Esiti dell'appello straordinario del 06/04/19
Ricordo che per superare l'esame si deve raggiungere la sufficienza in entrambe le sottoprove. Inoltre, per coloro che hanno un voto compreso tra 15 e 18 in una delle parti (e positivo o tra 15 e 18 anche nell'altra parte) devono svolgere un esame orale suppletivo. L'appuntamento per la visione dei compiti e gli eventuali esami orali è mercoledì 10 Aprile presso l'aula 49 (quarto piano) del Dipartimento di Statistica (città universitaria). Potete comunque comunicare l'accettazione del voto proposto per mail ed io mi occuperò della verbalizzazione. Invito gli studenti intenzionati a presentarsi per l'esame orale di comunicarmelo in anticipo in modo da sapere per quanto tempo sarà necessario prenotare l'aula.
Per il programma dettagliato, vedere il diario delle lezioni sotto.
Modalità d'esame: l'esame prevede una prova scritta articolata in due parti: 1) tre esercizi; 2) tre domande di teoria. Per superare l'esame lo studente deve raggiungere la sufficienza in entrambe le sottoprove 1) e 2). Non è consentito consultare libri ed appunti. Nel caso in cui si raggiunga una votazione compresa tra 15 e 18 sulla parte teorica o su quella pratica o sulla media delle due, sarà indispensabile una prova orale supplementare.
TESTO CONSIGLIATO: "Calcolo delle Probabilità", Sheldon Ross. Apogeo Editore.
ULTERIORI LETTURE:
P.Baldi, Calcolo delle Probabilità. McGraw-Hill.
E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità. Carocci editore
MATERIALE DIDATTICO: Potete trovare esercizi (con soluzione) molto utili per la preparazione della prova scritta nei siti del Prof. Orsingher (https://sites.google.com/site/orsinghersite/home/italian-lectures) e del Prof. San Martini (https://sites.google.com/site/aristidesanmartini/)
DIARIO DELLE LEZIONI:
28/02 Introduzione al corso, cenni storici (suggerisco di leggere questo breve articolo https://alabis.files.wordpress.com/2014/09/breve-storia-ragionata-della-probabilitc3a0.pdf)
Definizione di spazio campionario.
01/03 Richiami di teoria degli insiemi: negazione, unione e intersezione. Insiemi incompatibili. Algebra dello spazio degli eventi. Proprietà commutativa, associativa e distributiva e leggi di De Morgan.
Principio fondamentale del calcolo combinatorio ed applicazione alle permutazioni (con e senza ripetizioni), combinazioni e coefficiente binomiale.
06/03 Identità di Tartaglia e teorema binomiale. Disposizioni semplici e con ripetizioni.
Coefficiente multinomiale. Esercizi.
07/03 Combinazioni con ripetizione ed esercizio di ricapitolazione sul calcolo combinatorio. Cenni sull'interpretazione della probabilità: approccio classico e frequentista. Approccio assiomatico: assiomi della probabilità e prime conseguenze.
Materiale didattico: Suggerisco di guardare questi appunti sul calcolo combinatorio, redatti dal Prof. De Gregorio
https://drive.google.com/file/d/0B0ZCah5eR1XIR0lFQThhMFktUDA/view
ed i relativi esercizi (con soluzione)
https://drive.google.com/file/d/0B0ZCah5eR1XIZ2E2OE8wTTZBb1E/view
08/03 Esercizi sul calcolo combinatorio
13/03 Ancora sulle proprietà delle probabilità: disuguaglianza di Boole (con dimostrazione), principio di inclusione/esclusione per due eventi (con dimostrazione), tre eventi e per più eventi (senza dimostrazione). Esercizi.
14/03 Probabilità condizionata, Legge delle probabilità composte, esempi
15/03 Ancora sulla probabilità condizionata: esempi e dimostrazione del fatto che soddisfa i tre assiomi della probabilità, Legge delle probabilità totali, Teorema di Bayes, Indipendenza degli eventi ed esempi.
Materiale didattico: Vi suggerisco di consultare queste dispense del Prof. G. D'Agostini (Dip. Fisica, http://www.roma1.infn.it/~dagos/), in particolare sull'interpretazione del Teorema di Bayes (Capitolo 5) https://www.roma1.infn.it/~dagos/PRO-Parte1.pdf
20/03 Esercizi su teorema di Bayes e indipendenza di eventi. Variabili aleatorie discrete: funzione di ripartizione e funzione di probabilità
21/03 Proprietà della funzione di ripartizione ed esempi. Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete.
22/03 Ancora su valore atteso e varianza di una v.a. discreta. Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria (con esempio). Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali. Calcolo dei momenti delle variabili aleatorie binomiali. Esercizi. Andamento della densità discreta di una binomiale (con prova). Variabile aleatoria geometrica.
27/03 Variabile aleatoria geometrica e binomiale negativa. Calcolo di valore atteso e varianza della binomiale negativa. Esercizio di ricapitolazione su Bernoulliana, geometrica, binomiale negativa e Bayes. Variabile aleatoria di Poisson. Distribuzione di Poisson come limite di una Binomiale.
28/03 Calcolo di media e varianza della distribuzione di Poisson. Distribuzione di Poisson come numero di occorrenze di certi eventi in un intervallo di tempo finito (esempio: sismologia).
Variabile aleatoria ipergeometrica.
04/04 Esercizi su variabili aleatorie discrete. Dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria della v.a. geometrica
05/04 Variabili aleatorie assolutamente continue: densità e funzione di ripartizione, valore atteso e varianza. Distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale (con calcolo di funzione di ripartizione, valore atteso e varianza, dimostrazione della proprietà di mancanza di memoria), distribuzione esponenziale doppia (o di Laplace). Esercizio sulla distribuzione dei tempi di vita.
10/04 Distribuzione normale: verifica della normalizzazione, funzione di distribuzione della normale standardizzata, valore atteso e varianza di una normale di parametri \mu e \sigma^2.
Distribuzione Gamma: proprietà elementari della funzione Gamma di Eulero. Distribuzione di Erlang come distribuzione del tempo di attesa per la realizzazione di n eventi. Calcolo del valore atteso della Gamma.
Approfondimenti: Castelnuovo e la probabilità
11/04 Calcolo della varianza della Gamma. Osservazioni sulla funzione di distribuzione della Gamma (funzione Gamma incompleta), relazione con la distribuzione esponenziale. Distribuzione del chi-quadrato a n gradi di libertà. Distribuzione di Cauchy (calcolo della costante di normalizzazione e prova della non esistenza del valore atteso della distribuzione), distribuzione t di Student e relazione con la Cauchy e relazione con la densità di una normale standardizzata.
12/04 Disuguaglianza di Markov e disuguaglianza di Chebychev (con dimostrazioni). Esercizi su distribuzione normale ed esponenziale. Determinazione di densità e funzione di distribuzione di una funzione di una v.a. : metodo della funzione di distribuzione e metodo della funzione inversa (con dimostrazione). Esempi semplici. La distribuzione lognormale.
17/04 Esercizi su funzioni di una v.a. Tasso di guasto con metodi probabilistici (failure rate), esempio con la distribuzione di Weibull. Leggi congiunte di v.a. : distribuzione congiunta e marginali. Esempio con v.a. discrete. V.a. congiuntamente assolutamente continue: densità congiunta e marginali. Esempi
18/04 Indipendenza di v.a. congiunte. Esercizi. Condizione necessaria e sufficiente per cui due v.a. congiunte sono indipendenti (con dimostrazione).
19/04 Esercizi su indipendenza di v.a. congiunte. Distribuzioni condizionate: il caso di v.a. discrete e il caso di v.a. congiuntamente continue. Esercizi. Trasformazioni di variabili aleatorie continue congiunte con esempio.
24/04 Esercizi su funzioni di variabili aleatorie congiuntamente continue, v.a. aleatorie discrete congiunte, densità congiunte e marginali su un triangolo. Distribuzione e densità della somma di due variabili aleatorie indipendenti.
26/04 Somme di v.a. indipendenti, esempi notevoli: somme di uniformi (distribuzione triangolare),
somme di Gamma (con dimostrazione), somme di normali (con dimostrazione), somme di Poissoniane (con dimostrazione), somme di Bernoulliane (solo enunciato). Valore atteso di funzioni di due variabili aleatorie congiuntamente continue e valore atteso di somme di variabili aleatorie. Esempio.
02/05 Esercizio su somma di esponenziali, funzioni di v.a. e valore atteso di funzioni di variabili aleatorie
03/05 Dimostrazione alternativa della prima disuguaglianza di Boole basata sul valore atteso di somme di v.a. Valore atteso del prodotto di funzioni di v.a. indipendenti. Definizione di covarianza e principali proprietà, varianza di somme di variabili aleatorie. Coefficiente di correlazione. Esempio. Valore atteso condizionato per v.a. discrete congiunte.
08/05 Esercizi su media condizionata, correlazione e covarianza di v.a. discrete e congiuntamente continue. Media campionaria (calcolo valore atteso e varianza). Ancora sulle proprietà del coefficiente di correlazione. Determinazione della media di una v.a. conoscendo la media condizionata.
09/05 Valor atteso condizionato e predizione, con applicazione. Richiami e applicazioni sulle disuguaglianze di Markov e di Chebychev. Legge debole dei grandi numeri con dimostrazione.
Definizione di convergenza in probabilità .
10/05 Osservazioni sui momenti di ordine superiore (skewness e curtosi). Funzione generatrice dei momenti: definizione e proprietà principali (funzione generatrice di somma di v.a. indipendenti).
Calcolo della funzione generatrice dei momenti per la somma di due esponenziali e per la normale (con dimostrazione che i parametri coincidono con media e varianza). Teorema del limite centrale con dimostrazione.
15/05 Definizione di convergenza in legge e richiami sulla dimostrazione e le principali implicazioni del teorema del limite centrale. Approssimazione normale della binomiale. Approssimazione normale della somma di v.a. esponenziali. Intervalli di confidenza
16/05 Cenno all'applicazione della legge dei grandi numeri al metodo di Montecarlo.
Introduzione alla statistica: il problema dell'inferenza statistica. Media campionaria e varianza campionaria (calcolo della media della varianza campionaria). Distribuzione congiunta della media e della varianza campionaria (con richiami su distribuzioni del chi quadro e t di Student a n gradi di libertà)
17/05 Esercitazione di preparazione per l'esame.
22/05 Soluzione esercizi di preparazione all'esame ed osservazioni ulteriori sui teoremi limite (enunciato senza dimostrazione del teorema di limite centrale per v.a. indipendenti uniformemente limitate). Stime parametriche: il metodo di massima verosimiglianza. Stimatori di massima verosimiglianza per il parametro di una binomiale, di una Gamma e per la media e la varianza di una Gaussiana.
23/05 Stimatore di massima verosimiglianza per il parametro di una geometrica. Intervalli di confidenza bilaterali e unilaterali per campioni aleatori di distribuzioni normali a varianza nota e media ignota.
29/05 Esercizio su intervalli di confidenza unilaterali. Intervalli di confidenza nel caso in cui la media e la varianza della distribuzione siano ignoti (sull'utilizzo della distribuzione t di Student a n-1 gradi di libertà). Stima dei parametri con il metodo dei momenti: definizione di momenti campionari e momenti campionari centrali ed applicazioni. Stimatore dei momenti per una distribuzione beta (e confronto con lo stimatore di massima verosimiglianza). Stimatore dei parametri di una binomiale con il metodo dei momenti.
Materiale didattico: Su stimatori di massima verosimiglianza e intervalli di confidenza potete fare riferimento a queste sezioni del libro di Ross - Calcolo delle probabilità e statistica
30/05 Valutazione degli stimatori: l'errore quadratico medio (definizione e relazione con il bias), media campionaria e varianza campionaria come stimatori non distorti. Test d'ipotesi: ipotesi semplici e composta, regione critica di un test. Ipotesi sulla media di una popolazione normale se la varianza è nota: esempi. Regressione lineare: stimatori della retta dei minimi quadrati, residui, errore quadratico.
Orario delle lezioni: N.B. A partire da Martedì 3 Aprile la lezione di Martedì si svolgerà in Aula III, Dipartimento di Matematica, alla stessa ora (12-14) invece che in Aula Gini. Sede e ora delle altre lezioni restano invariate.
Martedì 12-14 Aula III, Dipartimento di Matematica
Mercoledì 13-14 Aula Cabibbo, Ed. Fermi, Dipartimento di Fisica
Giovedì 17-19 Aula Cabibbo, Ed. Fermi, Dipartimento di Fisica
Tutor: Dr. Francesco Iafrate (https://sites.google.com/view/fiafrate/tutorato)
Orario Tutoraggio:
Lunedì 16-18 Aula Cabibbo, Ed. Fermi, Dipartimento di Fisica