5.6 Comment calculer une enceinte bass-reflex?


Sommaire

        5.6.1 Quelle courbe de réponse en fréquence ? (MAJ 06/08/2014)
       
5.6.2 Quelle vitesse d'air dans l'évent ? (MAJ 22/11/2011)
       
5.6.3 Comment calculer une enceinte bass-reflex ? (MAJ 08/02/2012)
       
5.6.4 Comment calculer un évent rectangulaire ?
       
5.6.5 Comment calculer des évents multiples ?
       
5.6.6 La réponse transitoire d'un bass-reflex
        5.6.7 Comment calculer un évent RJ (En cours de rédaction le 07/01/2013) ?
        5.6.8 Bibliographie (MAJ 30/07/2012)
 

5.6.1 QUELLE COURBE DE RÉPONSE EN FRÉQUENCE ?

Afin d'évaluer la réponse en fréquence d'une bass-reflex, un schéma électrique équivalent à l'enceinte est constitué.
Les éléments physique Mms, Vas, Vb.. sont remplacés par des composants électroniques RLC.

Nous verrons dans un premier temps un modèle simplifié puis dans un deuxième temps un modèle plus complet.

Deux nouveaux alignements sont ici proposés : Bessel et Legendre

Modèle simplifié sans pertes.

Le schéma équivalent est celui-ci :

Avec :   Mas = masse acoustique du haut-parleur

            Cas = compliance acoustique de la suspension du haut-parleur

            Ras = résistance acoustique de la suspension du haut-parleur

            Ud = vitesse volumique du haut-parleur

            Cab = compliance acoustique de l’enceinte

            Ub = vitesse volumique de l’enceinte

            Map = Masse acoustique de l’évent

            Up = vitesse volumique de l’évent


La réponse en fréquence est donnée par la fonction de transfert :
            
FT = s^4 / ( a0 + a1*s + a2*s^2 + a3*s^3 + s^4 )        
            
avec s = j*F/Fs    j^2 = -1
            
a0 = h^2    a1 = h^2/Qts    a2 = h^2+1+α    a3 = 1/Qts    
            
h = Fb/Fs    et α = Vas/Vb

C’est la fonction de transfert d’un filtre passe-haut d’ordre 4.
Après normalisation, c'est-à-dire en visant a0=1, on obtient :

            
FT = s^4 / ( a0 + a1*s + a2*s^2 + a3*s^3 + s^4 )
            avec s = j*F/racine(Fs*Fb)

            
a0 = 1    a1 = racine(h)/Qts    a2 = h + (α+1)/h    a3 = 1/racine(h)/Qts

Le processus « d’alignement » consiste alors à viser une fonction de transfert caractéristique.

Par exemple, un passe-haut d’ordre 4 de Butterworth caractérisé par les coefficients :

            
a0 = 1    a1 = 2,6131    a2 = 3,4142  et  a3 = 2,6131

L’identification des coefficients a1, a2 et a3 de la fonction de transfert du bass-reflex avec ceux du polynôme de Butterworth permet d’écrire :

            
a1 = racine(h)/Qts = racine(4+2*racine(2)) ~ 2,6131

            
a2 = h + (α+1)/h = 2+racine(2) ~ 3,4142
            
a3 = 1/Qts/racine(h) = racine(4+2*racine(2)) ~ 2,6131

On en déduit alors :        

            
Qts = 1/racine(a1*a3) = 1/racine(4+2*racine(2)) ~ 0,3827    
            
h = (a1*Qts)^2 = 1  soit Fb=Fs        
            α = -1 + h*(a2 – h) = racine(2) ~ 1,414   soit Vb=0,707*Vas

A part le Butterworth « Maximally Flat Amplitude Response » qui privilégie l’étendue dans les basses fréquences et l’absence d’ondulation dans la réponse en fréquence :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_de_Butterworth

D’autres fonctions de transfert peuvent être visées :

- les filtres de Tchebychev de type 1 étendent la réponse dans les basses fréquences et augmente la pente au prix d’une ondulation dans la bande passante :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_de_Tchebychev

Pour ces filtres, il faut préciser l’ondulation maximale acceptable. Nous avons pris 1 et 0,1 dB.

- le filtre de Legendre est intermédiaire entre le Butterworth (pas d’ondulation) et les Tchebychev (extension maximale vers les basses fréquences):

http://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_de_Legendre

- enfin le Bessel  « Maximally Flat Delay Response » qui privilégie la réponse transitoire au prix d’une atténuation plus douce :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_de_Bessel

http://www.rane.com/note147.html

Les réponses en fréquences de ces filtres sont les suivantes :


Comme pour le filtre de Butterworth, nous pouvons par identification trouver les paramètres Qts, Fb/Fs et Vb/Vas pour la réponse souhaitée :


On notera que chaque type de filtre ne peut être réalisé que pour un haut-parleur avec un Qts bien précis (par exemple Qts=0,316 pour un Bessel) dans une enceinte bien précise (Vb/Vas=0,429 pour un Bessel) et un accord bien précis (Fb/Fs=0,976 pour un Bessel).

Sans surprise, on notera également que la diminution de la fréquence de coupure (F-3dB passe de 1,5*Fs pour le Bessel à 0,55*Fs pour le Tchebychev-1) s’accompagne d’une augmentation sensible du volume de l’enceinte (environ 5,7 fois plus important).

Modèle avec pertes.

Le schéma acoustique équivalent est celui-ci :

http://www.readresearch.co.uk/thiele-small_papers/smalls_vented_box_article_1.pdf

Par rapport au schéma sans pertes, il a été ajouté :

            Rab qui représente les pertes par absorption dans l’enceinte (Qa)

            Ral qui représente les pertes par fuites (Ql)

            Rap qui représente les pertes par frottement dans l’évent (Qp).


Robert M. Bullock décrit dans cette publication un modèle unifié pour les enceintes closes, bass-reflex et à radiateur passif :

http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=5853

Ce modèle unifié est détaillé dans ce document :
btsmodel.pdf
il est utilisé par Kristian Ougaard dans sa feuille de calcul Excel Unibox :
http://audio.claub.net/software/kougaard/ubmodel.html

La réponse en fréquence est donnée par une fonction de transfert « un peu » plus compliquée qu’avec le modèle sans pertes :

            FT = (b3*s^3 +b4*s^4) / ( a0 + a1*s + a2*s^2 + a3*s^3 + a4*s^4 )         

            avec s = j*F/Fs

            b3 = h/Qp
            b4 = 1
            
a0 = h^2 * (1+1/Ql/Qp)

            a1 = h*
α/Qp + h^2/Qts*(1+1/Ql/Qp) + h*(1/Qa+1/Ql+1/Qp+1/Qa/Ql/Qp)        
            a2 =
α + (1+1/Qa/Ql) + h/Ql/Qts + h^2*(1+1/Ql/Qp) + α/Qa/Qp + h/Qts*(1/Qa+1/Qp+1/Qa/Ql/Qp)        
            a3 =
α/h/Qa + (1+1/Qa/Ql)/Qts + h*(1/Qa+1/Ql+1/Qp+1/Qa/Ql/Qp)
            a4 = 1 + 1/Qa/Ql   (MAJ le 19/05/2015 suite à une bonne remarque de Jean Fourcade)

En général, il est considéré dans la littérature que le facteur de pertes le plus important est Ql : « Ql is usually the most significant » selon Richard H. Thiele qui propose comme valeurs typiques : Ql = 5-20  Qa > 100  et  Qp = 50-100.

Selon WinISD « Q lis the most dominant loss type in vented boxes » :

Unibox propose de son coté :
        
Ql compris entre 10 (faible fuite) et 20 (pas de fuite)    

        
Qa compris entre 5 (enceinte complètement remplie) et 120 (enceinte vide),

        
Qp compris entre 70 et 140.

En supposant que Ql est prépondérant, la fonction de transfert du bass-reflex devient :

http://jm.plantefeve.pagesperso-orange.fr/simul-hp.html

Ces trois coefficients de pertes Ql, Qa et Qp ont des effets différents sur la courbe d’impédance de l’enceinte bass-reflex :

Qa se traduit par une diminution sensible du deuxième pic de la courbe d’impédance de l’enceinte bass-reflex et par une modification du volume apparent de l’enceinte :

acewp.pdf

Qp se traduit par une diminution sensible du premier pic de la courbe d’impédance,

Ql se traduit par une diminution des deux pics de la courbe d’impédance.

Un bon moyen d’estimer les pertes réelles est donc de mesurer la courbe d’impédance et d’en déduire les coefficients Qa, Qp et Qp.

http://membres.multimania.fr/ratditcal/plans.pdf

De façon générale, la modélisation de courbes d’impédance de nombreuses enceintes montre que :

        
les pertes par fuite, représentées par Ql, sont négligeables (Ql infini),    
        -
les pertes par absorption donnent en moyenne Qa=10 à 14,    
        -
les pertes par frottement dans l’évent donnent en moyenne Qp=10 à 12.

L'accord bass-reflex Legendre

Nous avons vu que, parmi les différents types de filtres existants, deux se font remarquer par des caractéristiques remarquables :

        -
le filtre de Legendre qui donne la coupure basse à la valeur la plus faible et ce sans oscillation,
        -
le filtre de Bessel qui privilégie la réponse transitoire.

Ces deux types de filtre étant, assez curieusement, peu détaillés dans la littérature pour l’application bass-reflex, voici le calcul des alignements correspondants.

Les pertes par fuite pouvant être négligées (Ql infini) si l'enceinte est correctement construite, la fonction de transfert du bass-reflex devient alors :

        
FT = (b3*s^3 +s^4) / ( a0 + a1*s + a2*s^2 + a3*s^3 + s^4 )       
        avec s = j*F/Fs    

        b3 = h/Qp    

        
a0 = h^2       

        a1 = h*
α/Qp + h^2/Qts + h*(1/Qa+1/Qp)    
        a2 =
α+1+h^2+α/Qa/Qp+ h/Qts*(1/Qa+1/Qp)    
        a3 =
α/h/Qa + 1/Qts + h*(1/Qa+1/Qp)

Une difficulté apparait immédiatement : du fait du terme b3*s^3 au numérateur, ceci n’est pas la fonction de transfert d’un passe-haut d’ordre 4.

Autrement dit, l’identification avec les filtres de Legendre et Bessel ne peux être directe.

La méthode utilisée consiste à viser au mieux les réponses des filtres de Legendre et Bessel dans la plage de réponse en fréquence comprise entre -15dB et 0dB.

L’outil Solveur d’Excel a été utilisé afin de trouver, pour plusieurs valeurs de Qts, les paramètres h et α qui minimisent l’écart entre la courbe de réponse cible (ici celle du filtre de Legendre) et la réponse en fréquence du bass-reflex.

Par ailleurs, nous supposerons que les autres pertes sont « dans la moyenne » par rapport aux mesures réalisées avec Qa = 12  et Qp = 11.

La fonction de transfert d’un passe-haut de Legendre d’ordre 4 est représentée par l’équation normalisée:

        
FT = s^4 / ( 1 + a1*s + a2*s^2 + a3*s^3 + s^4 )       
        avec s = j*F/Fs     

        a1 = 1,9552    

        a2 = 2,9554

        a3 = 2,4309
Il est possible de viser cet alignement avec un Qts compris entre 0,25 à 0,55.
Deux exemples de résultats :


Afin de généraliser ces résultats à d’autres valeurs de Qts, nous avons tracé les valeurs de h=Fb/Fs et α = Vas/Vb en fonction du Qts :


Concernant le rapport de F-3 (fréquence de coupure basse à -3dB) sur Fs en fonction de Qts, nous obtenons :
F-3 = 0,3317 * Fs / Qts^1,1612

L’accord bass-reflex Bessel

La fonction de transfert d’un passe-haut de Bessel d’ordre 4 est représentée par l’équation normalisée :

        
FT = s^4 / ( 1 + a1*s + a2*s^2 + a3*s^3 + s^4 )
        avec s = j*F/Fs

        a1 = 10/105^(1/4) ~ 3,1239

        a2 = 45/105^(2/4) ~ 4,3916

        a3 = 105/105^(3/4) ~ 3,2011

Il est possible de viser cet alignement avec un Qts compris entre 0,25 à 0,5.

Deux exemples de résultats :


Afin de généraliser ces résultats à d’autres valeurs de Qts, nous avons tracé les valeurs de h=Fb/Fs et α = Vas/Vb en fonction du Qts :

On constatera, par rapport à l’accord Legendre, une fréquence d’accord Fb/Fs plus basse (-15%) et un volume d’enceinte Vb/Vas sensiblement plus faible (-35%).
Du fait d’une réponse en fréquence « adoucie », la fréquence de coupure F-3dB de l’alignement Bessel est nettement plus élevée (+35%) : F-3 = 0,479 * Fs / Qts^1,1029

(MAJ le 06/08/2014)

Un aspect peu détaillé dans la littérature est l'effet du remplissage de l'enceinte sur son volume apparent du point de vue acoustique.
A titre d'exemple, cet effet est négligé dans WinISD.

Une première indication est donnée par le logiciel Unibox qui utilise la formule :
Vb.apparent / Vb.physique = 1 + 0,9/Qa^0,9
http://audio.claub.net/software/kougaard/ubmodel.html

Qa représentant les pertes par absorption qui dépendent du remplissage de l'enceinte.
Lorsque le remplissage augmente, les pertes augmentent (Qa diminue) et le ratio Vb.apparent / Vb.physique augmente :

A titre de comparaison, voici les recommandations de BassBox:
http://www.ht-audio.com/pages/BassBoxPro.html



Afin de prendre en compte les aspects mécaniques et thermodynamiques, un modèle électrique équivalent sensiblement plus élaboré a été proposé :

Electroacoustic-Analogous Circuit Models for Filled Enclosures, Leach, Jr., W. Marshall, JAES Volume 37 Issue 7/8 pp. 586-592; July 1989
https://secure.aes.org/forum/pubs/journal/?elib=6076
Thermal Time Constants and Dynamic Compressibility of Air in Fiber-Filled Loudspeaker Enclosures, Putland, Gavin R., JAES Volume 46 Issue 3 pp. 139-151; March 1998
https://secure.aes.org/forum/pubs/journal/?elib=12161
Losses in Loudspeaker Enclosures, Futtrup, Claus, AES Convention:130 (May 2011) Paper Number:8324
http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=15791
http://www.cfuttrup.com/papers.html#lle

Ce modèle est utilisé dans la feuille de calcul de Scan-Speak :
http://www.scan-speak.dk/toolbox.htm

L'augmentation du volume apparent est proportionnelle au taux de remplissage :


Cette augmentation peut atteindre 25 à 30% lorsque l'enceinte est complètement remplie :


Les données utilisée pour ce graphe sont :
Laine de verre : ro = 2400 kg/m3 ro.apparent = 6 kg/m3 cfill = 670 J/kg/°C
Polyester : ro = 1400 kg/m3 ro.apparent = 3,6 kg/m3 cfill = 650 J/kg/°C
Air : ro = 1,2 kg/m3 Cp/Cv = 1,4 Cv = 718 J/kg/°C



5.6.2 QUELLE VITESSE D'AIR DANS L’ÉVENT ?


( MAJ le 22/11/2011 )


Plusieurs contraintes doivent être prises en compte dans le calcul d'un évent bass-reflex.
L'une de ces contraintes est la vitesse d'air.
En effet, une vitesse d'air élevée génère plus de turbulence, donc plus de pertes (effet sur Qp) et plus de bruit.
M. Rossi dans son livre "Audio" cite une vitesse maximale admissible de 5 m/s :

M.Rossi_Audio_p583
Et une relation approchée donnant la surface d'évent Se minimale :
Se > 0,8 * Fb * Vd avec Fb en Hz et Vd en m3 est le volume déplacé par le haut-parleur ( = Sd * Xmax )
Soit Se/Sd > 0,8 * Fb *Xmax

Ce critère de 5 m/s et cette relation sont tirés de cette publication de Richard H. Small :
"Vented-Box Loudspeaker Systems Part II: Large Signal Analysis"

http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=1959
"An experimentally determined limit which avoids excessive noise generation is about 5% of the velocity of sound, provided that the inside of the vent is smooth and that the edges are rounded off with a reasonable radius."
"For program power ratings this relationship reduces to a simple approximate formula for vent area which limits the peak vent velocity, at maximum rated power input and at the frequency of maximum vent velocity, to 4,5 % of the velocity of sound. This formula, which is accurate within ±10% for the entire C4-B4-QB3 range of alignments, is Se > 0,8 * Fb * Vd"

De son coté WinISD propose comme vitesse maximale 5% de la vitesse du son c :
"In order to keep chuffing noise low, you should limit the peak velocity at 5% of velocity of sound, or about 17 m/s."

Selon Unibox une formule approchée donnant la surface d'évent minimale Se en fonction de la vitesse d'air maximale Ve est :
Se/Sd > racine( 2*Pi*Fb * Xmax / Ve ) avec Xmax en m, Fb en Hz et Ve en m/s.
On notera une forme assez différente de celle proposée par R. H. Small...
En particulier il se pose la question : De quoi dépend Se/Sd ? de Fb ou de racine(Fb) ? de 1/Ve ou de 1/racine(Ve) ?

Après quelques simulations avec les coefficients "usuels " Ql infini, Qa=12 et Qp=11, nous avons obtenus les relations empiriques suivantes :
Pour le bass-reflex Bessel :
        Se/Sd = Fb*Xmax/Ve * (26,16*Qts + 7,75)
        Soit Se ~ 18,5*Sd*Fb*Xmax/Ve pour un Qts de l'ordre de 0,4 à 0,45.
        La vitesse maximale Ve est obtenue à une fréquence de l'ordre de 0,7 à 0,8*Fb.
        L'excursion maximale de la membrane Xmax est obtenue à une fréquence d'environ 1,6*Fb.


Une corrélation un poil plus précise peut être obtenue en ajoutant un terme en Qts^2, mais comme je préfère les choses simples...
Pour le bass-reflex Legendre :
        Se/Sd = Fb*Xmax/Ve * (21,13*Qts + 12,37)
       
Soit Se ~ 21*Sd*Fb*Xmax/Ve pour un Qts de l'ordre de 0,4 à 0,45.
        La vitesse maximale Ve étant obtenue à une fréquence de l'ordre de 0,9 à 0,95*Fb.
        L'excursion maximale de la membrane Xmax est obtenue à une fréquence d'environ 1,4*Fb.
Les unités sont celles du S.I. avec Fb en Hz, Ve vitesse maximale d'air dans l'évent en m/s et Xmax déplacement maximale de la membrane au dessus de Fb en m.
On notera que
la relation Se/Sd en fonction de Fb*Xmax/Ve dépend du Qts du haut-parleur et du type d'accord bass-reflex.
On notera également que la relation de R.H. Small correspond plus à une vitesse d'air dans l'évent d'environ 25 m/s qu'une vitesse de 4,5 m/s...

Maintenant que nous avons une relation claire entre la surface de l'évent Se et la vitesse d'air Ve, revenons à la question : quel critère pour Ve ?
Autrement dit : quel niveau de bruit d'évent est acceptable ?

En reformulant la question ainsi, on comprend bien que la réponse va dépendre du niveau sonore maximale de l'enceinte.
En effet, une enceinte avec un niveau sonore maximale de 120 dB pourra accepter un bruit d'évent plus important (et donc une vitesse d'air dans l'évent plus importante) qu'une autre enceinte avec un niveau sonore maximale de 90 dB.
Il est donc intéressant de raisonner en rapport signal (le niveau sonore maximale de l'enceinte) sur bruit (le bruit créé par une vitesse excessive d'air dans l'évent).

Concernant le bruit, une formule empirique existe pour le calcul des conduits de ventilation (norme VDI 3733) :
        P(dBA) = -5 + 60*log(V) + 10*log(S) - 25*log(T/273) + 8,6*log(ro)
        avec V (m/s) vitesse d'air
        S (m2) section de passage
        T (K) température
        ro (kg/m3) masse volumique de l'air

http://www.cetiat.fr/fr/publicationsveille/veilletechnologique/normes/detail.cfm?sujet=&theme=90&refdoc=&titre=&selectedid=890
Par analogie, nous supposerons que le bruit d'évent d'un bass-reflex dépend également de V^3 et de S.

Le graphe qui suit traduit le fait que, si le niveau sonore maximale de l'enceinte est élevé, la vitesse d'air dans l'évent pourra être élevée :

Ainsi, si on accepte une vitesse d'air dans l'évent de 17 m/s pour un niveau sonore maximale de 90 dB (courbe en bleu), on pourra accepter un peu plus de 50 m/s pour un niveau sonore maximale de 120 dB.
De même, si on accepte une vitesse d'air dans l'évent de 5 m/s pour un niveau sonore maximale de 90 dB (courbe en jaune), on pourra accepter 16 m/s pour un niveau sonore maximale de 120 dB.
De mon point de vue, un bon compromis est la courbe rose ci-dessus avec une vitesse d'air dans l'évent comprise entre 10 et 30 m/s selon le niveau sonore maximale de l'enceinte.



5.6.3 COMMENT CALCULER UNE ENCEINTE BASS-REFLEX ?


(MAJ le 08/02/2012)

La feuille de calcul Excel proposée ci-après prend en compte :
- la résistance de source Rs,
- la correction des mesures "free air" de Fs, Qms et Qes pour un montage dans une enceinte (ce que ne fait pas WinISD),
- la correction d'extrémité d'un évent rectangulaire en fonction de sa forme (ce que ne fait pas WinISD),
- la correction d'extremité pour plusieurs évents rectangulaires, type Onken-Jensen (ce que ne fait pas WinISD),
- la correction d'extrémité pour plusieurs évents circulaires (ce que ne fait pas WinISD),

- la prise en compte de coefficients de pertes Ql, Qa et Qp.


Calcul_Bass-reflex.xls

Un exemple de résultat de calcul pour une enceinte bass-reflex avec un évent rectangulaire et deux RCF LF18G400 ou LF18X400 ou L18P400 :


5.6.4 COMMENT CALCULER UN ÉVENT RECTANGULAIRE ?

On trouve dans la littérature le calcul de l'impédance acoustique d'un piston rectangulaire sur un baffle infini.
- "Radiation impedance of a long narrow rectangular piston in a plane baffle" O.A. Lindeman http://adsabs.harvard.edu/abs/1972ASAJ...52.1045L
- "Radiation impedance calculations for a rectangular piston" G. Bank, J.R. Wright
http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=6031
- "Radiation impedance matrices for rectangular interfaces within rigid baffles: calculation methodology and applications" A.D. Pierce, R.O. Cleveland, M. Zampolli
http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=13489480

Nous déduisons de ces articles, la correction d'extrémité d'un évent rectangulaire.
Cette correction est ici comparée à celle d'un évent circulaire de même surface en fonction du rapport longueur/largeur (a/b). Elle est de 0,988 pour un évent carré et diminue lorsque le rapport a/b augmente : 0,9 pour a/b=3,5 0,8 pour a/b=7 ...

La correction d'extrémité "habituelle" d'un évent circulaire L'=0,825*racine(Se) devient donc :
0,988*0,825*racine(Se) pour un évent carré
0,9*0,825*racine(Se) pour un évent rectangulaire de ratio a/b=3,5
0,8*0,825*racine(Se) pour un évent rectangulaire de ratio a/b=7


Concernant la masse acoustique de l'évent, elle est égale à celle d'un évent circulaire de même surface si la largeur n'est pas trop fine (> 0,5 mm):

http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/technologies-de-l-information-th9/techniques-de-captation-enregistrement-et-restitution-des-images-et-des-sons-42353210/introduction-a-l-electroacoustique-e5150/

A titre de vérification, pour cette enceinte :
http://membres.multimania.fr/ratditcal/plans.pdf
La fréquence d'accord, déduite de la courbe d'impédance, (39,1 Hz) est très voisine de celle obtenue avec ma feuille de calcul (39,2 Hz).
A comparer avec le résultat de WinISD : 36,7 Hz...


5.6.5 COMMENT CALCULER DES ÉVENTS MULTIPLES ?

Le calcul de la longueur d'un évent d'une enceinte bass-reflex inclus une correction d'extrémité afin de prendre en compte la masse d'air entrainée de part et d'autre de l'évent.
Pour une extrémité libre, cette correction est égale à 0,613*racine(Se/Pi)
Pour une extrémité sur écran infini, cette correction est égale à 0,849*racine(Se/Pi)
Avec un évent classique la longueur totale est Lréel + 0,613*racine(Se/Pi) + 0,849*racine(Se/Pi) avec Se = surface de l'évent.

Dans la situation ou plusieurs évents sont présents, la question est : que faut-il prendre comme surface Se afin de calculer les corrections d'extrémités ?

On rencontre dans la littérature trois approches :
- la surface Se à prendre en compte pour la correction d'extrémité est la surface totale des évents :
http://users.ece.gatech.edu/~mleach/ece4445/downloads/ventedbox.pdf
http://pagesperso-orange.fr/francis.audio2/Audiophile26_dec82.pdf (analyse de l'enceinte Onken comme un bass-reflex par Jacques Mahul)
- la surface Se à prendre en compte est la surface d'un seul évent :
http://koti.mbnet.fi/jahonen/Audio/Papers/Portlengths.pdf
http://www.geocities.com/f4ier/vents.htm
- chaque évent est calculé en prenant comme volume d'enceinte Vb / nombre d'évents (cette démarche donne le même résultat que la précédente):
http://mobile.jlaudio.com/support_pages.php?page_id=165
http://www.clubknowledge.com/Car_Audio_FAQ/?t16

Intuitivement, on comprend bien qu'aucune de ces approches ne reflète la réalité puisqu'elles ne prennent pas en compte la distance entre les évents:
Si deux évents sont très proches, le couplage sera maximal.
Si deux évents sont très éloignés, le couplage sera faible.

Sachant que le couplage entre deux évents circulaires de même rayon a s'exprime ainsi :
réactance de rayonnement réduite xr = x*(1+3*Pi/16*a/d) avec x = réactance de l'évent seul et d = distance entre les centres des deux évents.
- "Mutual acoustic impedance between radiators in an infinite rigid plane" R.L. Pritchard
- "Some aspects of the self and mutual radiation impedance concept with respect to loudspeakers" O. Jacobsen http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=2640

Nous en déduisons l'influence du ratio d/a sur la correction d'extrémité dans le cas de deux évents circulaires de même diamètre :

Pour trois évents circulaires alignés comme
http://www.jblpro.com/catalog/General/Product.aspx?PId=70&MId=1
http://fcosinus.com/Dostech/sono/plans/b001-6.gif
il faut prendre en compte la correction d'un seul évent comme ci-dessus multiplié par 5/3.
A titre d'illustration, pour d/a=4 xr/x ~ 1,15 pour 2 évents et xr/x ~ 1+5/3*0,15 ~ 1,25 pour 3 évents alignés.


5.6.6 LA RÉPONSE TRANSITOIRE DU BASS-REFLEX


Jean-Luc Fontaine a publié dans la Revue du Son un article intitulé "La réponse transitoire du bass-reflex" :

http://lephenixnoir.net/Documents/REPTRANSBR.pdf

Pour diverses simulations, l'auteur calculait la durée de la queue de la réponse impulsionnelle.

Ce temps de réponse baptisé Tr, caractérisait le traînage de l’enceinte et était défini par "le temps où l'amplitude de la courbe enveloppe atteint 1/10 de l'amplitude crête".


On le sait, le trainage est un paramètre très important mais malheureusement les résultats figurant dans cet article sont quasiment inutilisables.

Car on ne pourrait comparer les Tr que pour une fréquence de coupure semblable, ce qui n'est pas le cas.


En effet, si la réponse d'un haut-parleur en bass-réflex est de 20Hz et celle d'un autre haut-parleur est de 60Hz, il est certain que, quelque soit l'alignement du bass-reflex, le HP qui descend à 20Hz présentera plus de trainage.

Réciproquement, un long Tr du à une réponse optimale mais à fréquence de coupure (F-3dB) très basse ne doit pas être confondu avec un long Tr obtenu avec un bass-réflex non optimal (forte surtension et retard de groupe très pathologique) et à F-3dB plus élevé...


Il semble donc intéressant de placer les points (F-3,Tr) de chaque charge dans un diagramme temps de réponse Tr en fonction de la fréquence de coupure F-3.
Avec les données de l'article de Jean-Luc Fontaine, on obtient ceci :


Par analogie avec un amplificateur dont le temps de montée est relié à la bande passante par la relation : temps de montée 10%->90% = 0,35 / F-3, nous constatons sans surprise que les points (F-3,Tr) se place autour d'une courbe du type : Tr = constante / F-3.

Cette constante est ici égale à environ 1100 ms*Hz.
C'est cette valeur qui est utilisée pour tracer la courbe en rose ci-dessus (y = 1100/F-3).

Une analyse plus fine montre, toujours sans surprise, que les points au dessus de la courbe moyenne correspondent à un coefficient d'alignement élevé (8 à 10) tandis que les points en dessous de la courbe moyenne correspondent à un coefficient d'alignement bas (2,8 à 4).

De façon plus précise le produit Tr * F-3 est d'environ 1000 pour les faibles coefficients d'alignement (2,8) et d'environ 1200 pour les coefficients d'alignement élevés (8).
Autrement dit, à même fréquence de coupure, un coefficient d'alignement élevé augmente le temps de réponse de 20% par rapport à un coefficient d'alignement faible.

Pour terminer, on notera que tous les accords sont du type Fb=0,39*Fs/Qts. Ont été exclus de cette étude les accords du type BB4/SBB4 (Fb=Fs) ou Bessel qui donnent généralement une meilleure réponse transitoire.

Référence : http://www.audax.fr/forum/read.php?4,6058,page=1


5.6.7 COMMENT CALCULER UN ÉVENT RJ ?

(Ajout le 07/01/2013)

On peut distinguer deux types d'évent RJ.

Le "vrai" RJ illustré par ce brevet de Frank Robbins et William Joseph (d'où le nom RJ) de 1954.
Cette enceinte est caractérisé par un support du haut-parleur situé à l'intérieur de l'enceinte

http://www.freepatentsonline.com/2694463.html

Le programme PVAcoustics propose de simuler ce type d'enceinte :
http://www.pvacoustics.net/index.php

Le "faux" RJ illustré par ce document de Supravox et caractérisé par un support du haut-parleur situé à l'extérieur de l'enceinte.
http://www.supravox.fr/kits/bafflescompenses.pdf

Ce "faux" RJ fait partie de la famille des enceintes bass-reflex.
En première approche, l'évent du baffle RJ est assimilable à un évent "conique" avec les corrections d'extrémités d'évents rectangulaires.

Pour mémoire la fréquence d'accord Fb d'un bass-reflex est définie par :
Fb = 1/(2*pi) * 1/racine(Cab*Ma)
Avec Cab compliance acoustique de l'enceinte  = Vb / (ro*c^2*Se^2)
et Ma masse acoustique de l'évent.

Pour un évent cylindrique de longueur Le et de section Se, la masse acoustique est :
Ma (kg/m4) = ro * Le / Se
Avec ro : lasse volumique de l'air
Le : longueur de l'évent
Se : section de l'évent

Pour un évent non cylindrique, la section de l'évent Se varie le long de l'évent.
La formule ci-dessus est donc inutilisable et il faut donc revenir à une formulation de la masse acoustique indépendante de la forme de l'évent :
Ainsi, pour un évent en forme de disque de rayon intérieur R1, de rayon extérieur R2 et de hauteur h, la surface d'évent coté intérieur est :
Se1 = 2*Pi * h * R1
et la masse acoustique obtenue par intégration est :
Ma = ro / (2*Pi * h) * Ln(R2/R1)

On notera que, si R2 est voisin de R1 (c'est à dire, un évent quasi-cylindrique), on retrouve la formule simplifiée avec Le = R2-R1 et Se = Se1.

Pour reprendre l'exemple de l'enceinte Supravox avec le haut-parleur 215, la masse acoustique de l'évent est calculée en prenant :
ro : masse volumique de l'air = 1,2 kg/m3
h : hauteur de l'évent = 15 mm
R1 : rayon intérieur = 216/2 = 108 mm
R2 : rayon extérieur (en assimilant le carré à un cercle de même surface) = 400/racine(Pi) = 226 mm

La disposition coaxial du haut-parleur et de l'évent est un point fort de ce dispositif.
Par rapport à un évent classique, ce montage augmente le frottement de l'air dans l'évent et génère à priori moins de turbulence.
De plus, la longueur variable de l'évent minimise les résonances.
Enfin, la forme "pavillon" de l'évent assure un meilleur couplage avec l'extérieur.

La longueur relativement faible de l'évent limite l'utilisation de ce montage au médium.

Une dernière chose, d'après ce brevet, ce "faux" RJ peut être complété par un évent bass-reflex classique :
http://www.freepatentsonline.com/6504939.html

5.6.8 BIBLIOGRAPHIE

(MAJ 30/07/2012)

Le modèle sans pertes proposé par A.N. Thiele pour représenter une enceinte bass-reflex demandait 5 paramètres : Fs, Qts et Vas pour le haut-parleur, Fb et Vb pour l'enceinte.
Thiele proposait l'alignement QB3 pour Qts < 0,383, l'alignement B4 pour Qts = 0,383 et l'alignement C4 pour Qts > 0,383 :
Ces alignements QB3/Bu4/C4 peuvent être représentés globalement par Fb = Fs * (0,3827/Qts)^0,91 et Vb = 0,7071 * Vas * (Qts/0,3827)^2,94.
Cette représentation est centrée autour de l'alignement B4 caractérisé par Qts = 0,3827 Fb = Fs et Vb = 0,7071 * Vas
.
Image
http://www.aes.org/publications/anthologies/downloads/jaes_loudspeaker-anthology-1.pdf

R.H. Small a complété ce modèle avec les pertes représentées par Qa, Ql et Qp.
Il montre que chacune de ces pertes a son propre effet sur la réponse en fréquence.

R. H. Small propose ensuite ce graphe en supposant que Ql est prépondérant et que les autres pertes peuvent être "intégrée" dans un nouveau Ql défini par : 1 / Ql "nouveau" = 1/Ql + 1/Qa + 1/Qp.
Il est pris Ql "nouveau" = 7 :

Ce graphe peut s'exprimer sous la forme Fb = 0,42*Fs/Qts^0,9582 et Vb = Vas * (23,807*Qts^2 - 10,283*Qts + 1,2526)

L'article "Sensitivity of Thiele's Vented Loudspeaker Enclosure Alignments to Parameter Variations" de Keele montrait que le Vas a assez peu d'effet sur la réponse en fréquence alors que c'est le paramètre le plus variable dans la fabrication d'un haut-parleur.
http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=1983
http://www.xlrtechs.com/dbkeele.com/PDF/Keele%20%281973-05%20AES%20Published%29Sensitivity%20of%20Alignments.pdf

Snyder propose de réduire le nombre de paramètres décrivant le haut-parleur en utilisant des paramètres peu dépendant de Vas, à savoir Fs/Qts et Vas*Qts^2.
De façon rigoureuse c'est Fs/Qes = BL^2/(2.pi.Re.Mms) et Vas.Qes^2 = Re^2.Mms.Sd^2.ro.c^2/BL^4 qui sont indépendants de la raideur de la suspension 1/Cms et donc de Cas et Vas.

Par ailleurs, Snyder constate que, selon le tableau des alignements de Thiele, Qts*Fb/Fs est à peu près constant et égale à 0,39.

Enfin Snyder introduit un nouveau paramètre Vb/(Vas*Qts^2) qui décrit la forme de la courbe de réponse en fréquence :
Image
Snyder_DesignOfVentedLoudspeakerSystem_nVasQts2.pdf
Cette publication de Snyder a inspiré Jacques Mahul pour son article "Prédétermination des courbes de réponse de système à évent accordé du 4ème ordre" paru dans l'Audiophile n°13 en décembre 1979.
http://www.asrr.org/biblioteca/Revue%20Audiophile/FICHIERS/13/REPONSE/REPONSE.html

W. John Hoge étend le B4, défini pour une seule valeur de Qts, en proposant l'alignement "fourth-order boom-box" (BB4) pour Qts > 0,383 caractérisé par Fb = Fs et (pour Ql=7) par Vb=Vas*5,2358*Qts^2,1687
http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=3364
http://www.wjjhoge.com/Electroacoustics/bb4/bb4.html

Cet alignement a été étendu à Qts < 0,37 par Robert M. Bullock avec le SBB4 caractérisé par
Fb=Fs et Vb=Vas.Qts.(4,96.Qts-0,136).
Bullock_on_Boxes_part4_p27-34.pdf
Le SBB4 est réputé pour donner une meilleure réponse transitoire parmi ces alignements "classique".
On retrouve les tableaux de
Robert M. Bullock dans le livre de Vance Dickason.

WinISD dans sa version Online utilise, comme approximation du "maximally flat alignment" type QB3/B4/C4, ceci Vb/Vas = 20*Qts^3,3 et Fb/Fs = (Vas/Vb)^0,31
http://www.linearteam.dk/default.aspx?pageid=newdriver
On retrouve cet alignement sous l’appellation "Standard Design" dans la feuille de calcul Unibox
http://audio.claub.net/software/kougaard/ubmodel.html

Afin de résumer ce chapitre, voici un premier graphe représentant Fb/Fs en fonction de Qts pour les principaux alignements :
Les alignements QB3/SQB3, C4 et Legendre sont très voisins.
L'accord Bessel se distingue de ces alignements par une fréquence d'accord Fb environ 20% plus basse.
Pour SBB4/BB4, on a Fb/Fs = 1.

Le deuxième graphe représente le volume de l'enceinte en fonction du Qts.
Plutôt que d'utiliser Vb/Vas, nous avons choisi de représenter le volume de l'enceinte par le coefficient d'alignement n = Vb / (Vas*Qts^2).
En effet, ce n indique non seulement le volume de l'enceinte (si Vb augmente, n augmente) mais également la forme de la courbe de réponse en fréquence (voir la courbe de Snyder un peu plus haut).

Pour les alignements Bessel, SBB4/BB4 et Legendre, on vise à peu près la même forme de courbe.
En conséquence, le n est à peu près indépendant du Qts, respectivement 4 à 5 pour Bessel et SBB4/BB4 et environ 8 pour Legendre.
En clair l'alignement de Legendre demande un volume d'enceinte environ 70% plus élevé que les alignements Bessel et SBB4/BB4.

Par contre les alignements QB3/SQB3 et SC4/C4 vont donner des formes de courbe de réponse très variables en fonction du Qts.
Image
Ceci se traduira par une réponse transitoire qui ira de bonne (n < 5 pour Qts < 0,4) à mauvaise (n > 9 Qts > 0,45).
Voir ce graphe où n est ici appelé S :

Le troisième et dernier graphe représente le rapport F-3dB/Fs en fonction de Qts.

Sans surprise, puisque c'était l'objectif !, c'est l'accord de Legendre qui permet d'obtenir la fréquence de coupure F-3dB la plus basse.
Ceci est la conséquence d'un volume d'enceinte plus élevé tout en étant "raisonnable" avec n < 9.




Comments