เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์
ในการศึกษาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะทำการศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจุด และเส้นตรงโดยอ้างอิงกับระบบพิกัดฉากเป็นหลัก
 
     ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วย แกนพิกัดฉาก 2 แกน ได้แก่ เส้นจำนวนที่อยู่บนแกนนอน (แกน x) และเส้นจำนวนที่อยู่บนแกนตั้ง (แกน y) แกนพิกัดฉากทั้งสองนี้จะแบ่งพื้นระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกพื้นที่ที่ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ นี้ว่า "ควอดรันต์" (Quadrant) ซึ่งมีลักษณะดังรูป
     แกน x และ แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด 0 เรียกจุดนี้ว่า "จุดกำเนิด" (origin) และเขียนแทนตำแหน่งของจุดบนระบบพิกัดฉากด้วย (x, y) เมื่อ x เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน x และ y เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน y

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้
จากทฤษฎีบทปิทาโกรัส จะได้ว่า
 P1P2 =
 P1P2 =
 P1P2 =
นั่นคือ ถ้า P1 (x1, y1)และ P(x2, y2) เป็นจุดในระบบพิกัดฉากแล้ว
ระยะห่างระหว่างจุด P1 และ P=

จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด
พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้
จากรูป ลาก P1R ขนานกับแกน x ดังนั้นพิกัดของจุด R เป็น (x2, y1)
           ลาก PQ และ P2R ขนานกับแกน y ดังนั้นพิกัดของจุด Q เป็น ( , y1)
 =
P เป็นจุดกึ่งกลางของ P1P2
∴ =
=
P1Q=
P1R
∴ Q เป็นจุดกึ่งกลางของ P1R
P1Q=QR
 - x1 |=| x |
 - x1=x
 =x1 + x2
=
และเช่นเดียวกัน=
=
 PQ=
P2R
 
|- y 1 |
=
| y2 - y1 |
 - y 1
=
( y2 - y1)
 
2- 2y 1
=y2 - y1
 =y1 + y2
=
นั่นคือ ถ้า P() เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด P1( x1, y1) และ P2( x2, y2) แล้ว
=และ=

ความชันของเส้นตรง

พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้
       ถ้ากำหนดให้ m เป็นความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด P1( x1, y1) และ P2( x2, y2) แล้ว
ความชัน m =
      เราสามารถนำเอานิยามของความชันที่กล่าวมาข้างต้นไปใช้ในการอธิบายคุณสมบัติของเส้นตรง
สองเส้นที่ขนานและตั้งฉากกันได้ดังนี้
-------------------------------------------------------------------
เส้นขนาน
      ทฤษฎีบทเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากัน
-------------------------------------------------------------------
เส้นตั้งฉาก
       ทฤษฎีบทเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ -1
-------------------------------------------------------------------

สมการของกราฟเส้นตรง

1. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x
     กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน y และกำหนดให้เส้นตรง L ตัดแกน y ที่จุด (0, b)
     ถ้า b > 0 เส้นตรง L จะอยู่เหนือแกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย
     ถ้า b = 0 เส้นตรง L จะทับแกน x
     ถ้า b < 0 เส้นตรง L จะอยู่ใต้แกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย
สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x คือ y = b
ตัวอย่างเช่น
     (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่เหนือแกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = 5
     (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และทับแกน x มีสมการเป็น y = 0
     (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่ใต้แกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = -5
 
 
2. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
     กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน y ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน x และกำหนดให้เส้นตรง Lตัดกับแกน x ที่จุด (a, 0)
     ถ้า a > 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางขวาของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย
     ถ้า a = 0 เส้นตรง L จะทับแกน y
     ถ้า a < 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางซ้ายของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย
สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y คือ x = a
ตัวอย่างเช่น
     (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางขวาของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = 5
     (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และทับแกน y มีสมการเป็น x = 0
     (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางซ้ายของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = -5
 
 
3. สมการของกราฟเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y
     กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y มีความชัน = m และผ่านจุด (x1, y1)
จากรูปให้ (x, y) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง L
∴ ความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด (x1, y1) และ (x, y) เท่ากับ
= m
 y - y1= m(x - x 1)
ดังนั้นสมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชัน m และผ่านจุด (x1, y1) คือ y - y= m(x - x 1)
ตัวอย่างเช่น
     (1) สมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ  และผ่านจุด (1, 2) คือ

      y - 2 =  (x-1)

หรือ 2x - 3y +4 = 0


ระยะห่างระหว่างเส้นกับจุด และระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด
     ถ้ากำหนดให้ระยะทางระหว่างจุด P(x1, y1) ไปยังเส้นตรง Ax + By + C = 0 เท่ากับ d

ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) คือ d = 

ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน
    กำหนดเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเส้นตรง Ax + By + C2 = 0 ขนานกัน

ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) คือ d =