4.2 Comment modéliser l'impédance d'un haut-parleur ?

La connaissance de l'impédance d'un haut-parleur est nécessaire au calcul d'un filtre passif.

L’impédance se présente sous la forme d’un nombre complexe avec une partie réelle (la partie résistive ou résistance) et une partie imaginaire (la partie réactive ou réactance).

Le modèle Zhp = 8 ohm est trop simplifié.
Le modèle "habituel"  Zhp = Re + j.Le.ω avec ω = 2*Pi*Fréquence est à peine mieux puisque Re et Le dépendent tous deux de la fréquence.

Les variations de Re et Le avec la fréquence apparaissent dans les documents de certains fournisseurs.
Pour cette étude, le module et la phase de l'impédance du Beyma 15MI100 ont été mesurés avec le logiciel Audiotester :
http://www.audiotester.de/mainE.htm
On obtient ceci :

Ces données ont été ensuite importées dans Excel afin de calculer :
- Zréel : la partie réelle de l'impédance en fonction de la fréquence,
- Zimg : la partie imaginaire de l'impédance en fonction de la fréquence.

L'objectif de ce chapitre est de trouver le modèle qui représente le mieux possible les variations de Zréel et Zimg ou Le = Zimg / ω en fonction de la fréquence :
Comme très souvent, on constate que Zréel varie avec la fréquence (de 8 à 30 ohm lorsque la fréquence passe de 200 à 10 kHz), de même pour l'inductance Le.

Dans le contexte du calcul d'un filtre passif, il faut donc utiliser un modèle qui prenne en compte les variations de Zréel et Zimg avec la fréquence.

4.2.1 Le modèle "Vanderkooy"

John Vanderkooy a proposé un modèle utilisant une semi-inductance :
“A Model of Loudspeaker Impedance Incorporating Eddy Currents in the Pole Structure,” J. Audio Eng. Soc., vol. 37, pp. 119 - 128 (1989).
http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=4794

Il consiste à remplacer l’inductance Le du modèle de base Re+j.Le.ω par une semi-inductance d’impédance : Ke*racine(j. ω)

L’impédance du haut-parleur s’exprime alors ainsi en fonction des 2 paramètres Re et KE :
Zhp = Re + Ke*racine(ω /2) + j.Ke*racine(ω /2)


Ce modèle est repris dans WinISD avec les paramètres :
- Le : Voice coil inductance,
- fLe : The frequency at which Le and KLe is to be determined,
- KLe : Voice coil semi-inductance in [H•sqrt(Hz)], after Vanderkooy.

Ces trois paramètres sont reliés par l’équation KLe = Le * racine(2.Pi.fLe)

La modélisation de l’impédance complexe du 15MI100 donne les paramètres:
Re = 0,015 ohm et Ke = 0,182 SH

Ce modèle donne une très mauvaise représentation des variations, en fonction de la fréquence, de la partie réelle et de la partie imaginaire de l’impédance du haut-parleur :


4.2.2 Le modèle "W. Marshall Leach, Jr"

W. Marshall Leach, Jr définit un circuit de correction d’impédance basé sur le modèle
Zhp = Re + Le*(j. ω)^n :
http://users.ece.gatech.edu/~mleach/papers/vcinduc.pdf

C’est donc une extension du modèle de Vanderkooy avec un exposant n de la pulsation qui n’est plus fixé à 0,5 mais est compris entre 0 et 1.

Ce modèle peut se mettre sous la forme :
Zhp = (Re + Le*cos(n*Pi/2)* ω^n) + j.(Le*sin(n*Pi/2)* ω^n)

L’application de ce modèle à la mesure de l’impédance du 15MI100 donne les paramètres :
Re = 5,93 Le = 30,3 mH et n = 0,661

Ce modèle représente mieux les variations de Zréel et Zimg avec la fréquence... mais ce n'est pas parfait !


4.2.3 Le modèle "J.R. Wright"

J.R. Wright a proposé un modèle empirique :
“An empirical model for loudspeaker motor impedance”, J. Audio Eng. Soc., Vol. 38, No. 10, 1989
http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=5918

Ce modèle se présente ainsi : Zhp = Re + Krm. ω^Erm + j.Kxm. ω^Exm

Certains constructeurs de haut-parleurs, comme Selenium, donnent les coefficients Re, Krm, Erm, Kxm et Exm :
Voice_Coil_Impedance.pdf

L'application à la mesure de l’impédance complexe du 15MI100 donne :
Re = 6,56 ohm Krm = 4,1 mohm Kxm = 13,5 mohm Krm = 0,786 Exm = 0,7235

On notera que la valeur de Re issue de la modélisation de la courbe de réponse entre 180 et 10 kHz (6,56 ohm) est voisine de celle mesurée à l'ohmmètre (6,3 ohm).
On notera également une très bonne représentation des mesures de la partie réelle et de la partie imaginaire de l’impédance.
"Although the WRIGHT usually gives the best fit there are cases where the other models have provided a superior fit."
http://www.klippel.de/uploads/media/Voice_Coil__Impedance_01.pdf

4.2.4 Le modèle "LR-2"

Le modèle « LR-2 » avec L1+R2//L2+Re a été proposé par W. Klippel :
http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=12835

Il est défini par ce schéma équivalent :
Ce modèle est disponible sur LspCAD :
"The simple way to model the voice coil inductance is an inductor (Le) in series with the voice coil DC resistance (Re).
This model not very useful for highpower long stroke subwoofers where the voice coil inductance is high at low frequencies and substantially lower and high frequencies.
For this purpose an extended model is implemented where the voice coil inductance is modeled by Le as before plus a resistor (Reb) and an inductor (Leb) in parallel. "
http://btindex.org/files/6e9713bb1b6824b67245dcf3199502f3a56015b4/118_drvunit.txt

L’application de ce modèle à la mesure de l’impédance du 15MI100 donne les paramètres :
Re = 9,39 Le = 0,416 mH R2 = 25,1 L2 = 0,724mH

Ce modèle est encore moins représentatif que celui de W. M. Leach :
Dans la publication citée ci-dessus, Mark Dodd, Wolfgang Klippel et Jack Oclee-Brown considèrent également que le modèle « LR-2 » est très mauvais.
« Although this model uses three free parameters it often provides a worse fit to measured ZL than the LEACH model. »

Ce modèle peut être affiné en rajoutant un réseau L3//R3 en série avec le schéma précédent.
Dans cette version LR-3, l'impédance s'exprime alors ainsi :

Zhp = Re + j.ω.Le + R2.j.ω.L2/(R2+j.ω.L2) + R3.j.ω.L3/(R3+j.ω.L3)

L’application de ce modèle à la mesure de l’impédance du 15MI100 donne les paramètres :
Re = 8,41 Le = 0 R2 = 108 L2 = 0,701mH R3 = 8,59 L3 = 0,672mH

L'approximation est un peu meilleure que le LR2.

4.2.5 Le modèle "Thorborg"

Cette modèle a été présenté par Knud Thorborg , Andrew D. Unruh et Christopher J. Struck lors de la 122nd AES Convention (2007)
« An Improved Electrical Equivalent Circuit Model for Dynamic Moving Coil Transducers »
http://www.tymphany.com/files/resources/papers/AES122nd-Impedance.pdf

Le schéma équivalent est celui-ci :

Leb représente la partie de la bobine mobile qui n’est pas dans l’entrefer.
Ke est une semi-inductance d’impédance Ke.racine(j ω) comme pour le modèle de Vanderkooy.

L’impédance totale s’exprime alors ainsi :

Avec :
Pour le 15MI100 les meilleurs paramètres trouvés sont :
Re = 8,1  Leb = 0 Ke = 0,248 et Le = 1,95 mH

Dans l’ensemble on observe une bonne représentation :


Les auteurs terminent cette publication en proposant une version complétée par l'ajout de deux composants :

(MAJ le 31/07/2014)

Dans un genre complémentaire entre le "LR-2" et le "Thorborg" de base, certains fabricants de haut-parleurs propose ce modèle L2RK :
http://www.scan-speak.dk/toolbox.htm
Ces informations peuvent être utilisées dans le fichier Excel de simulation d'enceintes closes ou bass-reflex proposé par Scan-Speak :
http://www.scan-speak.dk/toolbox_dl.php

4.2.6 Le modèle "Robert"

Le nom de ce modèle a été donné suite aux interventions de "Robert64" sur le forum Audax.
Afin de représenter le comportement de moteurs électriques comme celui-ci :


Le schéma électrique équivalent est alors le suivant :
Pour un domaine de validité jusqu’à 10 kHz, le modèle avec L1, L2 et L3 est suffisant.
Le schéma électrique équivalent est alors le suivant :
On notera que c’est le courant i1 traversant L1 qui génère la force motrice (BL*i1) et non le courant total traversant la bobine mobile (i1 + i2 traversant L2 + i3 traversant L3).

Le logiciel de calcul formel Maple nous donne la partie réelle (partie résistive ou résistance) et la partie imaginaire (partie réactive ou réactance) de l’impédance de ce réseau :

Dans l’exemple du moteur électrique cité par Robert l’examen graphique de la courbe d’impédance définit les pôles p1, p2 et les zéros z1, z2, z3 de la courbe d’impédance :
L’identification entre l’expression de cette courbe d’impédance (p-z1)(p-z2)(p-z3)/(p-p1)/(p-p2) soit 

et l’équation du modèle :

donne les paramètres du modèles.
Les courbes qui suivent montrent l’évolution du modèle lorsque, à partir de R1+L1, on rajoute R2 puis L2 puis R3 puis L3 :

Par rapport à cette méthodologie de représentation de l’évolution de la courbe d’impédance, différents essais ont montré qu’une meilleure représentation de l’impédance d’un haut-parleur est obtenue en essayant de bien représenter l’évolution de la partie réelle de l’impédance et de la partie imaginaire de l’impédance.

Avec l’aide du Solveur d’Excel, il a été obtenu ces paramètres pour le Beyma 15MI100 :
R1 = 6,3      L1 = 2,53 mH
R2 = 13,1     L2 = 1,82 mH
R3 = 78,2    L3 = 0,787 mH

Comme pour le modèle empirique de Wright, nous observons une très bonne représentation des variations de l’impédance avec la fréquence :


A ma connaissance, c’est la première fois que ce modèle est utilisé afin de représenter l’impédance d’un haut-parleur. Il a pourtant plusieurs avantages :
- il représente bien les variations de l’impédance du haut-parleur avec la fréquence,
- il utilise des composants Ri et Li indépendants de la fréquence, ce qui facilite l’implantation de ce modèle dans les logiciels de simulation type Spice,
- il met en évidence que le courant qui génère la force motrice n’est pas le courant qui traverse la bobine mobile mais le courant qui traverse la self L1 du modèle.

Avec les paramètres du 15MI100, voici le ratio courant traversant la self L1 sur courant total.
On constatera que, au dessus d’environ 1,3 kHz, plus de 50% du courant absorbé est perdu et ne génère pas de force motrice.

4.2.7 Conclusions


Pour ces différents modèles il a été cherché les paramètres qui permettent de minimiser l’écart entre les valeurs mesurées et les valeurs calculées.

C’est la méthode des moindres carrés :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_moindres_carr%C3%A9s

Un bon modèle, qui offre une bonne représentation, présentera une faible somme des carrés des écarts entre valeur mesurée et la valeur calculée.

Pour les différents modèles étudiés ici, voici la somme des carrés des écarts (ser2) pour la représentation de la partie réelle de l’impédance (Zr) et de la partie imaginaire de l’impédance (Zi) dans les domaines de fréquences précisés.

Deux modèles sortent nettement du lot : le modèle « Wright » et le modèle « Robert ».

Dans le contexte du calcul d’un filtre passif, il est intéressant de constater l’effet du choix du modèle représentant l’impédance du haut-parleur sur les valeurs des composants du filtre.

Supposons que l’on souhaite concevoir un filtre passe-bas de type Linkwitz LR2 à 1600 Hz pour le 15MI100.
http://beyma.com/uploads/ftp/Fichas_Tecnicas/000000646.PDF

1)    Un premier modèle « 8ohm » consiste à prendre Zhp = 8 ohm
2)    Un deuxième modèle « impedance(1600) » consiste à s’intéresser à la courbe d’impédance en fonction de la fréquence et à constater que le module de l’impédance du 15MI100 est d’environ 16,2 ohm à la fréquence de raccordement (1600 Hz).
3)    Un troisième modèle « Rdc+Le(1000) » décompose l’impédance entre la partie réelle Rdc (6,3 ohm) et la partie imaginaire représentée par la self Le@1kHz (1mH)
4)    Un quatrième modèle « Re(1600)+Le(1600) » décompose l’impédance entre la partie réelle Re ( 12,3 ohm à 1600 Hz) et la partie imaginaire ( 10,6 ohm soit Le = 1,05 mH à 1600 Hz).
5)    Un cinquième modèle « Re(ω)+Le(ω) » prend en compte les variations de Re et Le en fonction de la fréquence telles qu’elles ont été calculées ci-dessus avec le modèle empirique de J.R. Wright.

On notera que les modèles 3, 4 et 5 prennent en compte la partie imaginaire de l’impédance complexe du haut-parleur.
L’addition d’une cellule de Boucherot (appelé aussi réseau de Zobel) est alors indispensable.

En effet, en son absence, la courbe de réponse cible ne peut être obtenue.
Voir, à titre d’illustration, les réponses du filtre calculé avec le modèle « Rdc+Le@1kHz » sans réseau R0+C0 et avec réseau R0+C0 :
Un commentaire sur ce réseau R0+C0 de correction de l’inductance de la bobine mobile.
On trouve généralement dans la littérature les formules R0 = Rcc*1,25 et C0 = Le/R0^2
http://www.carstereo.com/help/Articles.cfm?id=36
ou bien R0 = impédance nominale (qui donne un résultat voisin de Rcc * 1,25).

Toutefois ces formules sont peu utilisables puisque, nous l’avons vu, la résistance et l’inductance du haut-parleur varie avec la fréquence.
Ainsi la résistance du 15MI100 est de 12,3 ohm à 1600 Hz, ce qui est différent du Rcc*1,25 qui donne 7,9 ohm…

Le tableau ci-dessous rassemble les valeurs calculées du filtre pour chacun de ces modèles.

On constatera l’effet important du choix du modèle représentant l'impédance du haut-parleur sur le calcul des éléments du filtre…

Les conséquences sur les principales caractéristiques du filtrage (F-6dB, erreur sur la réponse en fréquence) sont les suivantes :


Comme attendu, les performances du filtre sont très dépendantes du choix du modèle de représentation de l’impédance du haut-parleur.

Les deux premiers modèles donnent des résultats très éloignés de l’objectif visé.
Ainsi nous obtenons pour le premier modèle Zhp=8 ohm :
Un autre aspect à prendre en compte est la réponse en fréquence du haut-parleur.

En effet, celui-ci se comporte comme un passe-bande avec une fréquence de coupure acoustique dans les hautes fréquences :
La prise en compte de cette coupure acoustique, en plus de Re(ω) et Le(ω), modifie ainsi le calcul des éléments du filtre :

Il apparaît donc indispensable de connaitre Re(ω), Le(ω) et la réponse en fréquence du haut-parleur afin de calculer correctement un filtre passif.

4.2.8 Exemples de modélisation

La seule courbe d’impédance ne suffit pas pour déduire les 5 paramètres représentant l’impédance d’un haut-parleur.

Pour déduire Re, Krm, Erm, Kxm, Exm, il faut au moins la courbe d’impédance et la valeur de l’inductance de la bobine mobile à deux fréquences, par exemple Le(1kHz) et Le(10kHz).
Nous avons pris comme premier exemple le Hertz HX380 :
http://www.hertzaudiovideo.com/Doc/pdf_hx380.pdf


Les paramètres Kxm et Exm sont déduits de Le@1kHz et Le@10kHz, tandis que la partie réelle de l’impédance est bien représentée par Krm et Erm :
Nous obtenons ici : Re = 2,9 Kxm = 0,1351 Exm = 0,511 Krm = 0,0783 Erm = 0,499

La feuille de calcul Excel utilisée pour cette modélisation est disponible ici :
Hertz_HX380_impedance.xls

Un deuxième exemple avec le Beyma 12B100-R :
http://beyma.com/uploads/ftp/Fichas_Tecnicas/000002704.pdf
Beyma donne ici Re(ω) et Le(ω) :
Nous déduisons les paramètres Re, Krm et Erm de la courbe Re(ω) et les paramètres Kxm et Exm de la courbe Le(ω).
On constatera la très bonne représentation du modèle, avec pour ce 12B100-R :
Re = 7,20 Krm = 0,00231 Erm = 0,823 Kxm = 0,00955 Exm = 0,778

La feuille de calcul Excel utilisée pour cette modélisation est disponible ici :
Beyma_12B100R_impedance.xls





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