Seminari tenuti o da tenere da uno o più studenti
(raggruppati per anno accademico) 

a.a. 00/01 La nascita degli spazi vettoriali  (a.a. 00/01) --> C, 3x4
La nascita del prodotto scalare (a.a. 00/01) --> C, 5x6
La logica vista da Saccheri (1a parte) (a.a. 00/01) --> C, 5x5
La nascita dei vettori (a.a. 00/01) --> P, 5x3
                                                          >> da assegnarsi <<
a.a. 01/02 La logica vista da Saccheri (2a parte) (a.a. 01/02) --> P, 5x4                                 >> da assegnarsi <<
Infinitesimi attuali e analisi non standard (a.a. 01/02) --> C, 5x3
Ideografie matematiche a confronto: Peano e Frege   (a.a. 01/02) --> C, 5x4 
Come si definiscono i numeri naturali? (a.a. 01/02) -->  L, 5x5  
Equazioni differenziali ordinarie: teorema di Peano (a.a. 01/02) --> L 5x3 
Alla scoperta dei padri del teorema di Rouché-Capelli (a.a. 01/02) --> L 3x1
a.a. 03/04 Cosa significa definire ? (a.a. 03/04) --> C, 5x1                                                        
Musica e Matematica (a.a. 03/04) --> C, 5x2                                                             
La logica di Port-Royal (a.a. 03/04) --> C, 5x1                                                          
Transcendenza di "e" (a.a. 03/04) --> L, 5x1                                                                                     
Kant e la matematica (a.a. 03/04) --> C, 5x2                                                               
Stomachion: il puzzle di Archimede (a.a. 03/04) --> C, 5x1                                        
Il teorema di Arrow sulle scelte sociali (a.a. 03/04) -->C, 5x3                                    
Il volume dei solidi: Archimede, Keplero, Cavalieri (a.a. 03/04) -->C, 5x2                 
Matematica in rete: risorse didattiche (a.a. 03/04) -->C, 5x1                                                 
Assiomatizzazione vettoriale della geometria elementare (a.a. 03/04) --> C, 5x1 
a.a. 05/06 I teoremi diPeano e Nagumo (a.a. 05/06) --> C, 5x1
a.a. 06/07 Scritti matematici di Kant (a.a. 06/07) --> C, 5x2
Calcolo differenziale nell'Ausdehnungslehere di Grassmann (a.a. 06/07) --> C, 5x1
Cosa sono i frattali ?  (a.a. 06/07) --> C, 5x3
a.a. 08/09 Gruppi e algebre di Lie: storia, ESEMPI e applicazioni (a.a. 08/09) --> C, 4x2
Platone e le origini della Matematica (aa. 08/09) -->C, 4x2
La sezione aurea e altri scritti di Mario Livio (a.a. 08/09) -->C, 5x1       
Boole alla ricerca delle leggi del pensiero  (a.a. 08/09) -->C, 5x1
Compattezza e connessione: esempi e controesempi (a.a. 08/09) -->C, 4x2
La misura di Haar: esistenza, unicità, unimodularità e quinto problema di Hilbert (a.a. 08/09) -->C, 5x1
Funzioni implicite: 1877, Ulisse Dini (a.a. 08/09) --> C, 5x2
a.a. 09/10 La bellezza imperfetta e l'equazione impossibile (a.a. 09/10) --> A, 5x2
a.a. 10/11 Su una formula di Peano-Mamikon per il calcolo delle aree (a.a. 10/11) --> C, 3x1
Metafore nella vita quotidiana e in Matematica (a.a. 10/11) --> C, 3x1
Von Neumann: dalle rappresentazioni lineari dei gruppi compatti al quinto problema di Hilbert (a.a. 10/11)--> C, 3x1
a.a. 11/12 Teorema fondamentale dell'algebra (aa. 11/12)-->C, 2x1
   
   
legenda n x m := seminario da n crediti  per m studenti
P:=seminario proposto, A := seminario assegnato, C:=seminario completato, S:=seminario sospeso, L:= letture proposte ad altri seminari




  • La nascita degli spazi vettoriali (resp. prof. Gabriele H. Greco)
    •  
    • Seminario da 3 crediti tenuto da un gruppo di 4 studenti:
      • Diego Cominelli, Maurizio Marinelli, Piero Poletti e Francesco Prantil.
    • Personaggi principali
      • Grassmann e Peano
    • Letture
      • G. Peano: 
        1. "Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva", Torino 1888 (leggere il cap. IX)
        2. "Intégration par séries des équations différentielles linéaires", Math. Ann. 32 (1888), 450-456 (versione francese dell'articolo apparso negli Atti della Reale Accad. delle Scienze di Torino, 22 (1887), 437-446)
      • H. Grassmann: "Die Ausdehnungslehre (1862)" (leggere  il cap 1 della traduzione inglese  di L.C. Kannenberg, AMS 2000)
      • C. Burali-Forti, R. Marcolongo: "Analisi vettoriale Generale, vol I: Trasformazioni lineari", 2a ed, Zanichelli 1929 (leggere i cap. I e II dell'introduzione)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici che compaiono nei testi da leggere (all'occorrenza, servirsi del libro di A. Zaddach : "Algebra de Grassmann y Geometria Proyectiva, 1988")
      • controllare in quali testi di Storia della Matematica vi sono o non vi sono infornazioni sull'origine della nozione moderna di spazio vettoriale
    • Obiettivo minimo
      • presentare gli spazi vettoriali così come sono nati, riconoscendone i concetti-base nei testi da leggere ed inquadrandone storicamente gli attori
    • Esposizione orale
      • 18 luglio 2001, ore 10:00
      •  
  • La nascita del prodotto scalare (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti tenuto da un gruppo di 6 studenti:
      • Chiara Casellato, Isabella Matteotti, Lara Monfredini, Paola Rigotti, Paola Simoni, Marica Poletti
    • Personaggi principali
      • Leibniz e Grassmann
    • Letture
      • H. Grassmann: "Geometrische Analyse (1847)" (leggere pp. 321-399 e pp. 415-425 del vol.1, parte 1 di "H. Grassmann's Gesammelte Math. und Phys. Werke", Chelsea 1969)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente gli scienziati che compaiono nei testi da leggere (soprattutto, Leibniz e la sua "caratteristica geometrica")
      • controllare in quali testi di Storia della Matematica vi sono o non vi sono infornazioni sull'origine della nozione moderna di prodotto scalare
    • Obiettivo minimo
      • tradurre il testo di H.G., inquadrarlo nella "caratteristica geometrica" di Leibniz e mettere in risalto le novità matematiche ivi introdotte/studiate/usate  da H.G. (in particolare, il prodotto scalare, detto  interno  da H.G.).
    • Esposizione orale
      • 20 settembre 2001, ore 10:00
         
  • La logica vista da Saccheri (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti tenuto da un gruppo di 5 studenti:
      • Silvia Ballarini, Enrica Mantovani, Cinzia Marighetti, Fabrizio Montagner, Elena Salvetti
    • Personaggi principali
      • Aristotele e Saccheri
    • Letture
      • G. Saccheri: "Logica Demonstrativa (Torino, 1697)" (leggere fino a pag. 172)
      • G. Vailati: "Di un'opera dimenticata del P. Gerolamo Saccheri ("Logica Demonstrativa " 1697)", Rivista Filosofica, 1903.
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente filosofi e scienziati che compaiono nei testi da leggere (soprattutto, Aristotele e la sua  "logica "),
      • ricercare i riferimenti alla Logica Demonstrativa, presenti nell'opera "Euclides ab omni naevo vindicatus, 1733" di G.S.
      • controllare in quali testi di Storia della Matematica o di Storia della Logica vi sono o non vi sono riportate informazioni sulla "Logica Demonstrativa"
    • Obiettivo minimo:
      • tradurre il testo di G.S., inquadrarlo nella logica aristotelica e metterne in risalto la chiarezza espositiva,  la rigorosità "matematica" e l'argomentare ipotetico-deduttivo, tipico del moderno matematico
    • Esposizione orale
      • 27 settembre 2002, ore 12.00
         
  • La nascita dei vettori  (resp. prof. Gabriele H. Greco)              >> da assegnarsi <<
  •  
    • Seminario da 5 crediti per un gruppo di 3 studenti, proposto a
      • ...
    • Personaggi principali
      • Bellavitis e Grassmann
    • Letture
      • H. Grassmann: "Die Ausdehnungslehre (1862)" (leggere  pp. XVI-XVII, 128-131, 332  della traduzione inglese  di L.C. Kannenberg, AMS 2000)
      • G. Bellavitis: 
        1. "Sulla Geometria derivata", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, 2 (1831), p. 250
        2. "????", Ateneo Veneto (Settembre, 1832)
        3. "Sopra alcune applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica", Poligrafo di Verona (Gennaio, 1833), 23  p. 53
        4. "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria analitica (Calcolo delle Equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, 5 (1835), p. 244-259
        5. "Teoria delle figure inverse e loro uso nella Geometria elementare", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, 6 (1836), p. 126
        6. "Memoria sul metodo delle Equipollenze", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, 7 (1837), p. 243-261; idem, 8 (1838), pp. 17-37, 85-121.
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • ricercare materiale bibliografico riguardante G.B. (carteggi, fondi...; una lista  degli scritti di G.B. si può trovare in  "Commemorazione del prof. Giusto Bellavitis" di E.N. Legnazzi, Padova, 1881)
      • inquadrare storicamente gli scienziati che compaiono nei testi da leggere
      • controllare in quali testi di Storia della Matematica vi sono o non vi sono infornazioni su G.B.
    • Obiettivo minimo
      • ricercare/recuperare materiale bibliografico riguardante la vita e le opere di G.B.
      • ricercare l'eventuale carteggio tra Bellavitis e Grassmann.
      • presentare il "Calcolo delle Equipollenze" di G.B. così come appare negli articoli di G. B. citati da Grassmann nel suo "Ausdehnungslehre (1862)" (sono i 4  articoli di G.B. elencati sopra)
      • inquadrare storicamente gli scienziati che compaiono nei testi letti
      •  
  • Ideografie matematiche a confronto: Peano e Frege  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti tenuto da un gruppo di  4 studenti:
      • Ilenia Fronza, Elisa Mastrogiacomo, Elisabetta Silva,  Monica Toscana
    • Protagonisti
      • Peano e Frege
    • Letture
      • G. Peano: Opere scelte,  Cremonese, Roma 1959:
        1. Principii di logica matematica (1891), v. II, pp. 92-101
        2. Formole di logica mateamatica (1891), v. II, pp. 102-113
        3. Recensione di "E. Schröder, Vorlesugen über die Algebra der Logik" (1891), v. II, pp. 114-121
        4. Notations de Logique Mathématique (1894), v.II, pp. 123-176.
        5. Recensione di "G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik" (1895), v. II, 189-195
        6. Studii di Logica Matematica (1896-1897), v. II, pp. 201-217
        7. Risposta ad una lettera di G. Frege(1898), v.II, pp. 288-298
        8. Dizionario di matematica (1901), v. II, pp. 369-383
      •  A. Padoa: Logica, in Enciclopedia delle Matematiche Elementari (eds. L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli), Hoepli, v. I (parte 1a), pp. 1-79
      •  G. Frege: Alle origini della nuova logica (carteggio scientifico), Boringheri, 1976 (leggere pp. 142-168)
      •  G. Frege:  Begriffsschrift (1879). Trad. italiana in Logica e Aritmetica (ed. C. Mangione), Boringheri, 1977, pp. 103-206; oppure trad. inglese in From Frege to Gödel (ed. J. Van Heijenoort), pp.1-82.
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente gli scienziati che compaiono nei testi da leggere (per es. Peano, Frege, Schröder, Padoa,...)
    • Obiettivo minimo
      • enucleare il significato e il ruolo dell'ideografia matematica in Peano e in Frege.
      • ricostruire nei punti essenziali le ideografie matematiche di Peano e Frege, rilevarne le differenze e comporre un dizionario terminologico, basato sui testi letti.
      • inquadrare storicamente gli scienziati che compaiono nei testi letti
    • Esposizione orale
      • 9 ottobre 2002, ore 9:00
         
  • La logica vista da Saccheri (2a parte)  (resp. prof. Gabriele H. Greco)   >> da assegnarsi <<
  •  
    • Seminario da 5 crediti per un gruppo di 4 studenti, proposto a
      • ....
    • Personaggi principali
      •  Saccheri e Mill
    • Letture
      • G. Saccheri: "Logica Demonstrativa (Torino, 1697)" (leggere pp. 173-289)
      • G. Vailati: "Di un'opera dimenticata del P. Gerolamo Saccheri ("Logica Demonstrativa " 1697)", Rivista Filosofica, 1903.
      • J. S. Mill:  "Logica deduttiva e induttiva", (leggere, pp. x-y)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente filosofi e scienziati che compaiono nei testi da leggere (soprattutto, chiarire il nesso tra le definizioni nominali di Saccheri e quelle di Stuart Mill),
      • controllare in quali testi di Storia della Matematica o di Storia della Logica vi sono o non vi sono riportate informazioni sulla "Logica Demonstrativa"
    • Obiettivo minimo:
      • tradurre il testo di G.S., inquadrarlo nella logica aristotelica e metterne in risalto la chiarezza espositiva,  la rigorosità "matematica" e l'argomentare ipotetico-deduttivo, tipico del moderno matematico
      • chiarire il nesso tra le definizioni nominali di Saccheri e di Mill
      • esporre e commentare con l'aiuto di esempi la "consequentia mirabilis" di Saccheri 
  • Infinitesimi  attuali e analisi non standard  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti tenuto da un gruppo di 3 studenti:
      • Marco Ropelato, Lorenzo Valdan, Matteo Zendron.
    • Personaggi principali
      • Peano, Bettazzi, Veronese, Vivanti
    • Letture
      • G. Vivanti: 
        1. "Sull'infintesimo attuale", Rivista di Matematica, 1 (1891), pp. 135-153.
        2. "Ancora sull'infinitesimo attuale", Rivista di matematica, 1 (1891), pp. 248-255.
      • R. Bettazzi: 
        • "Sull'infenitesimo attuale", Rivista di Matematica, 1 (1891), pp. 174-182
        • "Sull'infenitesimo attuale", Rivista di Matematica, 2 (1892), pp. 38-41.
      • G. Peano: 
        • "Dimostrazione dell'impossibilità di segmenti infinitesimi costanti", Rivista di matematica, 2 (1892), pp. 58-62.
        • "Sugli ordini degli infiniti". R. Acc. Lincei, 19 (S.5) (1910), pp. 778-781 (oppure, Opere di Peano, vol. 1 pp. 359-362)
      • G. Veronese: "Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infinitesimi attuali", Math. Annalen, 47 (1895), pp. 423-432.
      • G. Gemignani: "L'infinitesimo attuale: una polemica di cento anni fa" da "Atti del convegno su Peano e i fondamenti della Matematica", Modena, 1991, pp.287-301.
      • A. Prestel: "Nonstandard Analysis" da "H.-D. Ebbinghaus et al. : Real Numbers", Springer, New York, 1991, pp. 305-327
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici che compaiono nei testi da leggere
      • ricercare materiale bibliografico citato nei testi letti (per es. articoli di G.Veronese, di T. Levi-Civita, di G. Cantor etc.)
    • Obiettivo minimo:
      • esporre con chiarezza il significato di "infinitesimo atttuale", come lo si intendeva verso la fine '800
      • chiarire i presupposti matematici di coloro che intervengono nella polemica di fine '800
      • presentare i numeri reali nonstandard (definizione, continuità e derivabilità espressa mediante infinitesimi).
      • tracciare i tratti comuni tra i numeri reali nonstandard  e gli "infinitesimi attuali" di fine '800
    • Esposizione orale
      • 27 febbraio 2004, ore 10:30 in Aula seminari
  • Come si definiscono i numeri naturali ?  (prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Letture proposte per un seminario  da 
      • 5 crediti per un gruppo di  5 studenti
    • Protagonisti
      • Grassmann,  Peirce, Frege,  Helmholtz, Dedekind, Peano
    • Letture
      1. H. Grassmann: "Lehrbuch der Arithmetik fur höhere Lehranstalten (1861)"; leggere fino a pag. 56 (= "H. Grassmann's Gesammelte Math. und Phys. Werke", vol. 2 (1a parte) pp. 295-349).
      2. C.S. Peirce: "Writings of C.S. Peirce, a  chronological edition", leggere
        • "The Axioms of Number(1880-81)", vol. 4 pp. 222-224
        • "On the Logic of Number (1981)",  Am. J. Math. 4 (1881), pp.85-95
        • "Proof of the Fundamental proposition of Arithmetic (1882)" vol. 4 pp. 267-268
        • "Fundamental Properties of Number (1886)", vol. 5 pp. 283-284
      3. G. Frege: "Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884)"(leggere  la trad. it. "Fondamenti dell'aritmetica. Una ricerca logico-matematica sul concetto di numero" in  "G. Frege, Logica e aritmetica, scritti raccolti a cura di Corrado Mangione", Boringheri, 1965, pp. 211-349)
      4. H. von Helmholtz: "Zählen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet (1887)", (leggere  la trad it. "Contare e misurare considerati dal punto di vista della teoria del conoscere",  in  Opere di H. von Helmholtz", UTET 1967, pp.699-745)
      5. J. W. R. Dedekind: "Was sind und was sollen die Zahlen (1888)" (leggere trad. it. "Che cosa sono e a che cosa servono i numeri" in  "J. W. R. Dedekind, Scritti sui fondamenti della matematica", Bibliopolis, 1982, pp. 79-128)
      6. G. Peano: "Arithmetices principia nova methodo exposita (1889)" (leggere  la trad. ingl. "The principles of arithmetic, presented by a new method" in "Selected works of G. Peano, a cura di H. C. Kennedy", Univ. Toronto Press, 1973, pp. 101-114)
      7. G. Peano: "Aritmetica generale e algebra elementare (1902)" (leggere   pp. 1-38)
    • Obiettivo
      • Confrontare le definizioni di numeri naturali date da Grassmann, Peirce, Frege, Helmholtz, Dedekind, Peano.
  • Equazioni differenziali ordinarie: Teorema di Peano  (prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Letture proposte per un seminario  da 
      • 5 crediti per un gruppo di  3 studenti
    • Protagonisti
      • Peano, Arzelà, De La Vallée Poussin, Tonelli
    • Letture
      1. G. Peano:  "Sull'integrabilità delle Equazioni Differenziali di primo ordine (1886)"; cfr. Opere vol. I, pp. 74-81
      2. G. Mie: "Beweis der Integrirbarkeit gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme nach Peano", Math. Ann.  43 (1893),  pp. 553-568
      3. Ch-J. De La Vallée Poussin: "Sur l'intégration des équations différentielles (1893)"; Annales de la Société Scientifique de Bruxelles XVII,  pp. 8-12
      4. C. Arzelà: Opere, vol. II;  leggere 
        • "Sull'integrabilità delle equazioni differenziali ordinarie (1895-96)";  pp. 349-362
        • "Sull'esistenza degli integrali nelle equazioni differenziali ordinarie (1896-97)";  pp. 363-372
      5. J. Mawhin: "Dimostrazione del teorema di Peano, basata su un'idea di Tonelli" (leggere pp.724-725 di "Analyse", Bruxelles, 19972)
    • Obiettivo
      • Presentare il teorema di Peano sull'esistenza delle soluzioni di equazioni differenziali confrontandone la dimostrazione di Peano con quella data da De La Vallée Poussin, Arzelà e Tonelli
  • Alla scoperta dei padri del teorema di Rouché-Capelli  (prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Letture proposte per un seminario  da 
      • 3 crediti per uno studente
    • Protagonisti
      • Capelli, Rouché
    • Letture
      1. E. Rouché: "Sur la discussion des équations du premier degré (1875)"; C.R.A.S. Paris, 81  pp. 1050-1052
      2. A. Capelli: "Sopra la compatibilità o incompatibilità di più equazioni di primo grado fra più incognite (1892)"; Rivista di Mat. 2 pp.54-58
    • Obiettivo
      • Scoprire i padri del teorema di Rouchè-Capelli: teorema che in alcuni testi viene richiamato come teorema di Kroneker-Frobenius.
  • Cosa significa definire ?  (resp. prof. Gabriele H. Greco)    
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente sostenuto da
      • Elena Marucco
    • Personaggi principali
      • Gergonne, Peano, Burali-Forti
    • Letture
      • G. Peano: "Les définitions mathématiques", Congresso internazionale di filosofia, Parigi, 1900, Vol. III, pp.279-288.
      • C. Burali-Forti: "Sur les différentes méthodes logiques pour la définition du nombre réel", Congresso internazionale di filosofia, Parigi, 1900, pp.289-307.
      • J. Gergonne: "Essai sur la théorie des définitions", Annales de Mathématiques, 9 (1818), pp.1-36
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici citati nei testi da leggere e le loro opere ivi citate 
      • controllare in quali testi di Storia della Matematica si fa riferimento alle "definizioni implicite" di Gergonne
      • ricercare articoli o monografie recenti che presentino l'opera di Gergonne
    • Obiettivo minimo:
      • presentare dettagliatamente i punti di vista di Gergonne, Peano e Burali-Forti a proposito di
        1. significato di "definizione matematica"
        2. confronto tra "definizioni matematiche" e altri modi di definire  (in particolare, distinzione tra definizione nominale e reale)
        3. classificazione delle "definizioni matematiche"
        4. esempi significativi di "definizioni matematiche"
      • elencare e commentare succintamente il materiale bibliografico riguardante Gergonne e pubblicato di recente.
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14
    • Links 
  • Musica e Matematica  (resp. prof. Gabriele H. Greco)     
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 2 studenti tenuto da 
      • Marco Costanzi e Stefano Maragnoli
    • Argomenti principali
      • aspetti storici e matematici a partire dal quadrivium
    • Letture
      1. J. Fauvel, R. Flood, R. Wilson: "Music and Mathematics", Oxford Univ. Press, 2003. Leggere:
        • cap. 1. Tuning and temparament, pp.13-27
        • cap. 3. The science of musical sound; pp. 47-59
        • cap. 6.  The geometry of music; pp. 91-111
      2. G. Assayag, H.G. Feichtinger, J. F. Rodrigues: Mathematics and Music, Springer, 2002.
      3. D. Benson: Mathematics and Music, 2003. Leggere
        • cap. 1 Waves and harmonics; pp. 1-2, 13-21
        • cap. 2 Fourier theory; pp. 30-37, 45-46, 63-66, 68-69
        • cap. 4 Consonance and dissonance; pp. 133-137
        • cap. 5 Scales and temperaments; 
        • cap. 9 Simmetry in music; pp. 279-287.
      4. E. Maor: "A historic Meeting between J. S. Bach and Johann Bernoulli" (da "e:the story of a number", 1998, pp. 129-...)
      5. P. Tannery: "Du rôle de la musique greque dans le développement de la mathématique pure" (1902); cfr. Mémoires scientifiques, vol 3, pp. 68-89,90-96,97-115
      6. "Music and Mathematics", Journal of New Music Research, vol. 30/1 (2001)
      7. Cartesio: "Compendium musicae", cfr.  testo latino con con traduzione italiana a fronte
      8. B. Scimemi:
        • "Musica, Aritmetica e buon temperamento", Archimede (1983).
        • "Contrappunto musicale e trasformazioni geometriche" (1997); cfr. Lettera Matematica Pristem, 27/28, Atti del convegno su Matematica e cultura,  a cura di M. Emmer.
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici e scienziati citati nei testi da leggere
      • recuperare gli 8 articoli su Matematica e Musica, apparsi sul Journal of New Music Research.
    • Obiettivo minimo:
      • Presentare la dottrina musicale di Pitagora e delineare l'importanza del quadrivium nel Medioevo
      • Elencare con breve commento i matematici del passato che si sono interessati (dal punto di vista matematico e/o fisico-matematico) di musica 
      • Illustrare le diverse modalità di interazione tra musica e matematica lungo la storia
      • Servendosi del cap. 1 e 2 di [3], chiarire la rilevanza musicale di nozioni matematiche (quali le funzioni trigonometriche, le serie di Fourier, la trasformata di Fourier, etc...), nella descrizione e nell'analisi di suoni prodotti da vibrazioni di corde.  In particolare correlare 
        1. i caratteri fisici del suono (altezza -pitch-, intensità -loudness-, timbro, tono puro) con le nozioni matematiche riguardanti le funzioni periodiche (frequenza, ampiezza, spettro delle frequenze, funzione sinusoidale)
        2. serie delle armoniche di un suono con sviluppo in serie di una funzione
        3. sovrapposizione di suoni con somma di funzioni
      • Sevendosi del cap. 6 di [1] o del cap. 9 di [3], chiarire la rilevanza musicale di nozioni matematiche, riguardanti la teoria dei gruppi, per analizzare "simmetrie musicali".
      • Servendosi del cap. 1 di [1] o del cap. 4 e 5 di [3], chiarire la rilevanza musicale di nozioni aritmetiche nella comprensione delle scale musicali (pitagorica, zarliniana, temperata), delle consonanze e dissonanze. 
      • Esporre la parte discorsiva del seminario in formato PowerPoint o HTML
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • La musica alla pari di aritmetica, geometria e astronomia è stata fin dai tempi di Pitagora una disciplina matematica. 
      • La schiera di matematici che, sull'esempio di Pitagora,  si sono occupati di problematiche musicali è infinita. Chi sono ?  Keplero, Galileo, Stevino, Cartesio, Mersenne, Oughtred, Wallis, Fermat, Leibniz, Bernoulli, D'Alembert, Eulero, Lagrange e poi ...
      • In che modo la matematica chiarisce i concetti musicali?
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14 
    • Links 
      • alla relazione scritta e all'esposizione
  • La logica di Port-Royal  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Simonetta Falsiroli
    • Personaggi principali e luoghi storici
      • Arnauld, Port-Royal
    • Letture
      • A. Arnauld, P. Nicole: "Logica o arte del pensare",  da "Grammatica e Logica di Port-Royal" (a cura di R. Simone), Roma, 1969; leggere 
        1. 1a parte (concepire) --> capp. IV (pp. 118-120), IX (pp. 135-140), XII-XV (pp.149-164)
        2. 2a parte (giudicare) -->  capp. III (pp. 175-178), XIV-XVI (pp. 213-224)
        3. 3a parte (ragionare) -->  capp. ----------------
        4. 4a parte (ordinare)  -->  capp. I-XI (pp. 333-373)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati e filosofi citati nel testo da leggere
      • inquadrare nella cultura del '600  Port-Royal e il giansenismo
    • Obiettivo minimo:
      • raccogliere e organizzare le parti della "Logica di Port-Royal" in cui gli autori si riferiscono esplicitamente a matematici o alla matematica
      • rilevare concetti e metodi matematici investigati nella "Logica di Port-Royal"; in particolare, esporre tutto ciò che riguarda il definire (per es. definizioni nominali/reali) ed il dimostrare. 
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati e filosofi citati nel testo da leggere
      • descrivere l'importanza culturale di Port-Royal
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14
    • Links 
  • Transcendenza di "e"  (resp. prof. Gabriele H. Greco)   >> non assegnato <<
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, proposto a
      • ....
    • Personaggi principali
      • Hermite, Euler
    • Letture
      • Ch. Hermite: "Sur la fonction exponentielle" (1873); cfr. "Oeuvres", vol. III pp. 150-181
      • L. Euler: "Introductio in Analysin infinitorum" (1748); cfr. traduzione inglese " Introduction to analysis of the infinite"
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati che si incontrano nei testi da leggere
      • raccogliere materiale bibliografico e di rete su "e"
    • Obiettivo minimo:
      • presentare la dimostrazione della trascendenza di "e" data da Hermite, appoggiandosi a dimostrazioni d'oggi
      • riportare le definizioni di "e" e di esponenziale che si trovano in "Introductio in Analysin infinitorum"
      • dettagliare il contesto matematico in cui Eulero introdusse ed usò il numero "e" in "Introductio in Analysin infinitorum"
      • elencare in forma organizzata e, brevemente, commentata il materiale bibliografico su "e" che si è trovato in rete o in biblioteca
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici o scienziati incontrati nei testi da leggere
    • Viatico (serve come quadro di riferimento che motiva e accompagna il seminario, durante la preparazione)
      • Hermite dimostra la trascendenza di "e" nel 1873
      • Eulero introduce il simbolo "e", definendolo come "il numero il cui logaritmo iperbolico è 1" (cfr. "Mechanica" (1736), t.I §171)
      • Eulero dà pure le prime definizioni di "e" che si richiamano ai logaritmi
      • Eulero per primo si occupa del problema dell'algebricità di "e" (dimostrando che nè "e" nè "e2" sono numeri razionali)
    • Esposizione orale
      • giorno..., ore ... aula ....
  • Kant e la matematica  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 2 studenti, tenuto da
      • Sabrina Cattani e  Silvia Dirupo
    • Personaggi principali
      • Kant, Couturat
    • Letture
      • L. Couturat: "La philosophie des Mathématiques de Kant (1904)" (trad, ital. in "E. Cassirer, L. Couturat: Kant e la matematica, Guerini e Ass. 1991, pp. 21-92)
      • P. Tannery: "Sur la distinction des jugements analytiques et synthétiques (Seance du 26 Mars 1903)", Bulletin de la Société française de Philosophie, 1903, pp. 125-147 
      • I. Kant:
        1. "Critica della ragion pura"(17811-17872); (leggere prefazioni, introduzione e il cap. II di 'I, Dottrina trasc.- Parte II, Logica transc.- Parte I, Anal. trasc.- Libro II' fino al §2 della Sez. III )
        2. "Handschriftlicher Nachlaß" (Band I, Mathematik, Physik und Chemie, physische Geographie) / [hrsg. von Erich Adickes]) (leggere pp.1-65)
        3. "Prolegomeni ad ogni filosofia che vorrà presentarsi come scienza"(1783); (leggere prefazione e i primi 13 paragrafi)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati e filosofi che si incontrano nei testi da leggere
      • raccogliere materiale bibliografico e di rete su "Kant e la matematica"
    • Obiettivo minimo:
      • relazionare su "Handschriftlicher Nachlaß" con l'intento di rendere possibile una valutazione dell'ampiezza e profondità delle conoscenze matematiche di Kant.
      • esporre in forma organizzata (anche senza commento) i riferimenti di Kant alla matematica, trovati nella Critica e nei Prolegomeni.
      • presentare il pensiero Kant con annessa critica di Couturat e Tannery, a proposito di
        1. definizione di giudizi analitici e sintetici e loro fondamento
        2. definizioni analitiche, sintetiche
        3. la matematica, come numero/grandezza e come spazio/tempo
        4. giudizi aritmetici e loro natura sintetica
        5. giudizi geometrici e loro natura sintetica
        6. dimostrazioni geometriche e loro fondamento intuitivo
        7. ruolo dell'intuizione in geometria
        8. i principi della geometria
      • elencare in forma organizzata e, brevemente, commentata l'eventuale materiale bibliografico  su "Kant e la matematica" che si è trovato in rete o in biblioteca.
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati e filosofi incontrati nei testi da leggere
    • Contesto (da cui prende le mosse la critica di Couturat a Kant)
      • A cavallo del 1900 la scuola matematica di Peano, nel suo pieno vigore, attrae i filosofi B. Russell e L. Couturat. Peano con la sua logica matematica rivoluziona il liguaggio matematico e le stesse basi filosofiche della matematica, allontanandola dal grezzo intuizionismo alla Poincaré per avvicinarla alla concezione logistica di Leibniz.
      • B. Russell, e L. Couturat contribuiscono fortemente all'espandersi della "logistica": concezione filosofica che vede nella logica il fondamento della matematica.
      • Nel 1904, in occasione della commemorazione del centenario della morte di Kant, il filosofo Couturat porta a segno la critica più organica e devastante al pensiero matematico di Kant.
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14
    • Links 
  • Stomachion, il puzzle di Archimede  (resp. prof. Gabriele H. Greco)     
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Marco Cipriani
    • Personaggi principali
      • Archimede, Heiberg
    • Letture
      • Archimede: "Opere" (a cura di  A. Frajese, UTET; leggere pp. 9-28 e pp. 557-573)
      • E. Rufini, "Il metodo di Archimede e le origini del calcolo infinitesimale nell'antichità", Torino, 1926
      • F. Minozio:
        1.  "Lo Stomachion di Archimede (I)", Lettera matematica pristem, 35(2000), pp, ?-?
        2.  "Lo Stomachion di Archimede (II)", Lettera matematica pristem, 36(2000), pp. 36-42
      • P. Odifreddi: "Archimede, l'uomo che sfidò i secoli a venire", La Repubblica, 11 gennaio 2004.
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati che si incontrano nei testi da leggere
      • raccogliere materiale bibliografico e di rete su "Stomachion" e sul "Palinsesto di Archimede"
    • Obiettivo minimo:
      • tratteggiare la figura del filologo Heiberg rilevandone il suo ruolo nella scoperta e nello studio degli scritti di Archimede
      • raccontare la scoperta e la riscoperta del palinsesto di Archimede e la sua importanza
      • descrivere brevemente il contenuto del palinsesto, soffermandosi sullo "stomachion", sul "metodo meccanico" e su eventuali testimonianze storiche precedenti alla loro riscoperta
      • a proposito dello "Stomachion" 
        1. descriverlo (e confrontarlo con il Tangram) e
        2. presentare il problema combinatorio collegato allo Stomachion, la sua soluzione (di Graham-Fan) e un cenno sulle tecniche risolutive.
      • elencare in forma organizzata (come pagina HTML) l'eventuale materiale bibliografico sullo "stomachion" e il "palinsesto" che si è trovato in rete o in biblioteca.
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati e filosofi incontrati nei testi da leggere
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14
    • Links 
      • pagina web del seminario
  • Il teorema di Arrow sulle scelte sociali  (resp. prof. Gabriele H. Greco)    
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 3 studenti tenuto da
      • Michele Avancini,  Silvia Ruvidotti,  Alice Passalacqua
    • Personaggi principali
      • Arrow
    • Letture
      1. K. J. Arrow : Collected Papers, vol 1 (Social Choice and Justice); leggere
        • "A Difficulty in the Concept of Social Welfare"(1950), pp. 1-23
        • "The principle of Rationality in Collective decisions"(1952), pp. 45-58
        • "Value and Collective decision making"(1966), pp. 59-77
      2. K. J. Arrow (1951): "Social Choice and Individual Values",  J. Wiley, New York, (1a edizione)
      3. K. J. Arrow (1963): "Social Choice and Individual Values", Yale Univ. Press (2a edizione; trad. italiana "1977 Etas Libri")
      4. J. H. Blau:
        • "The Existence of Social Welfare Functions", Econometrica, 25 (1957), pp. 302-313
        • "A Direct Proof of Arrow's Theorem", Econometrica, 40 (1972), pp. 61-67.
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati che si incontrano nei testi da leggere
      • raccogliere materiale bibliografico e di rete sul teorema di Arrow
    • Obiettivo minimo:
      • Elencare i vari tipi di relazioni che si incontrano nelle letture, cercando di uniformare la terminologia e le notazioni a quella di riferimento.
      • Presentare in un linguaggio matematicamente ineccepibile l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Arrow, così come viene presentato dallo stesso Arrow nel 1950
      • Presentare le varianti del teorema di Arrow che si incontrano nelle letture [1], [2] e [3] allo scopo di chiarire le differenze matematiche tra la prima versione e le successive.
      • Chiarire il contributo di Blau [4] alla precisazione e dimostrazione del teorema di Arrow.
      • Elencare in forma organizzata (per es. in formato HTML) e, brevemente, commentata l'eventuale materiale bibliografico sul teorema di Arrow che si è trovato in rete o in biblioteca.
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, economisti e scienziati incontrati nei testi da leggere
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • E' possibile passare da scelte individuali (qualunque esse siano) a scelte sociali (scelte di tutti), ammettendo qualche principio "democraticamente" condivisibile (quali: il principio di unanimità, neutralità, anonimato, il principio di coerenza, )? Il teorema di Arrow dà una risposta.
      • Nota che il "teorema di Arrow" è stato dallo stesso Arrow riferito, inizialmente,  come "Possibility Theorem" e successivamente come "Impossibility Theorem".
      • Per familiarizzare con il teorema di Arrow si legga il "teoremadi Arrow (caso in cui le preferenze sono ordini totali)" e si ricordi la ricca "terminologia sulle relazioni" a cui conviene riferirsi.
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14
    • Links 
      • pagina web del seminario
  • Sul volume dei solidi: Archimede, Keplero e Cavalieri  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 2 studenti tenuto da
      • Marina Brentegani e Francesca Gatti    
    • Personaggi principali
      • Archimede, Keplero, Cavalieri
    • Letture
      • Archimede: "Opere" (a cura di  A. Frajese, UTET; leggere le parti riferite da Keplero)
      • J. Keplero: "Nova stereometria doliorum vinariorum (1615)"; cfr. Gesammelte Werke, vol. IX (Mathematische Schriften), pp. 7-133. Leggere:
        1. "Stereometria archimedea", pp.  13-35  (in questa parte alcune proposizioni di Archimede sono richiamate e "ridimostrate")
        2. "Supplementum ad Archimedem", pp. 37-71  (in questa parte vi sono definizioni di vari tipi di solidi di rotazione)
        3. "Stereometria dolii austriaci in specie", pp.  72-86  (nel teorema V si dà una base matematica alla "genialità geometrica" dei costruttori austriaci di botti da vino)
      • B. Cavalieri: "Geometria degli indivisibili (1635)"; cfr. traduzione UTET 1966, leggere:
        1. Dedica e prefazione: pp. 39-55
        2. libro III (in questo libro Cavalieri calcola il volume di solidi di rotazione di cerchi)
        3. libro VII: p.654 (principio di Cavalieri)
        4. Esercitazione III (contro Guldino): pp.785-790
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati che si incontrano nei testi da leggere
      • raccogliere materiale bibliografico e di rete sulle "botti da vino di Keplero"
    • Obiettivo minimo:
      • elencare le proposizioni di Archimede citate da Keplero in [1] e confrontare il metodo dimostrativo seguito da Keplero con quello di Archimede dandone degli esempi illustrativi
      • definire con chiarezza i solidi di rotazioni considerati da Keplero in [2] e tradurre (in italiano) le proposizioni che li riguardano, riportandone le dimostrazioni che si ritengono "più interessanti"
      • Ritrovare in Cavalieri i solidi di rotazione di Keplero e il calcolo del loro volume (confrontandolo, nei casi dei solidi di rotazione di cerchi, con quello di Keplero)
      • elencare in forma organizzata (per es. in formato HTML) e, brevemente, commentata l'eventuale materiale bibliografico sulle "botti da vino di Keplero" che si è trovato in rete (per es. vedi il museo della Matematica di Roma) o in biblioteca.
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati e filosofi incontrati nei testi da leggere
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Archimede, per primo, calcola il volume della sfera e di altri solidi (di rotazione: paraboloidi, iperboloidi e ellissoidi)
      • All'inizio del '600, Keplero, richiamandosi ad Archimede, calcola con un "nuovo metodo" i volumi di "nuovi solidi" (di rotazione, per es. la mela, la prugna, la pera, il limone, l'oliva, il cedro, etc.)
      • Cavalieri, riprende i solidi di Keplero e ne calcola il volume, usando il cosiddetto "principio di Cavalieri".
      • In cosa differiscono i metodi dimostrativi di Archimede, Keplero e Cavalieri ?
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14
    • Links 
  • Matematica in rete: risorse didattiche  (resp. prof. Gabriele H. Greco)    
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, tenuto da 
      • Martina Salvadori
    • Compito principale
      • recupero di materiale didattico di natura matematica che si trova in rete
    • Tipi di materiale
      • biografico, bibliografico, storico, filologico, monografico, tematico, logico-linguistico, modellistico, interattivo, polemico, iterdisciplinare, museale, espositivo, animato, software, laboratorio
    • Obiettivo minimo:
      • classificare e organizzare, in formato HTML,  il materiale didattico che si trova in rete, in modo che sia di facile e rapida consultazione
      • presentazione in formato HTML di percorsi didattici innovativi (di livello universitario) preparati con materiale di rete
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Senza nessun sforzo, si può trovare in rete materiale didattico di ogni tipo. 
      • Sarebbe interessante avere una biblioteca virtuale con tutto questo materiale che, oltre ad essere ben fatto, viene aggiornato senza che lo si richieda
    • Esposizione orale
      • 28 luglio 2004 (aula 4, ore 10:30)
    • Links 
  • Assiomatizzazione vettoriale della geometria elementare (resp. prof. Gabriele H. Greco)    
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente tenuto da 
      • Alessia Peretti
    • Personaggi principali
      • Peano, Pieri
    • Letture
      • G. Peano
        1. "Analisi della teoria dei vettori"(1898);  cfr. Opere, vol. III, pp. 187-207
        2. "La geometria  basata sulle idee di punto e distanza"(1902); cfr. Opere, vol. III, pp. 268-272.
        3. "Formulaire mathématique (1902-03)" (= vol. 4 del Formulario matematico); pp. 253-259.
      • M. Pieri :
        1.  "Della  geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo" (1899); cfr. Opere, p.186
        2.  "La geometria elementare istituita sulle nozioni di punto e sfera" (1908); cfr Opere, pp.455-456
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati che si incontrano nei testi da leggere
    • Obiettivo minimo:
      • Partendo dalla definizione odierna di spazio affine e di spazio euclideo presentare le nozioni e le proprietà primitive assunte da Peano in (1) e in (3) per assiomatizzare la geometria elementare
      • Esporre le definizioni di Peano di "somma di punti (o forme di 1a specie)" e "massa d'una somma di punti". Servendosi della nozione generale di spazio di Möbius, rilevarne il loro carattere universale rispetto alla nozione di spazio affine.
      • Esporre con chiarezza la definizione di vettore (o differenza di punti), introdotta da Peano con il solo aiuto delle nozioni primitive di punto e distanza.
      • Tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati incontrati nei testi da leggere
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Peano partendo dalle nozioni primitive (pnt, vett, -, |) di punto, vettore (o differenza di punti) e prodotto scalare assiomatizza in modo moderno la gometria elementare. Ripercorriamo quanto fatto da Peano, confrontandolo con quanto si insegna oggi nei corsi universitari.
      • M. Pieri, allievo di Peano, aveva assiomatizzato la geometria elementare servendosi, come idee primitive, delle nozioni di punto e distanza. Come passare da queste due nozioni a quella di vettore ?
    • Esposizione orale
      • 10 settembre 2004, ore 9:00 in aula 14
    • Links 
  • I teoremi di Peano e Nagumo  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Simonetta Falsiroli
    • Personaggi principali e luoghi storici
      • Peano, Nagumo, Mie
    • Letture
      • G. Peano:  "Sull'integrabilità delle Equazioni Differenziali di primo ordine (1886)"; cfr. Opere vol. I, pp. 74-81
      • G. Mie: "Beweis der Integrirbarkeit gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme nach Peano", Math. Ann.  43 (1893),  pp. 553-568
      • M. Nagumo: "Über die Lage der Integralkurven gewöhnlicher Differentialgleichungen", pp. 551-559 (leggere solo le pagine 551-553)
      • J.-P. Aubin: Applied Functional Analysis, New York 20002( leggi dimostrazione del teorema di Nagumo)
      • J.-P. Aubin, A. Cellina: Differential Inclusions, New York 1984( leggi dimostrazione del teorema di Nagumo)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati  citati nel testo da leggere
    • Obiettivo minimo:
      • Presentare i teoremi di Peano e Nagumo così come vengono esposti dagli autori
      • Confrontare la traduzione di Mie del teorema di Peano con lo scopo di evidenziare eventuali carenze o migliorie. 
      • Dare una dimostrazione del teorema di Nagumo (servendosi, eventualmente, di  J.-P.Aubin e A. Cellina)
    • Esposizione orale
      •   7 settembre 2006, ore 10:30 in aula 7
    • Links 
  • Scritti matematici di Kant  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 2 studenti, tenuto da 
      • Martina Delladio e Marco Montel
    • Personaggi principali
      • Kant, Euclide
    • Letture
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici, scienziati e filosofi che si incontrano nei testi da leggere
      • raccogliere materiale bibliografico su "Kant e la matematica"
    • Obiettivo minimo:
      • tradurre, con testo tedesco a fronte, i "Manoscritti matematici" (comprese note a piè di pagina)
      • con l'intento di rendere possibile una valutazione dell'ampiezza e profondità delle conoscenze matematiche di Kant, ricostruire i riferimenti alle proposizioni degli Elementi di Euclide usate da Kant
      • evidenziare, ove possibile (per esempio, tramite "Briefwechsel"), il contesto in cui le riflessioni matematiche di Kant si svolgono e/o da cui prendono le mosse.
      • elencare in forma organizzata e, brevemente, commentata l'eventuale materiale bibliografico  su "Kant e la matematica" che si è trovato in rete o in biblioteca.
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati e filosofi incontrati nei testi da leggere
    • Esposizione orale
      •   6 ottobre 2009, ore 15:30 in aula seminari del dipartimento di matematica
    • Links 
  • Calcolo differenziale nell'Ausdehnugslehre di Grassmann(resp. prof. Gabriele H. Greco)  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Riccardo Cristoferi
    • Personaggi principali
      • Grassmann,  Stolz, Peano, Young, Frechet, Gâteaux
    • Letture
      • H. Grassmann: "Die Ausdehnungslehre (1862)" (della traduzione inglese di L.C. Kannenberg leggere pp. 193-261, cioè i primi due capitoli della 2a parte che comprendono i paragrafi §348-453)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici che compaiono nei testi da leggere e in questa scheda
    • Obiettivo generale
      • Usando simboli e termini matematici appresi nei corsi di Analisi Matematica, esporre, previa interpretazione, quanto Grassmann scrive a proposito del calcolo differenziale.
      • NB. Si faccia attenzione a non modificare il significato di simboli e termini introdotti nei corsi di Analisi Matematica; piuttosto se ne introducano di nuovi ad hoc o si specializzino i vecchi con l'aggiunta di aggettivi (per es.  Grassmann chiama continue quelle funzioni che noi potremmo chiamare "radialmente continue") oppure si recuperino termini d'uso corrente (per es.  una funzione che ammette derivate direzionali lungo un qualsiasi vettore e che è lineare al variare del vettore è detta, comunemente,  "differenziabile secondo Gâteaux").
    • Obiettivo minimo
      • Si espongano dettagliatamente definizioni e proposizioni contenute nei § 410-427, senza riportare le dimostrazioni di Grassmann
      • Inoltre, si espongano dettagliatamente definizioni e proposizioni contenute nei § 428-453, riportandone le dimostrazioni di Grassmann
      • Rilevare eventuali pecche nelle dimostrazioni di Grassmann
      • Rilevare eventuali scostamenti delle nozioni introdotte da Grassmann rispetto a quelle apprese nel corso di Analisi Matematica.
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati citati nel testo da leggere
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • La differenziabilità di una funzione di più variabili è nota come "differenziabilità di Frechet", poichè, comunemente, si ritiene che Frechet l'abbia introdotta per primo nel  1911.
      • Ma lo stesso Frechet dopo qualche settimana da questa sua pubblicazione, riconosceva che la nozione di differenziabilità era stata già introdotta da W.-H. Young nel 1909.
      • In realtà la nozione di differenziabilità era apparsa ancor prima: grazie a Stoltz (Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, 1893) e a Peano (Applicazioni geometriche, 1887).
      • Ma, stando a quanto riferisce Peano nel suo Formulario, la moderna nozione di differenziabilità risale a Grassmann.
    • Esposizione orale
      •   10 settembre 2007, ore 9:00  in aula 211 (IRST)
    • Links 
  • Cosa sono i frattali ?  (resp. prof. Gabriele H. Greco)  
    • Seminario da 5 crediti per 3 studenti, tenuto da
      • Sebastiano Nicolussi Golo,  Nicola Merler  e Lorenzo Modena
    • Personaggi principali
      • Mandelbrot, Hausdorff, Cantor, Peano, Lebesgue, Brouwer, Menger, Cech
    • Letture
      1. [MTFG] G.A. Edgar: Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer-Verlag, 1990. (leggere le pagine indicate nel seguito)
      2. [CF93] G.A. Edgar: Classics on Fractals, Addison-Wesley, 1993 (rist. Westview Press, 2004, indice); leggere le pagine  46-100 corrispondenti ai due articoli che seguono:
      3. [DT78] R. Engelking: Dimension Theory, North-Holland, Amsterdam 1978 (delle prime 84 pagine leggere quelle indicate nel seguito)
      4. [DT48] W. Hurewicz, H. Walman: Dimension Theory, Princeton Univ. Press, 1948 (leggere pp. 102-105)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici che compaiono nei testi da leggere e in questa scheda
    • Obiettivo generale
      • Chiarire, anche con l'aiuto di esempi, le diverse nozioni di dimensione: topologiche (= invarianti per omeomorfismi) e metriche (= invarianti per isometrie).
      • Esporre con chiarezza, anche con l'aiuto di esempi, come le diverse nozioni di dimensione si correlano tra di loro.
      • Presentare qualche procedura iterativa adatta alla costruzione di frattali di una data dimensione di Hausdorff.
      • Illustrare e calcolare le dimensioni topologica (indicata con "dimT") e di Hausdorff (indicata con "dimH") dei più noti esempi di frattali di Rn
    • Obiettivo minimo
      • A proposito di nozioni topologiche di dimensione
        1. Nel definire/presentare le diverse nozioni di dimensione e le loro proprietà si considerino, esclusivamente, i sottoinsiemi degli spazi finito-dimensionali Rn , dotati della topologia indotta.
        2. Tra le nozioni topologiche di dimensione si considerino: 
          • ind (=: la piccola dimensione induttiva, vedi [DT78, p. 3] oppure [MTFG, p.81]),
          • Ind (=: la grande dimensione induttiva, vedi [DT78, p. 52] oppure [MTFG, p.86]) e
          • cov (=: dimensione induttiva per ricoprimento, vedi [DT78, p. 54]  oppure [MTFG, p.96]).
        3. Si tracci brevemente la storia (con le dovute attribuzioni) riguardante
          • le tre definizioni di dimensione: ind, Ind, e cov (vedi [DT78, pp. 6-9 e 58-59]),
          • l'uguaglianza fondamentale ind(Rn)=Ind(Rn)=cov(Rn)=n, (vedi [DT78, th. 1.8.2] e [DT78, p. 84]) e
          • la coincidenza sui sottoinsiemi di  Rn delle tre nozioni di dimensione (vedi [DT78, th. 1.7.7] e [DT78, pp. 48-49, 69]). NB. All'occorrenza  si usi il simbolo "dimT"  per denotarle.
        4. Si dimostri che dimT (A) ≤  dimH (A) per ogni sottoinsieme di Rn ( vedi [DT48, pp. 104-105]) 
      • A proposito  delle misure di Hausdorff e della dimensione di Hausdorff
        1. Carathéodory in "Über das lineare Maß von Punktmengen (1914)" introduce, per primo, molte delle nozioni che abbiamo visto nel corso di Analisi (per es. misure, misure metriche, misure regolari,  misurabilità, misura di Hausdorff 1-dimensionale, ecc.) e ne studia le proprietà (per es. additività finita e numerabile, continuità per successioni crescenti, ecc.).  Si esponga quanto scritto da Carathéodory, servendosi delle seguenti indicazioni e rispondendo alle domande che seguono.
          • Usare (finché possibile) i termini matematici, appresi nei corsi di Analisi Matematica, per presentare le nozioni, le proposizioni e le dimostrazioni date da Carathéodory. Per esempio  "misura esterna nel senso di Carathéodory":= misura metrica regolare.
          • Nell'esporre l'articolo di di Carathéodory, saltare i paragrafi §19-21 e tralasciare quelle definizioni e  dimostrazioni, già fatte nel corso di Analisi Matematica (in tal caso, dare un rimando agli appunti del corso).
          • Nel paragrafo finale §31 leggere "direzioni" al posto di "orientations"; ricorda che "direzione di un sottospazio affine":="sottospazio vettoriale associato".
          • Domande
            • Prima di Carathéodory (si pensi a Peano, Jordan, Lebesgue, Vitali), la teoria della misura si sviluppava a partire da due funzioni d'insieme  (l'accoppiata: misura esterna e misura interna; vedi §19-21). Carathéodory ne usa una sola (la misura esterna).  Quali sono le considerazioni apportate da Carathéodory a sostegno del suo approccio?
            • Carathéodory definisce le misure di Hausdorff p-dimensionali per p intero>0 ?
            • Cosa spinge Carathéodory ad estendere il concetto di lunghezza?
        2. Hausdorff in "Dimension und äußeres Maß (1918)" introduce le misure di Hausdorff di dimensione sia intera che frazionaria: misure che usa per definire la dimensione (ormai, classica). Il procedimento del §2 (altrettanto "classico") utilizzato da Hausdorff nel costruzione di misure metriche, generalizza quanto fatto da Carathéodory nella costruzione della misura di Hausdorff 1-dimensionale. A proposito di questo articolo di Hausdorff
          • si esponga, per sommi capi, quanto scritto da Hausdorff nei primi 8 paragrafi (fino alla definizione di dimensione di un insieme); più precisamente, si cerchi con una manciata di parole per ogni paragrafo di dare un'idea chiara del contenuto matematico.
          • si risponda alla seguenti domande:
            • quali proprietà sono usate da Hausdorff, affinché il procedimento del §2 produca misure regolari?
            • le misure date dalle definizioni 1(§7) e 2(§8) sono le  "misure di Hausdorff" che conosciamo?
            • in che cosa la definizione di dimensione data da Hausdorff nel §8 differisce dalla "dimensione di Hausdorff" che conosciamo?
      • Calcolare dimensione topologica e dimensione di Hausdorff.
        • Vi sono vari modi di costruirsi frattali di Mandelbrot. Il "metodo degli insiemi invarianti" è uno dei più versatili: è un metodo iterativo che permette senza alcuna difficoltà di avere la dimensione del frattale che si costruisce.
        • Introdurre il "metodo degli insiemi invarianti" (vedi [MTFG, pp. 105-108]) e dimostrare il teorema di Moran (vedi  [MTFG, th. 6.3.12] e le pagine strettamente necessarie per la dimostrazione).
        • Calcolare la dimensione topologica e, usando il teorema di Moran,  la dimensione di Hausdorff dei seguenti frattali di Mandelbrot (presi dalla lista):
          1. insieme di Cantor (dimT =0 , dimH = log2 / log3; vedi [MTFG pp. 80-81, 107 e 160])
          2. triangolo di Sierpinski (dimT =1 , dimH = log3 / log2;  vedi [MTFG pp. 82,  107 e 161])
          3. curva di von Koch (dimT =1 , dimH = log4 / log3;  vedi MTFG pp. 82,  107 e 161)
            • H. von Koch: Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire, Arkiv för Matematik (1904), pp. 681-702 .
            • links sulla curva di von Koch: fr.wiki, en.wiki, it.wiki
      • Insiemi di dimensione di Hausdorff arbitraria
        • Fissato un numero reale p con 0<p<1, si definisca la successione {ξn}n tale che sia abbia  2nn)p=1 ( cioè ξn:=(1/2)(n/p) ). Mediante questa successione, Hausdorff costruisce un sottoinsieme della retta avente p come dimensione di Hausdorff.
        • Esporre (senza dimostrazione) il metodo usato da Hausdorff (vedi §10 di "Dimension und äußeres Maß (1918)")
        • Spiegare come Hausdorff riesce a costruire insiemi di dimensione arbitraria nel piano e nello spazio  (vedi §13 di "Dimension und äußeres Maß (1918)")
        • L'insieme dei numeri irrazionali è un frattale di Mandelbrot?
        • Esiste una curva continua senza autointersezione (necessariamente di dimensione topologica 1) che abbia sostegno nel piano  che abbia dimensione di Hausdorff 2?
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati citati nel testi da leggere
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Secondo Mandelbrot sono frattali quegli insiemi aventi dimensione di Hausdorff diversa da quella topologica.
      • La dimensione di Hausdorff, la conosciamo già. Introdotta da Hausdorff nel 1918, dipende dalla metrica ossia da come si misurano le distanze di punti. Il matematico Szpilrajin nel 1937 dimostrò due fatti importanti che correlano la dimensione di Hausdorff dimH con quella topologica dimT:
        1.  dimT(A) ≤  dimH (A) (NB: gli insiemi per i quali questa disuguaglianza è stretta, saranno  detti  "frattali di Mandelbrot" o, semplicemente, "mandelbrot");
        2.  dimT(A)=inf{dimH (C): C≈A}; cioè la dimensione topologica di un dato insieme A di Rn è l'estremo inferiore delle dimensioni di Hausdorff di sue copie omeomorfe.
      • Cosa significa "dimensione topologica" e come calcolarla?
      • La storia della nozione di dimensione che nasce con la geometria si complica sul finire dell'ottocento.  Si ricordi cosa diceva Euclide a proposito dei tipici oggetti geometrici che hanno dimensione 0 ("un punto è ciò che non ha parti"), dimensione 1 ("una linea ha lunghezza ma non larghezza") e dimensione 2 ("una superficie ha soltanto lunghezza e larghezza").
      • Con la constatazione da parte di Cantor dell'esistenza di una applicazione biunivoca tra i punti di un quadrato e di un suo lato, la nozione di dimensione subisce un primo leggero scossone che, ben presto, viene riassorbito, con l'osservazione che le applicazioni biunivoche tra quadrato e suo lato non possono essere continue.
      • Uno scossone più forte, la nozione di dimensione lo riceve dalla curva di Peano nel 1890; curva che, come sappiamo, è continua e ricopre un quadrato.
      • 21 anni dopo, con Brouwer (1911), finalmente, si ritorna alla normalità del tradizionale senso comune. Brouwer dimostra che l'esistenza di un omeomorfismo tra due aperti non vuoti, rispettivamente di Re di Rm, impone che si abbia  n=m.
      • Con Brouwer (1911) nasce la teoria della dimensione; teoria che con il contributo di altri grandi matematici (per es. Lebesgue, Urysohn, Menger, Cech, ...) diventa un capitolo importante del sapere matematico.
    • Esposizione orale
      •   10 settembre 2007, ore 9:00 in aula 211(IRST)
    • Links 
  • Gruppi e algebre di Lie: storia, ESEMPI e applicazioni  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 4 crediti per  2 studenti, tenuto separatamente da
      • Roberto Pedrazzoli, Federico Gionta
    • Personaggi principali
      • S. Lie, F. Klein, F. Engel, A. Mayer, G. Peano
    • Letture
      1. [Stu2002] A. Stubhaug: The mathematician Sophus Lie, Springer, Berlin 2002 (leggere un capitolo a scelta, per es. quello del viaggio a Parigi con Klein)
      2. [Gil2008] R. Gilmore: "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists"(2008) (vedi  Amazon Reader) (leggere i paragrafi introduttivi dei capitoli)
      3. [Hall2003] B. C. Hall: Lie Groups, Lie algebra, and representations. An elementary Introduction. Springer, 2003 (leggere pp. 3-11, 20-26, 27-32, 35-44, 53-54
      4. [Peano1887]  G. Peano: Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari, Atti R. Acc. Scienze, Torino, 22 (1886-87), pp. 437-446 (leggere tutto)
      5. [Engel2000] K.-J. Engel, R. Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer, 2000 (leggere pp. 1-11 e cap.VII)
    • Ricerche biografiche/bibliografiche
      • tracciare un breve profilo biografico dei matematici, scienziati citati nei testi da leggere
    • Obiettivo minimo
      • Dare qualche breve cenno biografico, soffermandosi su qualche aspetto interessante/curioso della vita di Lie
      • Precisare le motivazioni che spinsero Lie a introdurre i gruppi continui di trasformazioni (per esempio, risolvere equazioni differenziali in analogia con la teoria di Galois che detta le condizioni per "risolvere equazioni algebriche mediante radicali") (vedi [Gil2008])
      • Indicare delle motivazioni che spingono lo studioso o lo scenziato d'oggi ad interessarsi di gruppi di Lie ed, soprattutto, ad usarli. (vedi [Gil2008])
      • Esporre, in modo elementare, quei gruppi di matrici nxn, descritti da uguaglianze (per es. GL(n;R), SL(n;R), O(n;R), SO(n;R), O(n,k) -in particolare, O(3,1)- Sp(n;R), E(n), P(n;1))
        • verificare, quando è il caso, che sono gruppi di Lie (vedi matrix Lie groups in [Hall2003])
        • verificare, quando è il caso, che sono delle sottovarietà di R^(nxn) (NB. confronta questa verifica con il teorema 1.19 di [Hall2003])
        • calcolare, quando è il caso, le algebre di Lie associate a tali gruppi (mediante lo spazio tangente e mediante l'esponenziale di matrici).
      • Esporre l'esponenziale di matrici, come è stato definito da Peano nel 1887, presentandone la motivazione e il contesto che ne fanno da cornice e, quindi, presentarne
        • la formula di addizione
        • le proprietà di semigruppo,
        • la derivabilità,
        • il ruolo di risolvente per equazioni differenziali lineari
        • le difficoltà per il calcolo
      • Descrivere i sottogruppi ad un parametro di matrici mediante l'esponenziale di matrici e come soluzioni di equazioni differenziali lineari
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Ad inizio '800 la geometria euclidea non è più la regina delle scienze; e, tra le scienze, perde il ruolo di modello logico-fondazionale da imitare.
      • Nuove geometrie vengono scoperte. Le cosiddette geometrie non euclidee sono l'esempio più eclatante.
      • Nello stesso tempo, le ricerche di Ruffini, Abel e Galois pongono in luce nuove strutture: i gruppi di sostituzioni.
      • Le nuove geometrie (non euclidee, geometria affine, gometria proiettiva) unitamente alla nozione di gruppo offrono ai matematici dell'epoca nuovi e rivoluzionari strumenti di ricerca e di riconcettualizzazione dei fatti matematici.
      • I due amici Klein e Lie intrapresero nel 1870 un viaggio a Parigi. Ivi incontrarono il matematico francese Camille Jordan che aveva appena finito di scrivere il suo celebre "Traité des substitutions et des équations algebraiques". Da Jordan appresero l'importanza dei gruppi nello studio di questioni sia algebriche che geometriche.
      • Klein con il suo programma di Erlangen (1872) elevò la nozione di gruppo a strumento diversificatore/fondatore di nuove e vecchie geometrie.
      • A dare sostanza al programma di Erlangen ci furono indubbiamente le ricerche di Lie sui gruppi continui di trasformazioni.
      • Klein offrì ai matematici un nuovo modo di vedere la geometria (passata o da venire), mentre il grande Lie creò una nuova disciplina matematica la "Teoria dei Gruppi e delle Algebre di Lie": teoria che trovò e trova applicazioni in diversi rami della matematica e, non solo, anche della fisica.
      • Esposizione orale
      •   22 febbraio 2011, ore 14:30 in aula 208  e 15 dicembre ore 14:30 in aula 210
      • Links 
      • relazione scritta di RB , esposizione di RB,   relazione scritta di FG e esposizione di FG
  • Platone e le origini della Matematica  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 4 crediti  per 2 studenti, tenuto da
      •   Angelo Danese e Giulia Perina
    • Personaggi principali
      • Platone, Proclo, Aristotele
    • Letture essenziali
      1. V. Hösle: "I fondamenti dell'aritmetica e della geometria e della geometria in Platone", Vita e Pensiero, Milano, 1994 (leggere tutto) (--> ulet 510.1 Hos)
      2. D. H. Fowler: "The Mathematics of Plato's Academy. A new reconstruction", Claredon Press, Oxford, 1990 (leggere la prima parte, pp. 1-194) (--> usci 510.938 FOW)
      3. D. Massaro: Matematica e filosofia in Platone (Seminario G.R.I.M., Università di Palermo, 1996), Quaderni di Ricerca in Didattica, n.7, 1997 pp. 118-135  ( leggere tutto)
      4. Proclo: "Commento al I libro degli Elementi di Euclide", Giardini, Pisa 1978 (leggere il prologo, pp. 25-85) (--> ulet 516.2 PRO)
      5. Zeller E, Mondolfo R. :"La filosofia dei Greci nel suo sviluppo storico" a cura di M. Isnardi Parente, parte II, vol. III/1 Firenze 1974, (leggere Appendice I, pp. 339-347) (-->ulet 180 ZEL II.3.I)
      6. Zeller E, Mondolfo R. :"La filosofia dei Greci nel suo sviluppo storico" a cura di M. Isnardi Parente, parte II, vol. III/2 Firenze 1974, (leggere pp. 857-859 e 1005-1028) (-->ulet 180 ZEL II.3.II)
    • Letture complemetari
      1. E. Cattanei: "Enti matematici e metafisica, Platone, l'Accademia e Aristotele a confronto", Vita e Pensiero, Milano, 1996 (--> itc 13 020 0970)
      2. J. E. Annas: "Interpretazione dei libri M-N della Metafisica di Aristotele, La filosofia della matematica in Platone e Aristotele", Via e Pensiero, Milano 1992 (--> ulet 510.1 ANN)
      3. Mugler, Charles: "Platon et la recherche mathématique de son époque", Strasbourg, 1948 (--> ulet 510.938 MUG)
      4. Lassere, F. "La naissance des mathématiques à l'époque de Platon", Vestigia, Fribourg 1990
      5. Platone: Tutti gli scritti ( cura di G Reale), Bompiani, 2000 (--> bibl com 184 PLA 48)
      6. Diogene Laerzio: Vite e dottrine dei più celebri filosofi( cura di G Reale), Bompiani, 2005 (--> bibl com 184.9 DIO 1)
      7. I. Tóth: Aristotele e i fondamenti della geometria, Milano, 1997
      8. H. Cherniss, "Plato as a Mathematician",  Review of Metaphysics, 1951, pp. 395-425 (ristampato in "Selected papers / Harold Cherniss (a cura diL. Tarán - Leiden - 1977, pp. 222-252)
        (questo articolo è una recensione non-costruttiva e piena di sarcasmo del libro di Mugler su
        "Platon et la recherche mathématique de son époque".  Cherniss è tra quelli che sostegono che la figura di "Plato as a Mathematician" è semplicemente una favola; l'attitudine di Cherniss o di altri (per esempio, Neugebauer) a scalgliarsi contro chi sostiene il ruolo fondatore dell'Accademia nella matematica e nella scienza, è da psicanalizzare)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici e filosofi che compaiono nei testi da leggere e in questa scheda
    • Obiettivo generale
      • Dal punto di vista del matematico d'oggi (rileggendo Proclo), documentare (facendo riferimento a Proclo e, soprattutto, alle dotttrine scritte e non-scritte di Platone) e commentare (presentando le diverse posizioni degli studiosi di Platone, esposte nelle letture consigliate da Hösle, Isnardi Parente-Zeller-Mondolfo e Massaro)
        • il ruolo di Platone nella promozione e diffusione degli studi matematici
        • i contributi matematici dell'Accademia e la loro importanza nella nascita e nella formazione della matematica come scienza a sé (con base assiomatica, metodo deduttivo e obiettivi, principalemente, interni e disgiunti da finalità pratiche)
        • Platone come matematico.
      • Presentare (solo nel caso che fossero incontrati nelle letture consigliate) commenti e opinioni su i seguenti temi: (••) il Platonismo (la visione ontologica della matematica da parte di Platone), (••) la posizione antiplatonica di Aristotele nei libri M-N della Metafisica, (••) la natura della matematica o della conoscenza matematica, come intesa da filosofi o matematici
      • Seguendo la re-interpretazione o la ricostruzione dei contributi matematici dell'Accademia data da Fowler, presentare
        • il Menone di Platone
        • l'algoritmo euclideo per il calcolo del MCD mediante rapporti e differenze ripetute
        • il Libro II degli Elementi di Euclide
        • il curriculum matematico descritto nella Repubblica VII  di Platone
        • i libri IV, X e XIII degli elementi di Euclide. 
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Platone (427-347 a.C.) il più influente pensatore di tutti i tempi.  All'ingresso dell'Accademia (la scuola fondata da Platone) vi si leggeva: "Chi ignora la geometria non entri!".
      • Secondo Platone ogni approcio scientifico alla realtà presuppone che la realtà sia descrivibile in termini martematici.
      • Nelle Leggi Platone confessa la propria vergogna per aver appreso l'esistenza di grandezze incommensurabili solo in età avanzata e stigmatizza il fatto che molti greci, suoi coetanei, non le conoscano.
      • Le opere di Platone tramite i tantissimi richiami alla matematica testimoniamo l'importanza della matematica per Platone. Ancor di più, le testimonianze antiche sulle dottrine perdute o non scritte di Platone (dottrine che Platone presentava, discuteva e sviluppava nelle lezioni che teneva all'interno dell'Accademia)  offrono un' "immagine matematica" della stessa filosofia di Platone.
      • Dice Proclo: "Platone [...] dette un impulso immenso a tutta la scienza matematica e in particolare alla geometria, per l'appassionato studio che vi dedicò e che ha reso noto sia riempiendo i suoi scritti di ragionamenti matematici, sia rivolgendo dovunque l'ammirazione per questi studi in coloro che si dedicano alla filosofia" (vedi pag. 66 del Commento)
      • Come già nella scuola pitagorica, nell'Accademia di Platone la matematica
        • acquisisce uno stato ontologico,  si affferma come scienza compiuta e
        • non è più uno strumento atto a risolvere problemi pratici (ricorda gli irrazionali e i pb greci: duplicazione del cubo, trisezione dell'angolo, quadratura del cerchio, costruzione dell'ettagono).
      • L'evento metafisico espresso dalla consapevolezza dell'esistenza degli oggetti matematici in ambito ontologico, intermedio tra quello delle cose sensibili e quello delle Idee, contribuì a rafforzare e a rivitalizzare la speculazione filosofica e fu essenziale per lo sviluppo assiomatico della matematica.
      • Tra i matematici dell'Accademia di Platone sono importanti Teeteto (scopritore dei solidi platonici), Eudosso (fonda la teoria delle proporzioni), Filippo di Opunte (un fondatore dell'ottica geometrica).
    • Esposizione orale
      •   26 maggio 2010, ore 14:00 in aula 106 (IRST)
    • Links 
  • La sezione aurea e altri scritti di Mario Livio (resp. prof. Gabriele H. Greco)  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Lara Carlin
    • Personaggi principali
      • ....
    • Letture (essenziali)
      • [Liv2]  M. Livio: "La sezione aurea: storia di un numero e di un mistero che dura da tre mila anni", Rizzoli, Milano, 2003  (leggere tutto)
      • [Liv4M. Livio: "Dio è un matematico", Rizzoli, Milano, 2009  (leggere tutto)
    • Letture (complementari)
      • [Liv1M. Livio: "La bellezza imperfetta del cosmo",  UTET,  Torino, 2003
      • [Liv3M. Livio: "L'equazione impossibile: come un genio della matematica ha scoperto il linguaggio della simmetria", Rizzoli, Milano, 2005
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici, scienziati, artisti, poeti, filosofi che compaiono nei testi da leggere.
    • Obiettivo generale
      1. [Liv2] tracciare origine, occorrenze e uso (in matematica e in altre scienze) della sezione aurea. Più in dettaglio, soffermatevi su o rispondete a
        • origine e cambiamenti nel nome : Pitagora (n. 570 Samo), Ippaso di Metaponto (V sec a. C.) e l'irrazionalità della sezione aurea (dimostrazione geometrica), Fidia (490-430 a.C.
        • scoperta e irrazionalità della sezione aurea tramite il pentagramma pitagorico (leggi pag. 58-67 cap 2 di [Liv2]).
        • Gli archeologi hanno recuperato pentagrammi (in Mesopotamia, in Egitto, ..) risalenti a periodi anteriori a Pitagora. Forse la sezione aurea era già nota ai babilonesi e agli egizi?  (leggi velocemente il cap 3 di [Liv2])
        • Platone (428-348 a.C) e Teeteto (417-369 a.C): la sezione aurea nella misura e nella costruzione di solidi platonici. Il rettangolo aureo nel Partenone (447-432 a.C.).  La definizione del rapporto aureo e del triangolo aureo in Euclide e loro uso nella costruzione del pentagono, del dodecaedro e dell'icosaedro. Espressioni incosuete del numero aureo (mediante radici di radici, frazioni di frazioni e divisione del rettangolo aureo).Il rapporto aureo tra i matematici islamici. (leggi cap 4 di [Liv2])
        • Fibonacci, Keplero, Eulero/Binet e Bernoulli: sezione aurea tra costruzioni geometriche di pentagoni, dodecaedri, spirali logaritmiche, conigli in crescita, quozienti di fillotassi e spirali galattiche  (leggi cap 5 di [Liv2])
        • La proporzione divina (il segreto dell'armonia delle forme visibili): Piero della Francesca, Pacioli, Leonardo, Dürer  (leggi cap 6 di [Liv2])l
        • Sezione aura come canone estetico per le arti figurative. Esperimenti di Fechner e tassellatura aperiodica di Penrose (leggi cap 7-8 di [Liv2].
      2. [Liv4] In "Dio è un matematico", Livio asserisce che "la matematica fornisce la solida impalcatura che tiene insieme ogni teoria dell'universo".
        • Quali sono, secondo Livio, le caratteristiche essenziali della matematica?
        • Qual è la natura del rapporto tra la matematica e il mondo che osserviamo? In particolari, quali sono i concetti matematici, la cui evoluzione ha maggiormente segnato la comprensione del cosmo?
        • Traccia la storia della matematica, come è delineata da Livio
          • filosofia e sapere: Pitagora e Platone (leggi cap 2 di [Liv4])
          • L'irragionevole efficacia della matematica: Archimede, Galileo (leggi cap 3 di [Liv4]), Cartesio, Newton (leggi cap 4 di [Liv4])
          • Fatti/previsioni e probabilità/statistica: Bernoulli (Ars Conjectandi), Laplace (Saggio filosofico sulle probabilità), Halley, Quetelet, ...(leggi cap 5 di [Liv4])
          • la geometria euclidea non è la sola geometria: geometrie non euclidee, geometrie in più dimensioni, proiettiva, differenziale,...(leggi cap 6 di [Liv4])
          • La ragionevole efficacia della matematica: dal problema dei fondamenti alla costruzione logica della matematica i problemi di incompletezza o indecidibilità (leggi cap 7 di [Liv4])
          • Efficacia matematica: la storia "annodata" della teoria dei nodi (leggi cap 8 di [Liv4] e suggerisci un percorso storico-didattico-matematico di letture per addentrarsi nella teoria dei nodi e riconoscere i benefici per la matematica, per la genetica e per la fisica)
          • Accuratezza e efficacia predittiva della matematica (leggi pag. 290-297 di cap 8 di [Liv4])
          • La matematica come invenzione, scoperta, lingua, intuizione,... (leggi cap 9 di [Liv4])
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Mario Livio, responsabile scientifico del programma di ricerca condotto con il telescopio spaziale Hubble, da più anni svolge un'opera di divulgazione scientifica che riscuote successo.
      • Mario Livio, come astrofisco,  nella sua opera prima "La bellezza imperfetta del cosmo"  propone il "principio della bellezza" a guida delle leggi che governano il cosmo.
      • Nei tempi passati la sezione aurea era un canone di bellezza. La sezione aurea, la si riscontra non solo nelle arti figurative ma anche in altri contesti: la si ritrova nel conchiglie, nel riprodursi dei conigli, nella disposizione delle foglie, dei petali, negli ammassi stellari,...
      • Perchè la sezione aurea ha affascinato (oltre ai matematici) biologi, artisti , musicisti, storici, architetti, psicologi, mistici ?
    • Esposizione orale
      •   16 marzo 2010, ore 15:30  in aula 211 (IRST)
    • Links 
  • La bellezza imperfetta e  l'equazione impossibile (resp. prof. Gabriele H. Greco)  --> cercare Vacca, fotocopia pagine di Larcher per incongruenze
    • Seminario da 5 crediti per 2 studenti, assegnato a
      • Ilaria Baldo e Karin Larcher
    • Personaggi principali
      • Ruffini, Abel, Galois
    • Letture (essenziali)
      • [Liv1M. Livio: "La bellezza imperfetta del cosmo",  UTET,  Torino, 2003 (leggere tutto) (--> x 523.1 Liv 1, biblio com)
      • [Liv3M. Livio: "L'equazione impossibile: come un genio della matematica ha scoperto il linguaggio della simmetria", Rizzoli, Milano, 2005 (leggere tutto) (--> x 512 Liv 2, biblio com)
      • [Greco1989]: Il teorema di Abel-Ruffini, Appunti del corso di Matematiche Complementari a.a. 89/90 (il terzo sui tre pargrafi è stato scritto da Norberto Gavioli) (leggere tutto)
      • [Graaf2008] S. Cicalò, W. A. de Graaf: "Teoria di Galois", Aracne 2008 (leggere tutto)
      • [OpereRuffini] P. Ruffini: "Opere Matematiche" (3 voll. a cura di Ettore Bortolotti), Cremonese 1954 (leggere l'indroduzione d'ogni volume)
      • [Ayoub1980]R. G. Ayoub: Paolo Ruffini's Contributions to the Quintic,  Archive for History of Exact Science, 23 (1980), 253-277 (leggere tutto)
      • [Pierpont1896] J. Pierpont: On the Ruffini-Abelian Theorem, Bulletin Am. Math. Soc. 5 (1899), 296-300. (leggere pp. 200-201)
      • [Pierpont1899] J. Pierpont: Galois's Collected Works, Bulletin Am. Math. Soc. 2 (1896), 200-221. (leggere tutto)
      • [Burkhardt1892] H. Burkhardt: Paolo Ruffini e i primordi della teoria dei gruppi. Annali di Mat. 22 (1892), 175-212 (leggere tutto)
      • [Vacca1947] G. Vacca: Abel,  Ruffini,  Atti e Mem. Accad. Sci. Modena 7 (1947), 203-204. (leggere tutto)
    • Letture (complementari)
      • [Liv2]  M. Livio: "La sezione aurea: storia di un numero e di un mistero che dura da tre mila anni", Rizzoli, Milano, 2003  (--> x 516 Liv 2, biblio argentario)
      • [Liv4M. Livio: "Dio è un matematico", Rizzoli, Milano, 2009(--> x 510 Liv 1, biblio com)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici, scienziati, artisti, poeti, filosofi che compaiono nei testi da leggere.
      • Ricercare (mediante CBT) tutti gli scritti di Ruffini che si trovano nelle biblioteche trentine dando per ognuno degli scritti trovati
        • i dati bibliografici essenziali (titolo, editore o rivista in cui è stato stampato, anno di stampa, pagine iniziale e finale)
        • l'indice (se suddiviso in parti)
        • la biblioteca in cui si trova.
    • Obiettivo generale
      1. [Liv1] Presentare la definizione di "bellezza delle teorie dell'universo" data da Livio nel suo primo libro "La bellezza imperfetta del cosmo" (leggi cap. 1 di [Liv1]), rilevandone
        • l'utilità discriminatoria per quanto riguarda la cosmologia del XX secolo (leggi cap. 3-8 di [Liv1]),
        • le parentele con la bellezza nell'arte e nella letteratura,
        • la non applicabilità ad ogni scienza, e
        • le argomentazioni e gli esempi a sostegno dei tre requisiti per "la bellezza di una teoria":
          1. simmetria (ovvero teoria invariante rispetto a particolari gruppi di trasformazioni spazio-temporali)
          2. semplicità (ovvero teoria "riduzionistica" basata su pochi principi/ipotesi, facilmente verificabili)
          3. omogeneità (o egalitarismo copernicano: teoria indipendente da dati temporali e spaziali speciali; quindi, impossibilità del principio antropico "le leggi della natura devono consentire l'emergere della vita")
      2. [Liv3] Leggendo "L'equazione impossibile" di Livio charisci o sviluppa i seguenti punti
        • in che senso la simmetria è il principale strumento per colmare la distanza tra scienza e arte, tra psicologia e matematica? In particolare
          1. elenca degli esempi di simmetrie, non necessariamente matematici, come: palindromi nei giochi di parole e nelle sequenze di DNA, simmetria bilaterale degli animali, disegni di Escher, eccetera - leggi cap 1 di [Liv3])
          2. evidenzia il ruolo dellla simmetria nel processo di percezione (leggi cap. 2 e 8 di [Liv3]), nella fisica (leggi cap. 7 di [Liv3]),
        • In che senso la teoria dei gruppi è il linguaggio matematico che descrive l'essenza delle simmetrie e ne esplora le proprietà? In particolare
          1. ricorda la definizione di gruppo data da Livio (leggi pag 67-73 di [Liv3])
          2. elenca gli esempi di gruppi, dati da Livio (leggi cap 6 di [Liv3])
        • In che senso Livio tenta di risolvere il mistero della morte di Galois?  C'è forse qualche mistero da risolvere? (leggi cap 5 di [Liv3])
        • Traccia una breve storia della risolubilità delle equazioni generali di grado ≤ 4, e dei tentativi per risolvere quelle di grado ≥ 5  (leggi cap 3 di [Liv3])
      3. Traccia un breve profilo storico di Ruffini, Abel e Galois e del loro interesse per la non-risolubilità dell'equazione generale di grado ≥ 5
        • confrontando criticamente quanto si trova
          1. in [Liv3]  (leggi fine cap 3 e cap 4), 
          2. nel sito di biografie dell'Università di St-Andrew ( leggi le biografie di Ruffini, Abel e Galois);
          3. in  [Graaf2008]  (leggi cap. 1)
          4. in  [Ayoub1980]  (leggi tutto)
          5. in [OpereRuffini]  (leggi le introduzioni dei tre volumi)
          6. in [Pierpont] (leggi pp. 200-201] e [Pierpont1896] (leggere tutto)
          7. in [Burkhardt1892](leggi tutto)
        • mettendo in risalto inconguenze e  lacune.
        • elencando, in ordine temporale (con anno di pubblicazione ben in vista), sia gli scritti in cui Ruffini  (leggi le introduzioni dei tre volumi di [OpereRuffini]),  sia gli scritti di Abel  che  Galois (vedi le biografie di St-Andrew) riguardanti le dimostrazione della non risolubilità delle eqauzione generale di grado ≥ 5.
      4. Partendo dalla dimostrazione di Ruffini (nella versione presentata da [Greco1989]) tracciare un percorso logico-matematico della non-risolubilità dell'equazione generale di grado ≥ 5
        • usando, come fulcro, il lemma di Abel
          1. per colmare una lacuna presente nella dimostrazione di Ruffini (leggi i §1 e 2 di [Greco1989])
          2. per tradurre la risolubilità dell''equazione generale di grado ≥ 5 in risolubilità di gruppi  (leggi i §3 di [Greco1989])
        • Inoltre, confrontare criticamente tale percorso con l'esposizione moderna della Teoria di Galois (leggi [Graaf2008])
      5. Allo scopo di capire i contributi alla nascita della teoria dei gruppi, dovuti a Ruffini, elencare
        • nozioni introdotte da Ruffini 
        • proprietà dei gruppi dimostrate da Ruffini
          (vedi la biografia di Ruffini di St-Andrew) + leggi [Ayoub1980] + leggi [Burkhardt1892] + leggi [Vacca1947])
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Mario Livio, responsabile scientifico del programma di ricerca condotto con il telescopio spaziale Hubble, da più anni svolge un'opera di divulgazione scientifica che riscuote successo.
      • Mario Livio, come astrofisco,  nella sua opera prima "La bellezza imperfetta del cosmo"  propone il "principio della bellezza"  a guida delle leggi che governano il cosmo.
      • Qual è il significato di "bellezza" nella scienza? Perchè La "bellezza" è ingrediente essenziale di tutte le teorie scientifiche? 
      • Con quali argomenti Livio sostiene che le leggi della fisica sono determinate da principi estetici?
    • Esposizione orale
      •   giorno/mese/anno 9:00  in aula ? (IRST)
    • Links 
      • alla relazione scritta e all'esposizione
  • Boole alla ricerca delle leggi del pensiero (resp. prof. Gabriele H. Greco)  
    • Seminario da 5 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Piera Scalet
    • Personaggi principali
      • Boole, De Morgan
    • Letture essenziali
      1. [Bool1] Desmond MacHale: George Boole: his life and work . Dublin, 1985 (--> usci 510.924 MAC)
      2. [Bool2] The Boole-De Morgan correspondence : 1842-1864. A cura di G.C. Smith. Oxford Scince Publications, 1982 (--> usci 511.3 BOO)
      3. [Bool3T] George Boole: L'analisi matematica della logica (1847) e Il calcolo matematico (1848), a cura di Massimo Mugnai.  Bollati Boringhieri, Torino 1993 (--> usoc 511.324 BOO)
      4. [Bool4T] George Boole: Indagine sulle leggi del pensiero su cui sono fondate le teorie matematiche della logica e della probabilità (a cura di Mario Trinchero), Einaudi, 1976 (--> usci 511.3 BOO (02); anche in biblio com)
    • Letture di contorno (comprese le edizioni originali di alcuni scritti di Boole)
      1. [Bool3] George Boole: The mathematical analysis of logic: being an essay towards a calculus of deductive reasoning /  ; with an introduction by John Slater. Bristol : Thoemmes, 1998 (--> usoc 121 BOO)
      2. [Bool4] George Boole: An investigation of the laws of thought, on wich are founded the mathematical theories of logic and probabilities, New York,  Dover. (--> usoc DEPO 21109)
      3. [Bool5] George Boole: selected manuscripts on logic and its philosophy. (a cura di Ivor Grattan-Guinness, Gérard Bornet) Birkhäuser, 1997(--> usoc 511.3 BOO ( 2))
      4. [Bool6] George Boole: Collected Logical Works. Vol.1 : Studies in logic and probability / by George Boole. La Salle, Ill : Open court, 1952  (--> usoc 511.3 BOO)
      5. [Bool7] George Boole: A treatise on the calculus of finite differences (1860). A cura di J. F. Moulton. 2. ed., last revised ed New York, N.Y. : Dover, 1960 (--> usoc 515.35 BOO)
      6. [Bool7] George Boole : filosofia, logica, matematica / a cura di Evandro Agazzi e Nicla Vassallo ; saggi di E. Agazzi ... [et al.]. Milano : Angeli, 1998 (--> usoc 510.924 GEO; -->biblio com 510.92 BOO 1)
      7. [Bool8] Metafisica, logica, matematica : Leibniz, Boole, Rosmini / Maria Luisa Facco. Venezia : Marsilio, 1997 (--> biblio com 160 FAC 1)
      8. [Bool9] La depsicologizzazione della logica : un confronto tra Boole e Frege / di Nicla Vassallo. Milano : Angeli, 1995 (--> biblio com 160 VAS 1)
      9. [Bool11] Boole's logic and probability : a critical exposition from the standpoint of contemporary algebra, logic and probability theory / Theodore Hailperin. 2. ed. rev. and enlarged Amsterdam [etc.] : North-Holland, 1986 (--> usci 511.3 HAI)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici, scienziati, filosofi che compaiono nei testi da leggere.
    • Obiettivo
      1. Tracciare un profilo biografico di Boole (leggi Bool1)  mettendo in luce
        • il tipo di formazione ricevuto, le letture matematiche,
        • l'ambiente matematico in cui agiva,
        • gli interessi matematici (logica, probabilità, equazioni alle differenze finite, equazioni differenziali) che hanno marcato la sua ricerca
      2. Descrivi i rapporti epistolari con De  Morgan (leggi [Bool2])
      3. Delinea il "pensiero logico" di Boole così appare nella sua opera [Bool3T] .  In  particolare, osserva e rispondi a quanto segue.
        • Presenta i principi primi (l'assioma A e le tre leggi: distributività, commutatività e idempotenza) alla base del calcolo delle classi e dell'analisi dei sillogismi (leggi pagg. 18-29, 36-52 di [Bool3T])
        • Presenta i principi primi alla base della teoria, dell'analisi e del calcolo delle proposizioni ipotetiche (leggi pagg. 53-64 di [Bool3T])
        • Boole identifica i processi mentali a equazioni nelle variabili elettive. Cosa sono i "simboli elettivi" e le funzioni elettive? Come le questioni logiche e di ragionamento sono ricondotte al problema delle soluzioni di equazioni? (leggi pagg. 65-89 di [Bool3T])
        • La logica, secondo Boole, è la scienza delle relazioni tra classi. Perchè non è riducibile al sillogismo? (leggi pag. 112 di [Bool3T])
        • La logica proposta da Boole è un'estensione della logica aristotelica ?
      4. Raccogli una bibliografia (commentata, ove accessibile)
        • gli scritti di Boole (con aggiunta delle ristampe e delle traduzioni) (vedi, per esempio, pagg. 277-282 di [Bool1], pagg. 138-141 di [Bool2], pagg. 222-223 di [Bool2], vedi)
        • le pubbicazioni su Boole, separandole in base all'argomento trattato.
        • la corrispondenza (vedi pagg. 136-7 di [Bool2], pagg. 191-202 di [Bool5],
      5. Descrivi a gradi linee il contenuto di [Bool4T], soffermadoti sulle parti che ti sembrano più interessanti
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Nell' 800 i contributi di Boole, Peirce, Peano, Frege danno vita alla "logica matematica". Con il 900 Russell e Hilbert fanno della logica matematica una scienza. Di questa nuova scienza i teoremi di Gödel raggiungono vette impensabili e mai superate.
      • Boole ritiene che anche le leggi del pensiero, come le leggi quantitative che regolano il tempo e lo spazio, sono leggi matematiche (vedi pag.113 di [Bool3T])
      • Secondo Boole, lo scopo finale della logica è quello di indicare le condizioni che rendono possibile il ragionamento e le leggi che ne determinano il carattere" (vedi pag.113 di [Bool3T])
      • Quali sono i contributi di Boole in ambito matematico e, soprattutto, logico ?
      • Come i contributi matematici di Boole si situano nelle sua epoca? 
      • Quali sono i raporti di Boole con i matematici della sua epoca ?
      • Quale tipo di formazione Boole possedeva?
    • Esposizione orale
      •  16 marzo 20010 15:30  in aula 211 (IRST)
    • Links 
  • Compattezza e connessione: esempi e controesempi (resp. prof. Gabriele H. Greco)  
    • Seminario da 4 crediti per 2 studenti, tenuto da
      •   Shweta Marabello e Margherita Zanella
    • Letture essenziali
      • [Topo] Steen L. A., Seebach JR J. A.: "Counterexamples in Topology", Springer, New York 1978 (leggere §3-5 e tutti gli esempi ivi richiamati o presenti nelle pagg. 188-192) (-->usci 514.322 STE)
    • Letture di contorno (su esempi e controesempi in altri settori)
      • [VectS] Khaleelulla S. M.: "Counterexamples in Topological Vector Spaces", Springer, Berlin 1982 (-->usci 515.73 KHA)
      • [Proba] Stoyanov J.: "Counterexamples in Probability", Wiley & Sons, New York 1987 (-->usoc 519.2 STOY)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici che hanno introdotto gli esempi e controesempi presentati.
    • Obiettivo 
      1. Dopo averne dato con chiarezza le definizioni,
        • stabilire le correlazioni logiche (distinguento le esistenti dalle impossibili) tra le seguenti nozioni di compattezza (vedi pp. 18--21 di [Topo])
          1. spazi compatti,
          2. spazi sequenzialmente compatti,
          3. spazi numerabilmente compatti,
          4. spazi debolmente numerabilmente compatti,
          5. spazi sigma-compatti,
          6. spazi pseudocompatti,
          7. spazi di Lindelöf,
          8. spazi localmente compatti,
          9. spazi fortemente localmente compatti
        • dare degli esempi (semplici, sofisticati e finito-dimensionali tra quelli della tabella II di pp. 188-189 di [Topo]) che permattano di discriminare le precedenti nozioni e dare i controesempi necessari per provare le correlazioni logiche impossibili.
        • indicare quali delle precedenti nozioni sono equivalenti in ambito metrico e quali non lo sono (dandone dei controesempi). (vedi pp. 35-36 di [Topo])
      2. Dopo averne dato con chiarezza le definizioni,
        • stabilire le correlazioni logiche  (distinguento le esistenti dalle impossibili) tra le seguenti nozioni di connessione (vedi pp. 28--33 di [Topo])
          1. spazi connessi, 
          2. spazi connessi per archi,
          3. spazi iperconnessi,
          4. spazi ultraconnessi,
          5. spazi localmente connessi,
          6. spazi localmente connessi per archi
          7. spazi totalmente sconnessi, zero-dimensionali, scattered
          8. spazi totalmente sconnessi per archi,
          9. spazi estremamente sconnessi
        • dare degli esempi (semplici, sofisticati o finito-dimensionali tra quelli della tabella IV e V di pp. 191-92 di [Topo]) che permattano di discriminare le precedenti nozioni e dare i controesempi necessari per provare le correlazioni logiche impossibili.
        • indicare quali delle precedenti nozioni sono equivalenti in ambito metrico e quali non lo sono (dandone dei controesempi)
      3. Dare le informazioni bibliografiche necessarie par una corretta attribuzione degli esempi e controesempi presentati.
    • Contesto storico (da cui prende le mosse il seminario)
      • Con la fine del  1800 e prima metà del 1900 i concetti topologici presero la forma moderna. In particolare, delle nuove nozioni (quali: compattezza, connessione e metrizzabilità) acquisirono un ruolo primario.
      • Le nozioni di compattezza e connessione diedero origine ad una grande varietà di spazi (per esempio, compatti per ricoprimenti, compatti per ricoprimenti numerabili, compatti per successioni, connessi per archi, iperconnessi, totalmente sconnessi, ecc.)
      • Alla richiesta di conoscere esempi "discriminanti"  questi tipi spazi, si accompagnano le domande: Come queste nozioni si correlano logicamente? Sugli spazi metrici permane questa varietà di nozioni?
    • Esposizione orale
      •   11 novembre 2010  ore 14:30  in aula A213 (Polo Scientifico e tecnologico)
    • Links 
      • alla relazione scritta e all'esposizione
  • La misura di Haar: esistenza, unicità, unimodularità e quinto problema di Hilbert (resp. prof. Gabriele H. Greco)  
    • Seminario da 6 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Mattia Gastaldello
    • Personaggi principali
      • Haar, von Neumann, Weil, Hilbert.
    • Letture essenziali
      1. [Banach1933] S. Banach: "Sur la mesure de Haar", appendice di S. Saks, Theorie de l'integrale, Monografje Matematyczne n.2, Warszawa 1933. " (leggi la versione inglese)
      2. [Nachbin1976] L. Nachbin: "The Haar Integral", New York (1976). (leggi  cap II, escludendo §7 e §9) (--> v-515.43 NAC)
      3. [vonN] J. von Neumann: "Invariant measures", AMS, Providence (leggi tutto)
      4. [HEW1979] E. Hewitt, K.A. Ross: "Abstract Harmonic Analysis" (vol I),  Springer, New York 19792 (leggi  §15)(--> v 515-785 HEW)
      5. [SIM1996] M. Simonnet: Measures and Probabilities",  Springer, New York 1996 (leggi  cap 23)(--> v 515-785 SIM)
    • Letture di contorno (essenziali per valutare il contesto storico)
      • A. Haar: Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppe, Annals of Mathematics, 34 (1933) pp. 147-169 (vedi rivista in biblioteca o su JSTOR)
      • J. von Neumann: "Die Einführung analytischer parameter in topologischen Gruppen," Annals of Mathematics, 34 (1933) pp. 170-190 (vedi Collected Works (vol. II) di von Neumann--> v 510 VON)
      • J. von Neumann: "Zum Haarshen Mass in topologischen Gruppen", Comp. Math. 1 (1934) pp. 106-114 (vedi Collected Works (vol. II) di von Neumann --> v 510 VON)
      • L. Pontrjagin: "Sur les groupes topologiques compacts et le cinquieme problème de M. Hilbert", CRAS 198 (1934), pp. 238-240 (--> vedi su Gallica)
      • John von Neumann: "The uniqueness of Haar's measure",  Math. Sbornik 1 (1936) pp. 721-734 (vedi Collected Works (vol. IV) di von Neumann --> v 510 VON)
      • A. Weil: "Sur les groupes topologiques et les groupes mesurés", CRAS, 202 (1936), pp. 1147-1149 (--> vedi vol  su Gallica)
      • >>(unimodularità) Bela de Sz. Nagy: "Sur la mesure invariante dans des groupes topologiques", CRAS, 202 (1936), pp. 1248-1250 (--> vedi su Gallica)
      • >>(unicità) S. Kakutani: "On the Uniqueness of Haar's measure", Proc. Imp. Acad. Japan, 14 (1938) pp. 27-31 (vedi Selected Papers (vol. I) di Kakutani--> v 510 KAK)
      • L. S. Pontriagin: "Topological Groups", Princeton (1939) (--> v-512.55 PON)
      • A. Weil: "L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications", Hermann, Paris 1940 (--> v-512.2 WEI)
      • Gleason, A. : "Groups without small subgroups", Annals of Mathematics, 56 (1952) pp. 193-212 (vedi rivista in biblioteca o su JSTOR)
      • D. Montgomery, L. Zippin: "Small subgroups of finite dimensional groups", Annals of Mathematics, 56 (1952) pp. 213-241 (vedi rivista in biblioteca su JSTOR)
      • D. Montgomery, L. Zippin: "Topological Transformation Groups", New York 1955 (--> v-512.55 MON)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • Inquadrare storicamente i matematici che compaiono nei testi da leggere o che sono citati in questa scheda.
    • Obiettivo 
      1. Le misure e gli integrali di Haar sono definiti su gruppi topologici. Dopo averne dato le definizioni, distinguendo i tre tipi di invarianza (a destra, a sinistra e per inversione),
        • si presentino degli esempi (presi dal corso di Analisi Matematica o costruiti ad hoc) in cui si controlli la presenza o l'assenza dei concetti definiti, e
        • si introducano i problemi di esistenza, unicità e biinvarianza (o unimodularità) in termini di misura e di integrale, dimostrando l'equivalenza dei due approocci
          • insiemistico via misura o
          • funzionale via integrale 
      2. Dopo aver premesso quanto della teoria della misura è logicamente necessario,
        • si dia una dimostrazione dell'esistenza e dell'unicità della misura di Haar su gruppi topologici localmente compatti,
        • dandone alcune conseguenze.
      3. Dopo aver premesso quanto della teoria dell'integrazione è logicamente necessario,
        • si dia una dimostrazione dell'esistenza e dell'unicità dell'integrale di Haar su gruppi topologici localmente compatti,
        • dandone alcune conseguenze.
      4. Rispondere con esempi o dimostrazioni alle seguenti domande
        • In che modo propietà topologiche (per esempio, compattezza, discretezza) si riflettono sulle misure di Haar?
        • Può esistere una misura di Haar su un gruppo topologico che non è localmente compatto?
        • Le misure di Haar invarianti a destra sono pure invarianti a sinistra?
      5. Raccogliere informazioni storiche e non sui 23 problemi di Hilbert (in particolare, il quinto), sui gruppi topologici, su Alfred Haar e i matematici ungheresi, sulla le misure di Haar e la loro importanza.
    • Contesto storico (da cui prende le mosse il seminario)
      • Ad inizio 1900 la teoria dei gruppi topologici è giovane: nasce nel 1874 con i "gruppi continui" di Lie e raggiunge la sua maturità con Pontrjagin (1939) e Weil (1940)
      • Nel congresso di matematica del 1900 Hilbert aveva presentato  23 problemi che hanno dato tanta fama a coloro che hanno contribuito a risolverli. Il quinto  di questi problemi chiede di dimostrare che i gruppi topologici localmente euclidei sono "gruppi continui" di Lie.
      • Precisato con O. Schreier (1925) e F. Leja (1927) il significato generale di "gruppo topologico", ben presto diventa chiaro a A. Haar (n. 11 ottobre 1885, m. 16 marzo 1933) che precedenti ricerche di Hurwitz (1897), I. Schur, H. Weyl (1925) e Peter-Weyl (1927)  possono essere estese a "gruppi topologici" astratti, purchè dotati di misura invariante".
      • Nel 1933 appaiono sulla prestigiosa rivista "Annals of Mathematics (vol. 34)" due articoli (ricevuti dalla rivista nello stesso giorno, il 26 luglio 1932). Nel primo dei due Haar (1933) dimostra l'esistenza di misure invarianti su gruppi topologici localmente compatti (a base numerabile); nel secondo von Neumann (1933) risolve il quinto problema di Hilbert (nel caso di gruppi topologici compatti; il caso generale sarà risolto da  Gleason (1952) e Montgomery-Zippin (1952 e 1955)) .
      • Il problema non banale dell'unicità (a meno di una costante moltiplicativa) delle misure invarianti di Haar, sollevato da von Neumann, è risolto dallo stesso von Neumann nel 1934 (caso campatto) e nel 1936 (caso localmente compatto a base numerabile).
      • Von Neumann sollevò pure il problena dell' unimodularità: "Una misura di Haar invariante a sinistra è pure invariante a destra?". Von Neumann dimostrò nel 1934 che, nel caso compatto, ogni misura di Haar invariante a sinistra è pure invariante a destra; ciò non vale in generale.
      • Nel 1940 Weil, oltre a tracciare la breve storia dei gruppi topologici, estende il teorema di esistenza e di unicità delle misure invarianti su gruppi topologici localemnte compatti (non necessariamente a base numerabile)
      • Altre dimostrazioni dell'esistenza e unicità sono dovute a S. Banach (1933), Sz. Nagy (CRAS1936), S. Kakutani (1938 e 1948), Kakutani-Kodaira (1941), H. Cartan (CRAS1940), D. A. Raikov (1942) e Montgomery-Zippin (1955).
      • La locale compattezza di un gruppo topologico non è solo sufficiente ma anche necessaria per l'esistenza della misura di Haar (vedi Appendice 1 di Weil1940). A.H. Stone dimostrò, nel caso che non si abbia locale compattezza, esiste una misura invariante a valori nei reali non standard.
      • Con Weil (1940), la misura di Haar diventa lo strumento indispensabile dell'analisi armonica (vedi, per esempio, Hewitt-Ross)
    • Esposizione orale
      •   16/12/2010, ore 14:30  in aula A209 (edificio nuovo)
    • Links 
  • Funzioni implicite: 1877, Ulisse Dini  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 5 crediti per 2 studenti tenuto da
      • Giada Sciarretta e Chiara Pellegrini
    • Personaggi principali
      • Dini, Genocchi, Peano, Stolz, Levi-Civita
    • Letture
      1. U. Dini:
        • "Analisi infinitesimale, Lezioni, parte 1a: calcolo differenziale, Pisa, a.a. 1877-78" (riprodotte a stampa nel 1907); vedi  frontespizio, indice e cap. XIII(pp. 153-207)
        • "Lezioni di analisi infinitesimale", Pisa (1907), Vol. I (leggere introduzione e Cap. XIII, pp. 197-241)
      2. A. Genocchi, G. Peano: "Calcolo differenziale", Torino, 1884 (leggere introduzione e Cap IV, pp. 149-164)
      3. G. Peano: "Lezioni di analisi infinitesimale", Torino, 1893 Vol II (leggere introduzione e Cap VIII, pp. 157-167)
      4. O. Stolz: "Grundzüge der Differential- und Integralrechnung", Leipzig 1893, vol 1 (leggere introduzione e pp. 162-176)
      5. T. Levi-Civita: Sul teorema di esistenza delle funzioni implicite. Atti Istituto Veneto, 69 (1910), pp. 291-302 (leggere pag. 145-155 delle Opere vol. 3)
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici e scienziati che si incontrano nei testi da leggere
      • consultare i periodici matematici (tramite banche dati di letteratura matematica, per esesempio: MathSciNet, JSTOR, JFM, CiteSeer), per rilevare gli articoli matematici in cui si parla dell'esistenza e/o della regolarità funzioni implicite.
      • A partire dall'articolo di Levi-Civita (1910) classificare gli articoli matematici sul teorema delle funzioni implicite, trovati mediante le banche dati, in base al tipo di regolarità delle funzioni implicite (per es, funzioni continue, differenziabili, di classe C1, analitiche, ...) e in base al metodo dimostrativo.
    • Obiettivo minimo:
      • Presentare l'enunciato e, schematicamente, la dimostrazione del teorema delle funzioni implicite, così come è stato dato da U. Dini (1907), rilevandone eventuali imprecisioni.
      • Specificare le parti delle Lezioni di analisi infinitesimale (edizione 1907) in cui U. Dini ha usato il suo teorema, distinguendo quelle in cui si usa l'esistenza delle funzioni implicite da quelle in cui ci si serve della sola formula di derivazione delle funzioni implicite.
      • Rilevare eventuali differenze (di qualsiasi tipo) tra il teorema sulle funzioni implicite delle Lezioni di analisi infinitesimale (edizione 1907) con quello dell'a.a. 1877-78.
      • Confrontare (rilevandone carenze logiche e  eventuali differenze negli enunciati e nei metodi dimostrativi) il teorema delle funzioni implicite dato da Dini con quelli dati da Genocchi-Peano (1884), Peano (1893), Stolz (1893).
      • Estrarre dalla lettura delle parti introduttive delle monografie 1-5: (a)- le motivazioni che hanno spinto gli autori a scriverle,  (b)- la presenza o assenza di rimandi bibliografici ad altre monografie e (b)- l'eventuale intreccio di riferimenti bibliografici.
      • Tracciare un breve profilo biografico dei matematici e scienziati incontrati nei testi da leggere.
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Con l'avvento del calcolo differenziale il problema della determinazione delle rette tangenti ad una curva "meccanica" veniva risolto differenziando l'equazione algebrica f(x,y)=0 che definisce, implicitamente, la curva; cosicché dall'equazione f(x,y)=0 si otteneva l'inclinazione y'=-fx/fy della retta tangente (regola di Sluse)
      • Il termine di funzione implicita era introdotto da Eulero nelle prime pagine del suo celebre Introductio Analysin Infinitorum (1748). Eulero, successivamente, ne dava le formule di derivazione in Institutiones calculi differentialis (1775) p. 241; vedi opere.
      • Come Eulero,  i matematici del '700 e '800 davano le regole di derivazione e di approssimazione delle funzioni implicite, assumendo la loro esistenza e regolarità.
      • Nel 1877 Ulisse Dini  diede le cosiddette "ipotesi del Dini" che assicuravano sia l'esistenza che la regolarità C1 delle funzioni implicite.
      • L'importanza del teorema sull'esistenza e regolarità delle funzioni implicite fu riconosciuta da tutti i matematici dell'epoca di Dini. 
      • Dalla fine del 1800 in tutti i testi didattici riguardanti l'analisi matematica, viene riservato un capitolo alle funzioni implicite.  I primi esempi:  Genocchi-Peano (1884), Peano (1893), Stolz (1893),  Jordan (1893) (vedi anche "Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, 1909" Tome II,1 (pag. 290-291) per questi e altri riferimenti bibliografici).
      • Non mancano articoli matematici che propongono semplificazioni e dimostrazioni alternative del teorema delle funzioni implicite. I primi esempi: Lindelöf (1899),  Goursat (1903)  e Levi-Civita (1910); questi ultimi due (Goursat e Levi-Civita) provano l'esistenza delle funzioni implicite con il metodo delle approssimazioni successive.
      • In tutto il '900 il teorema delle funzioni implicite subisce generalizzazioni, variandone le ipotesi che ne assicurano l'esistenza o riducendone la loro regolarità.
    • Esposizione orale
      •   1 Dicembre 2009, ore 13:00 in aula seminari di matematica
    • Links 
  • Su una formula di Peano-Mamikon per il calcolo delle aree  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 3 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Diego Tommasi
    • Personaggi principali
      • Archimede, Peano,....
    • Letture
      • [Archimede] Archimede: "Opere" (a cura di  A. Frajese, UTET, Torino)
        • "Misura del cerchio", pp. 213-231 (leggere)
        • "Quadratura della parabola", pp. 471-515 (leggere)
      • Mamikon A. Mnatsakanian:
      • Tom M. Apostol:
    • Letture di contorno
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • inquadrare storicamente i matematici e scienziati che si incontrano nei testi da leggere.
      • cercare e classificare gli articoli trovati in rete, a proposito della formula dell'area di Mamikon, a volte riferita come "Mamikon's sweeping-tangent Theorem", o semplicemente, "Mamikon's theorem".
    • Obiettivo minimo:
      • Enunciare e dimostrare il teorema di Peano-Mamikon come lo si trova in [AM2002a] (vedi anche [AM2008b]). Nel dare la dimostrazione precisare all'occorrenza i termini e i passaggi logici, usati dagli autori dell'articolo, mediante i dovuti rimandi a definizioni e teoremi del calcolo integrale per più variabili, visti nel corso di Analisi Matematica
      • Illustrare il teorema di Peano-Mamikon con gli esempi presenti nelle pagine web (vedi [Mweb1] e [A2000a_web])  negli scritti di Apostol e Mamikon, cercando di evidenziarne il ruolo fortemente intuitivo svolto nel calcolo delle aree. Classificare gli esempi, mettendo in risalto i concetti ausiliari su cui poggiano; per esempio, raggrupparli in
        • esempi di calcolo di aree di figure classiche: 
          • corona circolare e, più in generale, anelli ovali generati da curve chiuse-convesse --> vedi [M1997][AM2008b], ...
          • segmenti parabolici (= insiemi delimitati da potenze ad esponente costante positivo e da segmenti) --> vedi [A2002b], [AM2008b], ...
          • segmenti iperbolici (= insiemi delimitati da potenze ad esponente costante negativo e da segmenti) --> vedi [A2002b], ...
        • esempi di calcolo di aree collegate a curve classiche: 
          • curve cicloidali (= cicloide, epi-cicloide, ipo-cicloide), --> vedi  [AM2009], [AM2008b], ...
          • trattrice --> vedi [AM2008b]
          • esponenziale (= funzioni potenza, più in generale) -->  vedi  [AM1998b], [A2002a], ...
        • esempi di calcolo di aree di figure curiose:
          • curve d'inseguimento (pursuit curve)--> vedi [AM2008b], ...
          • biciclide (bicyclix) -->  vedi [AM2008b], ...
        • esempi di calcolo di aree evolute-involute (es. involuta di una circonferenza, evoluta di una trattrice, catenaria)  -->  vedi [AM2008b], ...
      • Delle curve menzionate si dia qualche informazione storica, raccolta da Famous Index Courves, mathcurve.com  o da altre fonti scritte o di rete. Per esempio, ricordare che
        • l'area dei cerchi e dei segmenti parabolici era calcolata da Archimede (leggere  "Misura del cerchio" e "Quadratura della parabola" in  [Archimede])
        • la cicloide ha una storia ricca;  è studiata da Galileo, Torricelli, Fermat, Cartesio, Huygens, Bernoulli e Newton. È la soluzione dei problemi della tautocrona di Huygens e della della brachistocrona di Bernoulli.
        • la trattrice, introdotta da Perrault, fu studiata da Leibniz e Huygens; servì a Beltrami per cosrtuire un modello euclideo di geometria non-euclieda: la pseudosfera.
        • ecc., ecc.
      • Tracciare un breve profilo biografico dei matematici e scienziati incontrati nei testi da leggere.
      • Elencare gli articoli, trovati in rete, che parlano della formula dell'area di Mamikon
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Nel 1882 Schwarz e Peano scoprono, indipendentemente l'uno dall'altro, che l'area di una superficie non può essere concepita, nemmeno nel caso di una superficie cilindrica, come limite delle superfici poliedrali inscritte. Già nel 1887 Peano dà  una nuova definizione di area e prova la "formula dell'area" di Lagrange, cosicché  la  nuova definizione di area, data da Peano, estende l'usuale area del cilindro e di tutte le altre figure elementari.  È significativo che Peano premetta alla formula dell'area una
             (*)     "formula dell'area di insiemi piani descritti dal movimento di un segmento AB di lunghezza variabile
        che non passa mai due volte per uno stesso punto.
        L'originalità di Peano è riscontrabile sia nella dimostrazione di (*) che nelle conseguenze che ne trae; la dimostrazione tramite l'algebra esterna affine (fondata da Grassmann e rivisitata dallo stesso Peano) poggia sul calcolo dell'elemento infinitesimale d'area mentre tra le conseguenze Peano specializza  la formula (*) nei casi in cui il segmento AB soddisfa una delle  seguenti condizioni
             (1ª)   l'estremità A percorre un tratto rettilineo con cui il segmento AB mantiene lo stesso angolo;
             (2ª)   l
        'estremità A del segmento non varia di posizione;
             (3ª)
           il segmento AB si muove in guisa da riuscire tangente in A alla curva descritta dal punto di A;
             (4ª)   il segmento AB ha lunghezza costante e si mantiene normale alla curva descritto dal punto medio di AB.

        In particolare, Peano scrive (vedi immagine sotto):
                        Se il segmento AB si muove in guisa da riuscire sempre tangente in A alla curva descritta dal punto A,
                      
        [...] d'altra parte se da un punto fisso O si conduce un vettore variabile OP ≈ AB,
                     
        [...] l'area descritta dal segmento AB è eguale all'area descritta dal segmento equipollente OP.
        In [Gre_Maz_Pag] si osserva che, sorprendentemente (vedi immagine sotto), questa formula, data da Peano nel 1887, viene riscoperta nel 1981 da Mamikon; ci riferiremo ad essa come "teorema di Peano-Mamikon".
             

        peano_formula

        mamikon
        teorema di Peano (1887)
        teorema di Mamikon (1981)
            
      • Nel suo articolo  del 1981 Mamikon traccia i primi e più significativi esempi di calcolo di aree; esempi che saranno ampiamente esaltati ed parcellizzati in una lunga serie di lavori congiunti di Apostol e Mamikon. Le curve coinvolte in questi esempi sono numerose: l'ellisse, la parabola, l'iperbole, la trattrice,  la trattrice generalizzata (detta bicyclix), l'esponenziale, la cicloide, le curve di inseguimento, le spirali (archimedea e logaritmica), l'epicicloide, l'ipocicloide, la catenaria, le curve pedali, involute ed evolute (vedi [M1981]).
    • Esposizione orale
      •  17 maggio  2012, ore 16:30 in aula  222 (edificio Fabio Ferrari)
    • Links 
  • Metafore nella vita quotidiana e in Matematica  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 3 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Luca Franceschini
    • Personaggi principali
      • G. Lakoff, M. Johnson, R. E. Núñez
    • Letture
      1. [Lakoff-JohsonG. Lakoff, M. Johnson: "Metafora e vita quotidiana", Chicago, 1980 (Bompiani, 1998)
      2. [Cacciari]  C. Cacciari: "Teorie della metafora", Raffaello Cortina Editore, 1991
      3. [Lakoff-Núñez]  G. Lakoff, R. E. Nuñez : "Da dove viene la matematica : come la mente embodied dà origine alla matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 2005
      4. [Guidorizzi] G. Guidorizzi: "Testi antichi sulla metafora", Edizioni Unicopli, Milano 1984
    • Letture secondarie
      1. [Eco] U. Eco: "Metafora", Enciclopedia Einaudi, vol. IX (1980), pp. 191-236.
      2. [Briosi] S. Briosi: "Il senso della metafora", Liguori, 1985 ----> (biblio-lettere --  w-401 BRI)
      3. [Travaglini] G. Travaglini: "Vedere il simile. La metafora, l'anima e le cose in Aristotele", Edizioni ETS, Pisa 2009
      4. [Cianci] > G. Cianci: "Metafore. Rappresentazione e interpretazioni di paesaggi", Alinea Editrice, 2008
      5. [Vasta] S. Vasta, E. Viola: "Oltre la metafora. Evoluzione organica ed evoluzione culturale", Bonanno, 2005
      6. [Bottani] L. Bottani: "Metafora e linguaggio" Edizioni Mercurio, 2011
      7. [Ghiazza] S. Ghiazza: "La metafora tra scienza e letteratura", Firenze : Le Monnier università, 2005. ----> (biblio-com -- x-808 GHI 1)
      8. [Farioli] A. Farioli: "Api, leoni, gechi e leprotti. Metafore, dialoghi e attività per educare ed educarsi", Paoline Editoriale libri, 2007
      9. [Casadio] C. Casadio: Itinerario sulla metafora. Aspetti linguistici, Semantici, e cognitivi. Bulzoni Editore, Roma, 1994 ----> (biblio-lett. --   w-401 ITI )
      10. [Casadio] C. Casadio: "Vie della metafora : linguistica, filosofia, psicologia"
      11. [Blumenberg] H. Blumenberg: Paradigmi per una metaforologia. Il Mulino, Bologna, 1960 ----> (biblio-lett. -- Lim 401 Blu)  - altra edizione--> Milano : Cortina, 2009. x-401 BLU 1
      12. [Boyd_Kuhn] R. Boyd, T. S. Kuhn: La metafora nella scienza. Feltrinelli,Milano 1983 (biblio-soc. u-DEPO 19738)
         
    • Ricerche bio/bibliografiche
      • dei documenti (libri o articoli) incontrati nelle letture suggerite, elencare quelli dedicati allo studio delle metafore, suddividendoli in base al tipo di interesse (psicologico, linguistico, psicolinguistico, antropologico, cognitivo, filosofico, letterario, matematico, ecc.)
    • Obiettivo minimo:
      1. Cosa è la metafora?
        • Riportare l'opinione di qualche grande pensatore del periodo greco e romano; per esempio di Aristotele (leggere [Guidorizzi] pp. 67-81), Cicerone [leggere [Guidorizzi] pp. 87-90) e di almeno un altro (scelto tra quelli tradotti in [Guidorizzi])
        • Come la pensano gli psicologi? (leggere [Cacciari], pp. 165-212]
        • Come la pensano i linguisti? (leggere [Cacciari], pp. 269-301]
        • Come la pensano gli antropologi? (leggere [Cacciari], pp. 305-327 oppure 329-363]
      2. Evidenziare mediante una ricca sequenza di esempi l'uso invasivo/pervasivo delle metafore nella strutturazione del pensiero nella vita quotidiana. Più precisamente, dalla lettura  di [Lakoff-Johson] (pp. 21-90) 
        • dare esempi dell'uso delle metafore nel liguaggio comune per strutturare pensiero e comprensione
        • soffermarsi sulle basi empiriche e non delle metafore
        • differenziare metafore da metafore (per es. matafore basate su concetti fisici, metafore ontologiche, metafore strutturali,  ...)
        • chiarire come i concetti metaforici sono strutturati metaforicamente.
      3. Spiegare perché i cognitivisti si interessano di Matematica (leggere l'introduzione di [Lakoff-Núñez] pp. 23-35)
      4. In seguito alla lettura della quinta parte di [Lakoff-Núñez] pp. 411-469),  
        • spiegare cos'è la matematica per un cognitivista,
        • descrivere come le idee matematiche sono analizzate dal punto di vista cognitivista.
      5. Dalla lettura della sesta parte di [Lakoff-Núñez] (pp. 463-542)
        • passare in rassegna dal punto di vista cognitivista e commentare dal punto di vista della pratica matematica, gli esempi di matematica classica che ivi si trovano.
      6. Come le metafore veicolano il pensiero astratto/scientifico/matematico? In particolare dalla lettura della seconda parte di [Lakoff-Núñez] (pp. 147-196)
        • presentare dal punto di vista cognitivo l'algebra, la logica e gli insiemi, dando rilievo alle metafore fondanti.
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Chi non è matematico per passione, studio e formazione è inevitabilemte attratto dalla Matematica, soprattuto per la sua "irragionevole efficacia" e la sua indiscutibile "universalità" . La vaghezza delle metafore contrasta con la precisione della formulazione del pensiero matematico; quindi il linguaggio metaforico che non ha la precisione del linguaggio scientifico, può svolgere soltanto un ruolo ancillare, pedagogico.  Ciò nonostante i cultori e studiosi di scienze cognitive (i cosiddetti "cognitivisti") ritengono che il cammino che dalle esperienze sensoriali conduce all'astrazione matematica sia una fitta e lunga catena di metafore, per ognuna delle quali il dominio sorgente è il dominio obiettivo della metafora che la precede.
      • Indubbiamente l'attività metaforica accompagna sia il pensiero scientifico che la vita quotidiana. È decisamente esagerato il ritenere che la metafora strutturi il pensiero? Ed è pure esagerato affermare con Max Black che i modelli stanno alla scienza come le matafore stanno al linguaggio?
      • Allora ci potremmo chiedere:
        • Anzitutto, cos'è una metafora? Come la pensavono Aristotele e gli altri pensatori in epoca antica?
        • Secondo Aristotele, "la capacità di creare metafore è segno di talento naturale" e  "il creare belle metafore equivale al percepire con la mente le analogie" . La metafora serve ad  esprimere somiglianze e analogie; quali altri ruoli svolgono? 
        • In quali ambiti vengono usate? 
        • Si possono classificare?
        • Vi sono metafore particolari per ogni scienza? Cosa sono le metafore costituitve di teorie nelle scienze?
        • In virtù di quale meccanismo le metafore permetterebbero di comprendere come il pensiero astratto e, in particolare, il pensiero matematico sia reso possibile?
        • Supposto che le matafore siano così importanti nella formazione del pensiero astratto e nell'acquisizione di nuove conoscenze, son forse pure importanti le altre figure retoriche?
      • Lakoff, uno dei più noti cognitivisti, è colui che nel 1980 ha rivoluzionato il modo di pensare alle metafore, elevandole da puri espedienti/orpelli stilistici a meccanismi omni-presenti nei processi cognitivi.
      • Lakoff e Johson sostengono
        • Il nostro sistema concettuale in base al quale pensiamo e agiamo, è essenzialemente di natura metaforica (pag. 210)
      • A detta di Lakoff e Núñez:
        • (pag. 56) Il risultato più importante della scienza cognitiva, e inizialmente il più sorprendente, è che la maggior parte dei nostri pensieri è inconscia.
        • (pag. 72) Uno dei principali risultati della scienza cognitiva è che i concetti astratti sono compresi in termini di concetti piü concreti, attraverso le metafore
        • (pag. 80) La metafora concettuale è il meccanismo cognitivo principale...
        • (pag. 81) Comprendere la matematica richiede comprendere la padronanza di reti estese di miscele metaforiche
      • Nello apprendimento quotidiano delle cose matematiche e, in particolare, nel definire concetti matematici e nel dimostrare fatti matematici intervengono consciamente o inconsciamente le metafore?
      • Le metafore sarebbero di qualche utilità nell'insegnamento della matematica sia a livello elementare (ovvero sia a scuola)  che avanzato (ovvero all'università)?
      • Quando un cognitivista parla di matematica o sulla matematica, lo fa con cognizione di causa? Oppure si soffferma o si rifa solo a quei concetti o fatti matematici letterariamente noti? .
    • Esposizione orale
      •   17 maggio  2012, ore 16:30 in aula  222 (edificio Fabio Ferrari)
    • Links 
  • Von Neumann: dalle rappresentazioni lineari dei gruppi compatti al quinto problema di Hilbert  (resp. prof. Gabriele H. Greco)
  •  
    • Seminario da 3 crediti per 1 studente, tenuto da
      • Luca Tamanini
    • Personaggi principali
      • Hilbert, Lie, Friedrich Schur, von Neumann, Haar, Weyl, Pontryagin, Gleason, Montgomery, Zippin
    • Letture essenziali
      1. [Hilbert1900] D. Hilbert: Mathematical Problems,  Bull. Amer. Math. Soc. 8 (1902), 437-479.
      2. [Grattan-Guinness2000] I. Grattan-Guinness: "A sideways look at Hilbert's twenty-three problems of 1900",  Notices of the AAmer/ Math. Society
      3. [Browder1976] F. E. Browder: Mathematical Developments arising from Hilbert Problems, American Mathematical Society, Providence, 1976
      4. [panoramiche_su_HilbertProblems] Hilbert's Mathematical Problems , Jeremy Gray's article,
      5. [Bredon1972]* G. E. Bredon: "Introduction to compact transformation groups", Academic Press, New York, 1972
      6. [Pontryagin1939]: L. S. Pontryagin: "Topological groups", New York 1966
      7. [Price1977] J. F. Price: Lie Groups and Compact groups, London, 1977
      8. [Hofmann_Morris2006]* K. H. Hofmann, S. A. Morris: The structure of compact groups, Berlin, 2006
      9. [Kelley-Srinivasan] J.L. Kelley, T.P.Srinivasan: " Measure and Integral" vol. 1, Springer-Verlag, New York 1988.
      10. [Montegomery1945] D. Montgomery: "What is a topological group?", American Mathematical Monthly, 52 (1945), 302-307. (vedi in JSTOR)
    • Letture storiche
      1. [vonNeumann1929] J. von Neumann: Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen. Math. Zeit. vol. 30 (1929) pp. 3-42. (vedi Collected Works (vol. I) di von Neumann--> v 510 VON)
      2. [vonNeumann1933] J. von Neumann: "Die Einführung analytischer parameter in topologischen Gruppen," Annals of Mathematics, 34 (1933) pp. 170-190 (vedi Collected Works (vol. II) di von Neumann--> v 510 VON)
      3. [vonNeumann1934] J. von Neumann: "Zum Haarshen Mass in topologischen Gruppen", Comp. Math. 1 (1934) pp. 106-114 (vedi Collected Works (vol. II) di von Neumann --> v 510 VON)
      4. [Gleason1952] Gleason, A. : "Groups without small subgroups", Annals of Mathematics, 56 (1952) pp. 193-212 (vedi rivista in biblioteca o su JSTOR)
      5. [Montgomery-Zippin1952] D. Montgomery, L. Zippin: "Small subgroups of finite dimensional groups", Annals of Mathematics, 56 (1952) pp. 213-241 (vedi rivista in biblioteca su JSTOR)
    • Ricerche bio/bibliografiche
    • Obiettivo minimo:
      • Inquadrare storicamente i Problemi di Hilbert (leggere [Hilbert1900] e [Grattan-Guinness2000]).
      • Soffermarsi brevemente sulla importanza dei 23 problemi di Hilbert per lo sviluppo della stessa matematica, presentarne succintamente il quinto ed altri due a propria scelta (leggere   [Browder1976], [panoramiche_su_HilbertProblems])
      • Dare la definizione di gruppo topologico, qualche esempio e qualche fatto importante. (leggere [Montegomery1945])
      • Dimostrare l'esistenza e unicità di misure di Haar o di integrali di Haar su gruppi compatti. In dettaglio
        • dopo aver introdotto le nozioni topologiche necessarie (leggere section 28 di [Pontryagin1939], pp. 185-191) e aver definito gli integtali di Haar sulle funzioni continue, dimostrare il
        • Teorema. Su ogni gruppo compatto esiste un unico integrale di Haar invariante sia a destra che a sinistra (leggere section 29 di [Pontryagin1939], pp. 192-201; oppure leggere   [Kelley-Srinivasan1988], per quanto servono, i supplementi delle pagine 13, 15, 51, 52, 117 )
      • Servendosi della misura di Haar, costruire "appropriate" rappresentazioni lineari di un gruppo compatto, cioè dimostrare il
        • Teorema: Siano G un gruppo compatto e U un intorno dell'unità di G. Allora esiste un omomorfismo continuo dal gruppo G ad un gruppo lineare generale GL(R,n) con ker contenuto in U. (leggere    [Bredon1972] pp. 1-21, finalizzando la lettura alla dimostrazione del teorema 4.3 con H={e}; oppure leggere  [Price1977] finalizzandolo alla dimostrazione del lemma 6.1.2 di pag. 116)
      • Appogiandosi sul seguente celebre teorema di von Neumann
        • Teorema ([vonNeumann1929] ): ogni sottogruppo chiuso di un gruppo lineare generale è un gruppo di Lie,
          dimostrare il
        • Teorema: un gruppo compatto verifica la no small subgroups property  se e solo se è isomorfo ad un sottogruppo chiuso di un gruppo lineare generale.  (leggere [Bredon1972] p. 21, estraendo dalla dimostrazione del corollario 4.5 quanto serve; oppure leggere  [Hofmann-Morris2006] , estraendo quanto serve dalla dimostrazione del lemma 2.38 di pag. 48)
      • Dimostrare una versione "ridotta" del risultato di von Neumann a proposito del quinto problema di Hilbert:
        • Teorema: ogni gruppo compatto con la no small subgroups property è un gruppo di Lie.
      • Tracciare un breve profilo biografico dei matematici e scienziati incontrati nei testi da leggere.
      • (facolativo) In maniera concisa e senza dimostrazioni esporre "le definizioni e i teoremi, corredati da eventuali riferimenti bibliografici", usati da von Neumann nel dimostrare il 5º problema di Hilbert (leggere   [vonNeumann1933])
      • (facotativo) estrarre dalla lettura di [vonNeumann1929] quanto concerne la rappresentazione lineare di gruppi localmente compatti. (leggere   [vonNeumann1929])
    • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
      • Nel congresso di matematica del 1900 Hilbert propose  23 problemi che diedero onore e fama a coloro che contribuirono a risolverli. In particolare, il quinto di questi problemi riguardava i "gruppi continui di trasformazioni" ovvero i  "gruppi di Lie". Nel linguaggio odierno i "gruppi di Lie" sono gruppi topologici che nello stesso tempo sono varietà analitiche. Già nel 1893 F. Schur aveva dimostrato che è sufficiente pretendere che il gruppo topologico sia una varietà di classe C2  per essere una varietà analitica. Sollecitato dall'articolo di F. Schur, Hilbert si chiese con il quinto problema se fosse possibile ridurre ulteriormente la pretesa regolarità C2. Al giorno d'oggi, il quinto problema di Hilbert è così formulato:
        Un gruppo topologico localmente euclideo è un gruppo di Lie, ovvero una varietà analitica?
      • Con i lavori di Gleason e Montgomery-Zippin pubblicati in sequenza nella prestigiosa rivista "Annals of Mathematics (vol. 56, 1952)" il 5º problema di Hilbert fu risolto in positivo. Gleason dimostrò il quinto problema di Hilbert nel caso che il gruppo topologico non contenga sottogruppi piccoli (no small subgroups property); mentre Montgomery e Zippin dimostrarono che nessun gruppo topologico localmente euclideo contiene gruppi piccoli.
      • Già nel 1933 von Neumann aveva risolto il quinto problema di Hilbert nel caso che il gruppo topologico localmente euclideo fosse compatto. La dimostrazione che ne diede von Neumann non è nemmeno lontanamente apparentata con quella che successivamente fu data da Gleason (1952) e Montgomery-Zippin. Aspetti, oltre che salienti, cruciali della dimostrazione di von Neumann sono:
        • l'uso della misura di Haar per costruire rappresentazioni lineari del gruppo compatto e
        • un predente suo risultato del 1929 che asserisce che "ogni sottogruppo chiuso di un gruppo lineare generale è un gruppo di Lie"
      • Le misure di Haar erano state introdotte (dimostrandone l'esistenza) da Haar in un articolo apparso, come quello di von Neumann, nello stesso volume della prestigiosa rivista "Annals of Mathematics (vol. 34, 1933)" .
      • Nella costruzione delle rappresentazioni lineari, von Neumann seguì l'esempio di Peter-Weyl (1927). 
      • L'interesse di von Neumann per le misure di Haar  non termina nel 1933. Nell'anno che segui in [vonNeumann1934], von Neumann dimostrò che ogni gruppo tolologico compatto ammette un'unica misura di Haar, normalizzata e invariante sia a destra che a sinistra.
    • Esposizione orale
      •   17 maggio  2012, ore 16:30 in aula  222 (edificio Fabio Ferrari)
    • Links 


  • Teorema fondamentale dell'algebra (resp. prof. Gabriele H. Greco)  

  • Seminario da 2 crediti per 1 studente, tenuto da
    • Jessica Paoli
  • Personaggi principali
    • Gauss, Argand, ...
  • Letture
    1. [Zassenhaus1967] H. Zassenhaus: On the Fundamental Theorem of Algebra, The American Mathematical Monthly, 74 (1967), 485-497 (vedi in JSTOR)
    2. [Bocher] M. Bocher: Simplification of Gauss's Third Proof that Every Algebraic Equation has a Root, Amer. J.Math. 17 (1895), 266-268 (vedi in JSTOR)
    3. [Hirsh-Smale] Morris W. Hirsch, Stephen Smale: On algorithms for solving f(x)=0, Communications on Pure and Applied Mathematics 32 (1979), 281-312.
    4. [numbers] H.-D. Ebbinghaus et al.: Numbers, 1991
    5. [Fine-Rosenberger] B. Fine, G. Rosenberger: The fundamental theorem of algebra, Springer, 1997
    6. R.L. Goodstein: A costructive form of the second Gauss proof of the fundamental theorem of Algebra, in [Dejon-Henrici] pp. 69-76
    7. [Dejon-Henrici] B. Dejon, P. Henrici: Constructive Aspects of the Fundamentals Theorem of Algebra. Wiley, 1961
  • Ricerche bio/bibliografiche
    • inquadrare storicamente i matematici, scienziati e filosofi citati nel testo da leggere
  • Obiettivo minimo:
    • Dopo una breve storia sul teorema fondamentale dell'algebra (leggere [Zassenhaus1967]) presentare
      1. una delle dimostrazioni date da Gauss (leggere [Bocher] o [numbers] o [Fine-Rosenberger])
      2. la dimostrazione data da Argand (leggere [numbers] pp.111-113 )
      3. una delle sei dimostrazioni date in [Fine-Rosenberger]
      4. l'algoritmo di Hirsh-Smale per determinare le radici di un polinomio
        oppure darne una dimostrazione costruttiva (leggere il §6 di
        [Hirsh-Smale] o leggere [Dejon-Henrici] pp. 69-76)
  • Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
    • Come il teorema di Pitagora, anche il teorema fondamentale ha avvuto centinaia di dimostrazioni. Quali sono le "migliori" o le "più diffuse" o  le "più costruttive"?
  • Esposizione orale
    •   giorno/mese/anno , ore ___ in aula ___
  • Links 
    • alla relazione scritta e all'esposizione