PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN

Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.

Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz, tendremos:

Elevando al cuadrado ambos miembros:
[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2

Desarrollando y simplificando
X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2
X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2
X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2
-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp
(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp
(y - k)2 = 4Xp - 4hp
(y - k)2 = 4p(X - h)

Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:
y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp
y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0
Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:
y2 + Dy +Ex + F = 0

Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje, X, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice y a la izquierda de él.

Análogamente como en el caso anterior:
PF = PM, se tiene:

Elevando al cuadrado ambos miembros:
X2 - 2X(h - p) + (h - p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h + p) + (h + p)2

Desarrollando los binomios y simplificando:
X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2
2Xp - 2hp + (y - k)2 = - 2Xh + 2hp
(y - k)2 = - 2Xp + 2hp + 2hp - 2Xp
(y - k)2 = -4p(X - h)

Otra forma de la ecuación es:
y2 + Dy + Ex + F = 0

Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice:

Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz:

Elevando al cuadrado y simplificando:
(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2
(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2
(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2
(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp
(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp
(X - h)2 = 4yp - 4kp
(X - h)2 = 4p(y - k)

Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:
X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp
X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0

Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación:
X2 + Dx + Ey + F = 0

Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo foco está a una distancia p del vértice y debajo de él.

Como PF = PM = Ecuación de la Directriz se tiene:

Elevando al cuadrado y simplificando:
(X - h)2 + [y - (k - p)]2 = [y - (k + p)]2
(X - h)2 + y2 - 2y(k - p) + (k - p)2 = y2 - 2y(k + p) + (k + p)2
(X - h)2 + y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2 = y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2
(X - h)2 + 2yp - 2kp = - 2yp + 2kp
(X - h)2 = - 2yp + 2kp - 2yp + 2kp
(X - h)2 = - 4yp + 4kp
(X - h)2 = - 4p(y - k)

Otra forma de las ecuación es:
X2 + Dx +Ey + F = 0

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