FUNCION

Funciones Cuadráticas

 

Introdución:
Una función de la forma:

f(x) = ax2 + bx +c

con a, b y c pertenecientes a los reales y 
a no nulo, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

a x2 :   término cuadrático.
b x :    término lineal.
c :       término independiente.
                  
si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Estas curvas tienen ciertos elementos que la identifican como veremos en el siguiente gráfico:
 

Raíces
Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

 
               
 

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces

ax² + bx +c = 0

Pero para resolver 
ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:



al resultado de la cuenta  b2  - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:

  *   Si  b2  - 4ac > 0    tenemos 2 soluciones posibles.
  *  Si  b2  - 4ac =  0    el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene 1 sola solución real.
  *  Si  b2  - 4ac <  0    la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.


Simetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea 

x = (x1 + x2) / 2

Vértice
El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale:

xv = (x1 + x2) / 2

Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación).
Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:

xv = (-b) / (2a)

Concavidad

*   Si  a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.
*   Si  a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.

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