Función cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

Gráficas de funciones cuadráticas.
 f(x) = ax^2 + bx + c \,

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Raíces


Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales  f(x) = 0 \ . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: x_1 y x_2, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como \Delta = b^2 - 4 a c \  .

  • Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:
\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}.
  • Una solución real doble si el discriminante es cero:
-\frac{b}{2a} . \,\!
  • Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:
 \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},

Representación analítica

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

 f(x) = ax^2 + bx + c \,

con a \neq 0.

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

 f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,

siendo a el coeficiente principal de la función, y x_1 y x_2 las raíces de f(x). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces x_1 = x_2 por lo que la factorización adquiere la forma:

 f(x) = a(x - x_1)^2 \,

En este caso a x_1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

 f(x) = a (x - h)^2 + k \,

A esta forma de expresión se la llama forma canónica (o reducida). Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el procedimiento llamado completando el cuadrado:

  • Dado:
 f(x) = ax^2 + bx - c \,
  • Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.
 f(x) = a  \left ( x^2 + \frac{b}{a} x \right ) + c \,
f(x) = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4 a^2} \right ) + c - \frac{b^2}{4 a}
f(x) = a \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 + c - \frac{b^2}{4a}
  • sustituyendo:
h = \frac{-b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}
  • la expresión queda:
 f(x) = a (x - h)^2 + k \,

Representación gráfica


Corte con el eje y

Función cuadrática 03.svg

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

 y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,

lo que resulta:

 y = f(0) = c \,

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

 y = ax^2 + bx + c \,

se tiene que:

   y = 0    \quad \longmapsto \quad    ax^2 + bx + c = 0 \,

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} .

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).


Extremos

oda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.
Parabola (roja) y (verde) en funciones cuadráticas.

Dada la función en su forma desarrollada: f(x) = ax^2+bx+c\,, la coordenada x del vértice será simplemente:  x = \frac{-b}{2a} . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica:  f(x)=a (x-h)^2+k \,, las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k).


Ejercicios

epresenta gráficamente la función cuadrática:

y = -x² + 4x - 3

1. Vértice

x v = - 4/ -2 = 2     y v = -2² + 4· 2 - 3 = -1        V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² - 4x + 3 = 0

ecuación       (3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, -3)

parábola


epresenta gráficamente la función cuadrática:

y = x² + 2x + 1

1. Vértice

x v = - 2/ 2 = -1     y v = (-1)² + 2· (-1) + 1= 0        V(- 1, 0)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² + 2x + 1= 0

ecuación Coincide con el vértice: (-1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

 (0, 1)

parábola

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = x² +x + 1

1. Vértice

xv = -1/ 2     yv = (-1/ 2)² + (-1/ 2) + 1= 3/4

V(-1/ 2, 3/ 4)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² + x + 1= 0

1² - 4 < 0       No hay puntos de corte con OX.

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 1)

parábola






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