Elipse Con Centro En El Origen

Ecuación de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.

Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje (fig. 2). Los focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro es el punto medio del segmento FF´ las coordenadas de F y  serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

'Elipse'
(1)

En donde a es una constante positiva y mayor que c.

Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos

'Elipse'
='Elipse'
'Elipse'
='Elipse'
, de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación

'Elipse'
'Elipse'
= 2a (2).

Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

cx+a2 = a

Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos

'Elipse'

de donde,

'Elipse'
(3)

Como 2a >2c es a2>c2 y 'Elipse'
-c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,

b2='Elipse'
- c2 (4)

Si en (3) reemplazamos 'Elipse'
- c2 por b2 obtenemos,

b2x2+a2y2= a2b2

y dividimos por a2b2 , se obtiene, finalmente,

(5)

Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y -a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0) respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y - b por tanto, las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.

Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos

(7)

Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo

(8)

Si de la ecuación (5) despejamos x, obtenemos ,

De manera que se obtienen valores reales de solamente para valores de y dentro del intervalo 'Elipse'
(9).

De (8) y (9) se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las rectas 'Elipse'
'Elipse'
. Por tanto la elipse es una curva cerrada.

La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos por este valor se obtiene las ordenadas correspondientes que son

'Elipse'
de donde por (4) resulta 'Elipse'

'Elipse'

Por tanto la longitud del lado recto para el foco 'Elipse'
, y de forma análoga la longitud del lado recto para el foco F´ es 'Elipse'
.

Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón 'Elipse'
y se representa por la letra , de (4) tenemos que 'Elipse'
(10).

Y como c<a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.

Hasta aquí hemos considerado el caso en que el centro de la elipse es el origen y su eje focal coincide con el eje X. Si consideramos el caso en que el centro de la elipse es el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y, las coordenadas de los focos son entonces F(0,c) y F´(0,-c). Luego por el mismo procedimiento empleado para deducir la ecuación (5) hallamos que la ecuación de la elipse es

'Elipse'
(11)

Veamos la siguiente que resume los resultados obtenidos hasta este momento.

'Elipse'


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