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Aceleración centrípeta

Esta actividad tiene dos partes, se puede realizar en dos sesiones de trabajo.
En la Parte 1 se encuentra la localización del sensor de aceleración de un teléfono, se hacen cálculos de aceleración centrípeta y se comparan con los medidos por una aplicación del teléfono.
En la parte 2 se hacen medidas de aceleraciones con diferentes radios y dos velocidades angulares.

Materiales

  • Tornamesa de discos de vinilo.
  • Cartón rígido para hacer una plataforma sobre la tornamesa.
  • Teléfono con aplicación de medidas de aceleración. Para realizar esta presentación se usó Physics Toolbox Accelerometer de Vieyra Software, pero otras aplicaciones también funcionan.
  • Regla.


Cuestiones para motivar

Sugerimos preguntas para ser respondidas antes de realizar la experimentación:

  • ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta en un disco de vinilo?
  • ¿En dónde está el sensor de aceleraciones del teléfono?
  • ¿Cómo depende la aceleración del radio de giro?
  • ¿Cómo depende la aceleración de la velocidad de giro?


Parte 1

Los teléfonos que son capaces de rotar el contenido de su pantalla según la orientación del aparato lo hacen gracias a un dispositivo que detecta la dirección de la fuerza de gravedad sobre una masa. En esta página hay una explicación sobre su funcionamiento:

Acelerómetro de teléfono


Aceleración centrípeta

Un objeto que tiene movimiento circular uniforme está sometido a una aceleración de magnitud constante pero de dirección cambiante, siempre apuntando al centro de giro. En la figura 1, a es la aceleración y v es la velocidad tangencial:

Figura 1

 En la figura animada se ve cómo la a siempre apunta al centro de giro.

Figura 2

El valor de la aceleración está dado por la siguiente expresión:

En la que v es la velocidad tangencial y r es el radio de giro.

En una tornamesa la velocidad tangencial depende del radio, por eso es más cómodo expresar la aceleración en términos de la velocidad angular, omega, que es la misma en toda la tornamesa:

La ecuación (1) queda:

La tornamesa puede girar a 33.33 RPM (revoluciones por minuto) o 45 RPM.

En la ecuación, la omega debe estar en radianes/segundo. Para calcular los valores de esas velocidades angulares en radianes por segundo:

1 revolución = 2 X PI radianes, y 

1 minuto = 60 segundos, así:

33.33 rev/min = 33.33 rev X 2 X PI/60 s = 3.49 rad/s, y

45 rev/min = 45 rev X 2 X PI/60 s = 4.71 rad/s.

Así podemos definir las velocidades angulares como:

Esos valores al cuadrado son:


Los valores de aceleración se calculan usando una de estas velocidades angulares al cuadrado y el radio de giro.

El teléfono situado en la tornamesa que gira detecta esa aceleración.

 Figura 3

Si la línea desde el sensor hasta el centro es paralela al eje y del teléfono, la aceleración centrípeta sería la del eje y, mientras que la del eje x valdría cero.

 

Figura 4

Si el sensor está justo en el eje de giro, como el radio vale cero, la aceleración es cero. 

 Figura 5

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Desarrollo

Es necesario quitar la pieza del centro de la tornamesa o bien ajustar sobre ella una cubierta, que puede ser de cartón grueso, elevada para situar encima al teléfono. Sobre la cubierta se dibujan dos líneas perpendiculares que se cruzan justo en el centro de giro.

Como se ve en la gráfica de la figura 6, el teléfono en reposo mide aceleración cero en los ejes horizontales x y y (líneas roja y verde), en el eje z (azul), el vertical, mide una aceleración de 1 g.

 


Figura 6

De aquí en adelante no consideraremos esta aceleración g en z pues siempre es igual.

NOTA: En la aplicación usada como ejemplo, los valores de las aceleraciones están en unidades g, es decir, múltiplos del valor de la aceleración de la gravedad. Así, si a = 0.4 g, es igual a 0.4 X 9.8 m/s2 = 3.92 m/s2.

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Procedimiento

Se trata de situar el teléfono de manera que el sensor de aceleraciones quede en el eje de giro. Se sitúa el teléfono en un primer sitio, se hace correr la aplicación, se registran los datos y la tornamesa se pone en marcha durante unos segundos. Al detenerla se suspende el registro de datos y se observa la gráfica. Se modifica la posición del teléfono para aproximarse a la deseada, se repite el procedimiento. Esto se hace al tanteo, pero con método, las imágenes ilustran un ejemplo (No tienen que hacer lo mismo, es posible que encuentren una manera mejor):


Figura 7

Aquí el registro indica que las aceleraciones x y y son positivas, las líneas de la gráfica están por encima del valor cero, eso nos dice que el sensor está abajo y al centro, como lo indica la figura 8:

Figura 8
Al cambiar de sitio al teléfono se obtiene esto:


Figura 9

Ahora ambas aceleraciones son negativas, las líneas están debajo del eje, el sensor quedó arriba y a la derecha del centro:



Figura 10

En una nueva posición se obtiene que la aceleración en x vale cero, la posición x del sensor es la buscada:



Figura 11

La línea roja de la x está en cero y la verde de y está debajo, es  negativa en y nos indica que el sensor está por arriba:



Figura 12
Al fin se logra que ambas aceleraciones valgan cero:

Figura 13

Ambas líneas de la gráfica están sobre el eje, las aceleraciones valen cero, es decir el radio de giro vale cero. El sensor ha quedado sobre el centro de giro:

Figura 14

Cada modelo de teléfono tiene el sensor en una posición distinta a otros teléfonos. Prueben con teléfonos diferentes.

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Verificación

Una manera de confirmar que se ha encontrado la localización del sensor es situar el teléfono en una nueva posición, medir la aceleración y compararla con la calculada según el radio de giro que medimos a la supuesta posición del sensor.

Pueden pegar un papelito sobre la pantalla del teléfono que indique la posición del sensor.

En el ejemplo siguiente el radio de giro se escoge de 10 cm. Para simplificar el procedimiento y no hacer cálculos con el eje x se sitúa el sensor sobre el eje y.

Figura 15

En la pantalla se observa que el valor de la aceleración en x es cero y en y es -0.23 g, negativo, lo que indica que el centro de giro está debajo del sensor. La magnitud de la aceleración resultante es igual a la de la aceleración en y:

Es decir, 0.23 X 9.8 m/s2:

La velocidad angular era de 45 RPM, que según la ecuación (7), la omega al cuadrado es 22.2 rad2/s2. Al aplicar la ecuación (3):

El acuerdo con (9) es bueno, confirmamos haber localizado al sensor.

 

Realicen al menos otra verificación, usando la frecuencia menor, de 33.33 RPM.

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Observamos y agregamos

¿Observaron que el trazo en las gráficas no es una línea recta sino que es ondulada? ¿Cuánto vale la frecuencia de esa leve variación? ¿A qué piensan que se debe?

La figura 16 es de un registro en el que se observan dos cosas:

Figura 16

1. Hay un cambio de frecuencia, se nota por el cambio del tamaño de la ondulación. Eso es porque se hizo cambiar bruscamente a la tornamesa de 33.33 a 45 RPM.

2. La amplitud de la ondulación es mayor que en los trazos mostrados antes. Eso se provocó al hacer algo a la tornamesa. Experimenten para variar esa amplitud de la ondulación de la gráfica (Pista: recuerden que el sensor, además de registrar aceleraciones, también es sensible a la fuerza de gravedad).

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Parte 2

En esta parte se harán medidas de la aceleración a diferentes radios de giro y usando las dos velocidades angulares de la tornamesa.

El procedimiento es el mismo de la parte Verificación en la Parte 1:

Se sitúa el teléfono de manera que el radio de giro quede alineado con uno de los ejes x o y, se mide la distancia del centro al sensor y se registra la aceleración a al hacer girar la tornamesa.

La siguiente es una tabla de ejemplo de diferentes radios y aceleraciones medidas, los estudiantes hacen una semejante, puede tener otros valores, y la llenan con sus datos obtenidos.


Análisis de datos

Según la ecuación (3) la aceleración es proporcional al radio de giro. Esto es sencillo de verificar con los datos de la tabla. Al hacer una gráfica de radio vs aceleración se debían obtener puntos sobre los que se puede ajustar bien una recta.

Los valores al cuadrado de las aceleraciones dados por las ecuaciones (6) y (7) están en la proporción: 22.21/12.18 = 1.82. Este mismo valor debía tener la proporción entre las aceleraciones de un mismo radio en las dos velocidades angulares. Esto es fácil de verificar.

Si se desea tener los valores numéricos con mayor precisión ver esto:

NOTA: Las aplicaciones de acelerómetro de teléfono pueden almacenar los datos en forma de un archivo de texto tipo .csv (separación de valores por coma) que puede ser enviado por correo o compartido de otras maneras y ser abierto en Excel para tener los valores numéricos respecto al tiempo y hacer una gráfica.


Construcción de explicaciones

La actividad, más que ser un experimento, consistió en una verificación de relaciones entre variables. Sin embargo, es posible dar una explicación sobre el procedimiento, por ejemplo:

¿Por qué no se tomó en cuenta el valor de la aceleración en z?

¿Por qué se escogieron posiciones en las que una de las coordenadas, x o y, valía cero?

Si no fuera así, es decir si se tienen valores diferentes a cero en x y y, ¿cómo se calcula el valor de la aceleración?

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Conclusiones

Las preguntas guían para concluir:

  • ¿Cómo encontraron la posición del sensor de aceleraciones en el teléfono?
  • ¿Cómo depende la aceleración centrípeta del radio de giro?
  • ¿Cómo depende la aceleración centrípeta de la velocidad angular?


Algo más

En un juego de feria los pasajeros de un tren están sometidos a fuerza centrípeta al moverse sobre rieles que forman un arco circular. Si el círculo está en un plano vertical, el acelerómetro que lleva un pasajero detecta, además de la aceleración centrípeta, a la fuerza de gravedad.

Hagan un diagrama de vectores de cómo piensan que sería la aceleración marcada por el sensor en diferentes puntos de la trayectoria.

Quizá lo puedan comprobar la próxima vez que se suban a un juego de feria. 

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