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Deformación

¿Qué se entiende por deformación en la mecánica de los medios continuos?

Un cuerpo sufre un desplazamiento de sólido rígido si las distancias entre las partículas permanecen constantes. En caso contrario, se dice que el sólido se deforma (sufre una deformación).

La deformación es la medida geométrica del desplazamiento, y representa el desplazamiento relativo entre las partículas del medio continuo.

Las deformaciones son resultado de las tensiones aplicadas sobre un material. Es una expresión externa del campo tensional al que se encuentra sometido el medio continuo.

La norma de la deformación vendrá determinada por la variación de las distancias de los puntos próximos a uno dado (en este contexto nos referimos a distancias infinitesimales):

|dX'|2 = dxT (I + du/dx)T (I + du/dx) dx = dxT (I + 2 * E) dx

Donde E viene definido por,

E = 1 / 2 ((du/dx)T + du/dx + (du/dx)T du/dx)

y recibe el nombre de tensor de deformación de Green-Saint Venant, o tensor lagrangiano de deformación.

El tensor E describe la deformación que experimentan las partículas del sólido en estudio.

En sólidos indeformables, el tensor E es el tensor nulo.

La deformación en el sólido se dice homogénea si el tensor E es constante en todos los puntos del sólido.

Existen diferentes medidas de deformaciones: deformación de Cauchy, deformación de Green, deformación logarítmica (deformación de Hencky), etc., cada una utilizada en un tipo distinto de deformación considerada:

  • Deformaciones finitas (Teoría de las grandes deformaciones).
  • Deformaciones infinitesimales (Teoría de las pequeñas deformaciones).

Deformaciones infinitesimales

Este apartado engloba la teoría de las pequeñas deformaciones, en las cuales el desplazamiento (y consecuentemente la deformación experimentada por las partículas del medio continuo) se puede considerar de valor infinitesimal.

Como primer paso se definen dos tensores uno simétrico y otro antisimétrico, que vendrán determinados por:

e(i,j) = 1 / 2 (u i,j + u j,i)

w(i,j) = 1 / 2 (u i,j - u j,i)

De modo que u i,j = e(i,j) + w (i,j)

Y el tensor de Green-Saint Venant podrá expresarse como

E(i,j)=e(i,j)+ 1/2 (e(i,k)e(j,k)-e(i,k)w(j,k)-w(i,k)e(j,k)+w(i,k)w(j,k)).

Si las deformaciones son suficientemente pequeñas, |e(i,j)| << 1 y |w(i,j)| << 1, el tensor 'e' proporciona una buena aproximación al tensor 'E' (Tensor de Green-Saint Venant).

En este caso, deformaciones infinitesimales, el tensor 'e' recibe el nombre de tensor infinitesimal de deformación, y el tensor 'w' recibe el nombre de tensor infinitesimal de rotación.

En el caso de que el tensor infinitesimal de deformación sea nulo, y el tensor infinitesimal de rotación sea distinto de nulo, se tiene:

(I + du/dx) x = (I + w) x

(I + du/dx)T (I + du/dx) = I + wT + w + wT w = I + wT + w = I

Se puede decir que el tensor (I + w), siendo 'w' un tensor antisimetrico, es 'casi' ortonormal.

¿Que significado tienen la componentes del tensor deformación?

Como se ha planteado antes,

|dX'|2 = dxT (I + 2 * E) dx

Para un 'a' suficientemente pequeño, sqrt(1+2a) se puede aproximar por 1 + a. Por lo que, se puede escribir que dX = I + E. Lo que se traduce en que el tensor E puede asimilarse al tensor de deformación longitudinal.