I_y}

        Siendo Mx y My las componentes del momento flector total sobre la sección Σ. Las unidades en el Sistema Internacional de Unidades para el segundo momento de inercia son longitud a la cuarta potencia, en la práctica la mayoría de secciones de uso en ingeniería se dan en (cm 4). Si los ejes de referencia empleados no necesariamente son ejes principales la expresión completa de la tensión en cualquier punto genérico viene dada por:

\sigma(x,y) = \frac{xI_x-yI_{xy}}{I_yI_x-I_{yx}^2}M_y + \frac{yI_y-xI_{yx}}{I_yI_x-I_{xy}^2}M_x

Aportado por: Biagny Villamizar
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