สูตรคณิตศาสตร์

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y
\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y
\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y
\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}
\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}
\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}
\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}

คุณสมบัติของเลขยกกำลัง

1. an = a x a x a x … x a (n ตัว)[เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก]
2. a
-n = 1 an [a 0]
3. a0 = 1 [a 0]
4. am x an = a
m+n [ฐานเหมือนกันคูณกันนำกำลังบวกกัน
]
5. am an = am-n [
ฐานเหมือนกัน หารกันนำกำลังลบกัน
]
6. (am)n = am x n [
กำลังซ้อนกันนำกำลังไปคูณกัน
]
7. (a x b)n = an x bn [
กำลังซ้อนกันนำกำลังไปคูณกัน
]
8. [ ]n = an bn , b 0 [
กำลังซ้อนกันนำกำลังไปคูณกัน
]
9. (a b)m am b
m
10. an / m = ( 
)n
11. = x [a > 0, b > 0]

สูตรการหาพื้นที่และปริมาตร

สูตรการหาพื้นที่และปริมาตรต่างๆ

1. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน หรือ 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

2. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว

3. สูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน x สูง

4. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ฐาน x สูง หรือ 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

5. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง

6. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

7. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = 1/2 x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง

8. สูตรการหาพื้นที่วงกลม = พาย x รัศมี2

9. สูตรการหาปริมาตรทรงลูกบาศก์ = ด้าน3

10. สูตรการหาปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = กว้าง x ยาว x สูง

11. สูตรการหาปริมาตรทรงกลม = 4/3 x พาย x รัศมี3

12. สูตรการหาปริมาตรทรงกระบอก = พาย x รัศมีx สูง

13. สูตรการหาปริมาตรทรงกรวย = 1/3 x พาย x รัศมี2 x สูง

14. สูตรการหาปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

♥ สูตรการแยกตัวประกอบ

♥ จำนวนนับ

สมบัติของจำนวนนับ
1. สมบัติของการสลับที่

2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่

3. สมบัติการแจกแจง

♥ การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

ห.ร.ม. หรือ ตัวหารร่วมมาก
การหาห.ร.ม. จะหาเมื่อมีจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปจึงจะหา ห.ร.ม. ได้
ตัวอย่างโจทย์ : 
ต้องการปักเสาให้ ห่าง ๆ กันมากที่สุด กรณีนี้ตัวหารร่วมที่ต้องการจึงเป็นตัวหารรร่วมมากที่สุด (ห.ร.ม.) จึงใช้วิธีการหา ห.ร.ม.

ค.ร.น. หรือ ตัวคูณร่วมน้อย

เราทราบแล้วว่า 2 เป็นตัวประกอบของ 6 ในทางคณิตศาสตร์เราเรียก 6 ว่าเป็นพหุคูณของ 2

เราทราบแล้วว่า 5 เป็นตัวประกอบของ 10 ในทางคณิตศาสตร์เราเรียก 10 ว่าเป็นพหุคูณของ 5

ในพหุคูณร่วมนี้จะเห็นได้ว่า 6 เป็นพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด เราเรียก 6 ว่าเป็น ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย) ของ 2 และ 3

สูตรการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

รวมศูตรคณิตศาตร์

วงกลม =22/7 (พาย)xเส้นผ่านศูนย์กลาง
รูปว่าว = 1/2 x ผลคูนของเส้นทะเเยงมุม
=5เหลี่ยมสูตรการหาพื้นที่คือ รูทเศษ 3ส่วนสี่ คูนด้านยกกำลังสองคูน 5
=6เหลี่ยมก็จะเป็นรูทเศษ 3ส่วนสี่ คูนด้านยกกำลังสองคูน 6 แต่ทั้งสองรูปนั้นต้องเป็น 5หรือ 6เหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้นน่ะครับ
สามเหลี่ยม =1/2xฐานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้างxยาว
พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้านxด้าน
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 0.5xผลคูนของเส้นทแยงมุม
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 0.5xผลบวกของด้านคู่ขนานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือ ใดๆ = 0.5xเส้นทแยงมุมxผลบวกของเส้นกิ่ง
พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = 0.5xผลคูลของเส้นทแยงมุม
พื้นที่วงกลม = 3.14x รัศมีกำลังสอง
ปริมาตรทรงกรวย = 1/3xพื้นที่ฐานxสูง
ปริมาตรทรงกลม = 4/3 พาย R^3
พื้นที่วงแหวน = (R-r)^2พาย
สี่เหลี่ยมใดๆ = 1/2xผลคูณเส้นทแยงมุม
สามเหลี่ยมใดๆ = 1/2xฐานxสูง
ปริมาตรทรงปริซึม = พื้นที่ฐานxสูง
พีระมิด = (1/3) x พื้นที่ฐาน x สูงx ด้านกำลัง2
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = เส้นทแยงมุม/2xผลคูณเส้นกิ่ง
พื้นที่วงกลม = พายr ยกกำลัง2
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2xผลบวกด้านคู่ขนานคูณสูง
3 เหลี่ยมด้านเท่า = รูท 3/4xด้านกำลัง 2
3 เหลี่ยมหน้าจั่ว = ฐาน/4xรูท4*ด้านประกอบมุมยอดกำลัง 2 - ฐานกำลัง2
3 เหลี่ยมมุมฉาก = 1/2xผลคุณของด้านประกอบมุมฉาก
วงกลม = พายrกำลัง2 หรือ 1/4 พายdกำลัง2 เมื่อ r คือรัศมี d คือเส้นผ่านศูนย์กลาง

4/3 x pi x r3 คือปริมาตรทรงกลม ไม่ใช่พื้นที่
4 x pi x r2 คือพื้นที่ผิวทรงกลม



สูตรการหาปริมาตร

ปริมาตรปริซึม
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม

ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง










ปริมาตรพีระมิด
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด
ร่วมกันที่ยอดแหลม เรียกว่า พีระมิด

ปริมาตรพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูงตรง










ปริมาตรทรงกระบอก
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบ
ที่ขนานกัน เมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัดเป็น วงกลม ที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกว่ารูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า
ทรงกระบอกปริมาตรทรงกระบอก
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและ อยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัด เป็นวฃกลม ที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกว่ารูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า ทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน x สูง

หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก =

เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลมที่เป็นฐาน

h แทนความสูงของทรงกระบอก



สูตรการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมต่างๆ



สูตรมาตรฐานของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยม=เศษหนึ่งส่วนสอง x สูง x ฐาน

สูตรต่างๆของการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมใดใด=ผลบวกของด้านทุกด้าน

สี่เหลี่ยมผืนผ้า=กว้าง x ยาว

สี่เหลี่ยมจัตุรัส=ด้าน x ด้าน

สี่เหลี่ยมด้านขนาน=สูง x ฐาน

สี่เหลี่ยมคางหมู=เศษหนึ่งส่วนสอง คูณ ผลบวกด้านคู่ขนาน x สูง

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน=เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

สี่เหลี่ยมใดใด=เศษหนึ่งส่วนสอง x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง 

ระบบจำนวน

การหา ห.ร.ม.ฟ
    1.วิธีการแยกตัวประกอบ
        (1) แยกตัวประกอบของแต่ละจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
        (2) เลือกเอาตัวประกอบที่ซ้ำกันของแต่ละจำนวนมา 1 ตัว แล้วคูณกันเป็น ห.ร.ม.
    2. วิธีการตั้งหารสั้น
        (1) นำตัวเลขที่ต้องการหา ห.ร.ม.     มาตั้งหารสั้นโดยหาตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะมาหารและสามารถหารจำนวนทุกตัวที่หา ห.ร.ม.     ลงตัวได้ทั้งหมด
        (2) นำตัวหารที่ได้มาคูณเป็น ห.ร.ม. ทั้งหมด
การหา ค.ร.น.
    1. วิธีการแยกตัวประกอบ
        (1) แยกตัวประกอบของแต่ละจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
        (2) เลือกเอาตัวประกอบที่ซ้ำกันของแต่ละจำนวนมา 1 ตัว     พร้อมทั้งหาตัวที่ไม่ซ้ำกันลงมาด้วยและนำมาคูณกันเป็น ค.ร.น.
    2. วิธีการตั้งหารสั้น
        (1) นำตัวเลขที่ต้องการหา ค.ร.น.     มาตั้งหารสั้นโดยหาตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะมาหารและสามารถหารได้ลงตัวอย่างน้อย 2 ตัว     หรือหากจำนวนใดที่ไม่สามารถหารลงตัวก็ให้ดึงตัวเลขนั้นลงมาแล้วหารจนหารต่อไปไม่ได้
        (2) นำตัวหารที่ได้มาคูณกันเป็น ค.ร.น. ทั้งหมด
ความสัมพันธ์ของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
        (1) ให้ a, b เป็นเลข 2 จำนวน โดย c เป็น ห.ร.ม. และ d เป็น ค.ร.น. ของ a,b ก็จะได้ว่า a x b =
    c x d
        (2) ห.ร.ม. ของเศษส่วน=

        (3) ค.ร.น. ของเศษส่วน =

การตรวจสอบการหารแบบลงตัวในบางจำนวน
    1. จำนวนที่ 2 หารลงตัวจะเป็นจำนวนที่มีหลักหน่วยเป็นเลขคู่ซึ่งจะรวม 0 ด้วย
    2. จำนวนที่ 3 หารลงตัวจะเป็นจำนวนที่นำแต่ละหลักของเลขจำนวนนั้นมาบวกเข้าด้อยกันทุกหลัก เมื่อผลบวกออกมาเป็นตัวเลขที่ 3 สามารถหารได้ลงตัวซึ่งนั่นคือจำนวนที่ 3 สามารถหารได้ลงตัว แต่ถ้าผลบวกออกมาเป็นตัวเลขที่ 3 ไม่สามารถหารได้ลงตัวก็คือจำนวนนั้นสามารถที่จะนำ 3 มาหารได้ลงตัว
    3. จำนวนที่ 5 หารลงตัว ซึ่งจะมีเพียงจำนวนที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 5, 0 เท่านั้น
คุณสมบัติของ 0, 1
    1. a + 0 = 0 + a = a
    2. a x 0 = 0 x a = 0
    3. a x 1 = 1 x a = a
    4. a  0 จะไม่มีค่า เมื่อ a 0
โดยกำหนดให้ a แทนจำนวนใดๆ
คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก, การคูณ
    1. a + b = b + a
    2. a x b = b x a
โดยกำหนดให้ a, b = จำนวนใดๆ
คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก, การคูณ
    1. (a + b) + c = a + (b + c)
    2. (b + c) x c = a x (b x c)
โดยกำหนด a, b, c = จำนวนใดๆ
คุณสมบัติการแจกแจง
    1. a x (b +c) = (a x b) + (a x c)
    2. (b + c) x a = (b x a) + (c x a)
โดยกำหนดให้ a, b, c = จำนวนใดๆ
ข้อสังเกตในการบวกและคูณจำนวนเลขคู่และเลขคี่
    1. จำนวนคู่ + จำนวนคู่ = จำนวนคู่
    2. จำนวนคี่ + จำนวนคี่ = จำนวนคู่
    3. จำนวนคี่ + จำนวนคู่ = จำนวนคี่
    4. จำนวนคู่ + จำนวนคู่ = จำนวนคี่
    5. จำนวนคู่ x จำนวนคู่ = จำนวนคู่
    6. จำนวนคี่ x จำนวนคี่ = จำนวนคี่
    7. จำนวนคี่ x จำนวนคู่ = จำนวนคู่
    8. จำนวนคู่ x จำนวนคี่ = จำนวนคู่
การหาผลบวกของจำนวนเต็ม
    1. การหาผลบวกของจำนวนเต็มลบ
จะได้ (-) + (-) = (-)
    2. การหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็ม
จะได้
         2.1 ถ้า |(+)| > |(-)|  (+) + (-)
= |(+)| - |(-)| = (+)
        
2.2 ถ้า |(+)| < |(-)| (+) +(-)
= |(+)| - |(-)| = (-)
การหาผลลบของจำนวนเต็ม
    สูตร = ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
หมายเหตุ จำนวนตรงข้ามของ a เขียนด้วย –a
จำนวนตรงข้ามของ –a เขียนแทนด้วย –(-a)
การหาผลคูณของจำนวนเต็ม
    1. การผลคูณของจำนวนเต็มบวก
จะได้ (+) x (+) = (+)
    2. การผลคูณของจำนวนเต็มลบ
จะได้ (-) x (-) = (+)
    3.การผลคูณของจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ
จะได้ (+) x (-) = (-)
    4.การหาผลคูณของจำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวก
จะได้ (-) x (+) = (-)
การหาผลหารของจำนวนเต็ม
    สูตร ตัวตั้ง  ตัวหาร
    1. การผลหารของจำนวนเต็มบวก
(+) 
 (+) = (+)
    2. การหาผลหารของจำนวนเต็มลบ
(-) 
 (-) = (+)
    3. การผลหารระหว่างจำนวนต็มบวกและจำนวนเต็มลบ
(+)
(-) = (-)
    4. การหาผลหารระหว่างจำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวก
(+) 
 (-) = (-)
คุณสมบัติของจำนวนจริง
    1. คุณสมบัติปิดของการบวก
a + b เป็นจำนวนจริง
    2. คุณสมบัติของการคูณ
a x b เป็นจำนวนจริง
    3. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการบวก
(a + b) + c = a + (b + c)
    4. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการคูณ
(a +b) x c = a x (b x c)
    5. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก
a + b = b + a
    6. คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ
a x b = b x a
   7. เอกลักษณ์การบวก 
    เอกลักษณ์ของการบวก คือ 0
0 + a = a = a + 0
   8. เอกลักษณ์การคูณ 
   เอกลักษณ์ของการคูณ คือ 1
1 x a = a = a x 1
   9. อินเวอร์สการบวก 
   อินเวอร์สการบวกของ a ได้แก่ –a
(-a) + a = 0 = a + (-a)
   10. อินเวอร์สการคูณ 
อินเวอร์สของการคูณของของ a คือ [a 
0]x a = 1 = a x
   11. คุณสมบัติการแจกแจง
a x ( b+ c) = (a x b) + (a x c)

 

การบวก,ลบ,คูณ,หารของเศษส่วน

     หลักการ
     ทำตัวส่วนของเศษส่วนให้เท่ากัน แล้วนำตัวเศษมาบวกหรือลบกัน กล่าวคือ ถ้า และ แทนเศษส่วนใดๆจะได้ว่า
    เศษส่วน

    วิธีที่ 1 เปลี่ยนเศษส่วนจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน
                       
     วิธีที่ 2 ใช้สมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม ซึ่งเป็นวิธีท ี่นิยมใช ้เมื่อ เศษส่วน เป็นจำนวน
 ที่มีีค่ามาก


    หมายเหตุ การบวกและการลบเศษส่วนอาจทำได้โดยใช้วิธีลัด
    ตัวอย่าง ค.ร.น. ของ 3, 12 และ 20 เท่ากับ 60

    การคูณและการหารเศษส่วน 
   

 

คุณสมบัติของอัตราส่วน

    1. a : b = c : d เมื่อ ad = bc
    2. a : b = c : d เมื่อ 
    3. a : b = c : d เมื่อ 
    4. a : b = c : d เมื่อ 
    5. a : b = c : d เมื่อ 
    6. a : b = c : d เมื่อb : a = d : c
    7. a : b และ b : c จะได้ a : b : c


วงกลม =22/7 (พาย)xเส้นผ่านศูนย์กลาง
รูปว่าว = 1/2 x ผลคูนของเส้นทะเเยงมุม
=5เหลี่ยมสูตรการหาพื้นที่คือ รูทเศษ 3ส่วนสี่ คูนด้านยกกำลังสองคูน 5
=6เหลี่ยมก็จะเป็นรูทเศษ 3ส่วนสี่ คูนด้านยกกำลังสองคูน 6 แต่ทั้งสองรูปนั้นต้องเป็น 5หรือ 6เหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้นน่ะครับ
สามเหลี่ยม =1/2xฐานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้างxยาว
พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้านxด้าน
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 0.5xผลคูนของเส้นทแยงมุม
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 0.5xผลบวกของด้านคู่ขนานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือ ใดๆ = 0.5xเส้นทแยงมุมxผลบวกของเส้นกิ่ง
พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = 0.5xผลคูลของเส้นทแยงมุม
พื้นที่วงกลม = 3.14x รัศมีกำลังสอง
ปริมาตรทรงกรวย = 1/3xพื้นที่ฐานxสูง
ปริมาตรทรงกลม = 4/3 พาย R^3
พื้นที่วงแหวน = (R-r)^2พาย
สี่เหลี่ยมใดๆ = 1/2xผลคูณเส้นทแยงมุม
สามเหลี่ยมใดๆ = 1/2xฐานxสูง
ปริมาตรทรงปริซึม = พื้นที่ฐานxสูง
พีระมิด = (1/3) x พื้นที่ฐาน x สูงx ด้านกำลัง2
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = เส้นทแยงมุม/2xผลคูณเส้นกิ่ง
พื้นที่วงกลม = พายr ยกกำลัง2
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2xผลบวกด้านคู่ขนานคูณสูง
3 เหลี่ยมด้านเท่า = รูท 3/4xด้านกำลัง 2
3 เหลี่ยมหน้าจั่ว = ฐาน/4xรูท4*ด้านประกอบมุมยอดกำลัง 2 - ฐานกำลัง2
3 เหลี่ยมมุมฉาก = 1/2xผลคุณของด้านประกอบมุมฉาก
วงกลม = พายrกำลัง2 หรือ 1/4 พายdกำลัง2 เมื่อ r คือรัศมี d คือเส้นผ่านศูนย์กลาง

4/3 x pi x r3 คือปริมาตรทรงกลม ไม่ใช่พื้นที่
4 x pi x r2 คือพื้นที่ผิวทรงกลม



สูตรการหาปริมาตร

ปริมาตรปริซึม
รูป เรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม

ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง










ปริมาตรพีระมิด
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด
ร่วมกันที่ยอดแหลม เรียกว่า พีระมิด

ปริมาตรพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูงตรง










ปริมาตรทรงกระบอก
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบ
ที่ ขนานกัน เมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัดเป็น วงกลม ที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกว่ารูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า
ทรงกระบอกปริมาตรทรงกระบอก
รูป เรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและ อยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัด เป็นวฃกลม ที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกว่ารูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า ทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน x สูง

หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก =

เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลมที่เป็นฐาน

h แทนความสูงของทรงกระบอก



สูตรการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมต่างๆ



สูตรมาตรฐานของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยม=เศษหนึ่งส่วนสอง x สูง x ฐาน

สูตรต่างๆของการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมใดใด=ผลบวกของด้านทุกด้าน

สี่เหลี่ยมผืนผ้า=กว้าง x ยาว

สี่เหลี่ยมจัตุรัส=ด้าน x ด้าน

สี่เหลี่ยมด้านขนาน=สูง x ฐาน

สี่เหลี่ยมคางหมู=เศษหนึ่งส่วนสอง คูณ ผลบวกด้านคู่ขนาน x สูง

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน=เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

สี่เหลี่ยมใดใด=เศษหนึ่งส่วนสอง x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง 

 

พหุนาม

      เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป  โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
      พหุนาม คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้ง
แต่สองเอกนามขึ้นไป
      การแยกตัวประกอบของพหุนาม
 การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า
 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx +cเมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวที่a 0 และ x  เป็นตัวแปร
     การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
 x2+ bx + c เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม ทำได้เมื่อสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และ
  บวกกันได้  b
 ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวนดังกล่าว ดังนั้น
 de = c
 d + e = b
 ฉะนั้น x2 + bx + c = x2 + (d + e)x + de
 = ( x2 + dx ) + ( ex + de )
 = ( x + d )x + ( x + d )e
 = ( x + d ) ( x + e )
 ดังนั้น x2 + bx +c แยกตัวประกอบได้เป็น ( x + d ) ( x + e )
 ตัวอย่าง
 (6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1)
 = 6x2 – 5x + 6x – 5
 = 6x2 + (5x+6x) – 5
 = 6x2 -5x +6x -5
 = 6x2 + x – 5
 จากตัวอย่างข้างต้น อาจแสดงวิธีหาพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ได้ดังนี้
 1. (6x – 5)(x + 1)
 = 6x2
 - พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หน้าของพหุนามของผลลัพธ์
 2. (6x - 5)(x + 1)
 = -5
 -พจน์หลังของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หลังของพหุนามของผลลัพธ์
 3. (6x – 5)(x + 1)
 = 6x + (-5x )
 - พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง + พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x  พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง
     พจน์กลางของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
 กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน
 ดังนั้น พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบได้ดังนี้
 x2 + 2ax + a2 = ( x + a )2
 x2 – 2ax + a2 = ( x – a )2
 
รูปทั่วไปของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ a2 +2ab + b2และ a2 -2ab +b2 เมื่อ a และ b  เป็นพหุนาม  แยกตัวประกอบได้ดังนี้
  
สูตร a2 +2ab + b2 = ( a + b )2
 a2 -2ab +b2 = (a-b)2
      การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง
 พหุนามดีกรีสองที่สามารถเขียนได้ในรูป x2 – a2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกเรียกว่า ผลต่างของกำลังสอง
 จาก x2 – a2 สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x2 – a2 = ( x + a ) ( x – a )
 สูตร x2 – a2 = ( x + a ) (x-a)
      การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์  
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง x2 + bx + c โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สรุปได้คือ
 1. จัดพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูป x2 + 2px +c หรือ x2 -2px +c เมื่อ p เป็นจำนวนจริงบวก
 2. ทำบางส่วนของพหุนามที่จัดไว้ในข้อ 1 ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยนำกำลังสองของ p  บวกเข้าและลบออกดังนี้
 x2 + 2px +c = ( x2 + 2px + p2 ) – p2 + c
 = ( x + p)2 – ( p2 - c )
 x2 – 2px + c = ( x2 - 2px + p2 ) – p2 + c
 = ( x - p)2 – ( p2 - c )
 3. ถ้า p2 – c = d2 เมื่อ d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้
 x2 + 2px + c = ( x + p)2 – d2
 x2 - 2px + c = ( x - p)2 – d2
 4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )2 – d2 หรือ ( x – p )2 – d2โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบของผลต่างของกำลังสอง
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
 พหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 และ A3 - B3 ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ
 สูตร A3 + B3 = ( A + B )( A2 –AB + B2)
 A3 - B3 = ( A - B )( A2 +AB + B2)

สูตรพื้นที่วงกลม= pr2
สูตรหาความยาวรอบรูปวงกลม= pd
สูตรหาความยาวรอบรูปครึ่งวงกลม=pr+d


Comments