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    2.9 ANÁLISIS DE ERRORES EN LA MEDICIÓN



    1.1 INTRODUCCIÓN

    El proceso de medición es de fundamental importancia en la actividad científica, cualquiera sea la especialidad u orientación. En las ciencias aplicadas, por ejemplo, los ingenieros que trabajan en diseño deben conocer las características de los materiales que planean utilizar. Es decir, alguien debe caracterizar estos materiales a través de mediciones y, una vez realizadas estas mediciones, debe establecer su grado de incerteza, lo cual requiere un análisis de errores. Los ingenieros que están a cargo de la seguridad de los aviones, trenes o automóviles deben estimar, por ejemplo, las incertezas relacionadas con los tiempos de respuesta humanos, tanto en la distancia de frenado como en una gran variedad de otras cantidades. Una falla en el análisis de errores puede traer como consecuencia accidentes increíbles. En las ciencias básicas, el proceso de medición y el análisis del error tienen una importancia aun mayor, pues están relacionados íntimamente con el método científico. El proceso o método científico funciona de la siguiente forma: en primer lugar, tratamos de describir alguna clase de fenómeno de la naturaleza a través de un modelo matemático simple. Analizamos el modelo ya sea analíticamente, con lápiz y papel, o a través de simulaciones numéricas, tratando de encontrar cuáles son las consecuencias o predicciones del modelo simple. Una vez obtenidas, las comparamos con experimentos y observaciones. Si existe un acuerdo entre lo predicho y lo observado, entonces decimos que hemos logrado, en algún sentido, comprender parte de la naturaleza. A pesar de que esta descripción simple del proceso científico es cruda y epistemológicamente criticable, nos muestra que tanto el surgimiento de nuevas teorías como la verificación de sus predicciones dependen de observaciones y mediciones.



    1.2 PROCESO DE MEDICIÓN DE ERRORES

     

    Aunque existen innumerables procesos de medición diferentes, todos ellos culminan con la obtención de un resultado, el cual es afectado por distintos errores que surgen de la interacción entre el aparato de medida, el observador y el sistema bajo estudio. Veamos con algunos ejemplos cómo es la interacción entre estos tres elementos. Supongamos, en primer lugar que Ud., joven de buena vista, desea medir con un calibre el diámetro de un postre de gelatina, o la altura de un bizcochuelo esponjoso, recién sacado del horno. Aunque el error asociado con el observador y el instrumento de medida es probablemente pequeño comparado con el valor que se desea medir, el objeto a medir se deformará al contacto con el instrumento, por lo cual el error final de la medición puede ser ostensiblemente mayor que la menor división en la escala del instrumento de medida.

    Veamos ahora otra situación: Ud. desea medir el diámetro de un cilindro de acero con un calibre, pero le son colocados unos anteojos de vidrio esmerilado. En este caso, aunque el objeto puede considerarse indeformable dentro de la precisión con que mide el calibre, el error de la medición será probablemente mayor que la mínima división en la escala del instrumento debido a limitaciones en la capacidad de observación. Por último, imagine que Ud., ahora sin los anteojos limitando su visión, trata de medir el diámetro del cilindro de acero usando un centímetro de costura. Está claro ahora que la limitación en la precisión de la medida estará dada por el instrumento de medición.

    Los errores asociados a las mediciones pueden dividirse en dos grandes clases: a) errores sistemáticos, y b) errores aleatorios. Los errores sistemáticos, tal como su nombre lo indica, se cometen de una misma manera cada vez que se mide.  Muchos errores sistemáticos pueden eliminarse aplicando correcciones muy simples.  Un ejemplo de la vida diaria está en el ajuste de cero que Ud. encontrará en las balanzas de baño o cocina. Otro caso de error sistemático es, por ejemplo, el asociado a la medición de la presión atmosférica con un barómetro de mercurio. Allí debe corregirse la lectura por la diferencia en los coeficientes de expansión térmica del mercurio y del material con que está hecha la escala del barómetro. Estos errores son llamados también errores corregibles o determinados, a fines de distinguirlos de los errores aleatorios, los cuales se encuentran en toda medición y están fuera del control del observador. 

    Los errores sistemáticos no se manifiestan como fluctuaciones aleatorias en los resultados de las mediciones.   Por lo tanto, dado que el mismo error está involucrado en cada medición, no pueden eliminarse simplemente repitiendo las mediciones varias veces [imagine, por ejemplo, que Ud. utiliza (sin darse cuenta) una regla a la que le faltan dos centímetros en el extremo del cero]. En cosecuencia, estos errores son particularmente serios y peligrosos, y pueden eliminarse sólo después de realizar cuidadosas calibraciones y análisis de todas las posibles correcciones. Algunas veces, los errores sistemáticos se manifiestan como un corrimiento en valores medidos consecutivamente o como un cambio en el valor experimental medido cuando se cambia la técnica experimental de medición.

    La segunda clase de errores, los errores aleatorios o accidentales, aparecen como fluctuaciones al azar en los valores de mediciones sucesivas. Estas variaciones aleatorias se deben a pequeños errores que escapan al control del observador. Por ejemplo, si leemos varias veces la presión indicada por la escala de un barómetro, los valores fluctuarán alrededor de un valor medio. Estrictamente hablando, nunca podremos medir el valor verdadero de ninguna cantidad, sino sólo una aproximación. El propósito del tratamiento de los datos experimentales es justamente determinar el valor más probable de una cantidad medida y estimar su confiabilidad.


    Para tener una visión más intuitiva de la diferencia entre errores aleatorios y sistemáticos, observe la analogía presentada en la siguiente figura:


    Errores aleatorios y sistemáticos en un ejercicio de práctica de tiro.

    a) Debido a que las marcas de los disparos están muy cerca unas de otras, podemos decir que los errores aleatorios son pequeños. Debido a que la distribución de disparos está centrada en el blanco, los errores sistemáticos también son pequeños.

    b) Los errores aleatorios son todavía pequeños, pero los sistemáticos son mucho más grandes –los disparos están sistemáticamente corridos hacia la derecha.

    c) En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistemáticos son pequeños –los disparos están muy dispersos, pero no están sistemáticamente corridos del centro del blanco.

    d) Aquí ambos errores son grandes.


    En este caso, el experimento consiste en una serie de disparos hechos a un blanco de tiro. Aquí los errores aleatorios están producidos por cualquier causa que haga que los proyectiles lleguen aleatoriamente a distintos puntos. Por ejemplo, puede ser que las condiciones atmosféricas entre el arma y el blanco distorsionen la visión del blanco en forma aleatoria. Los errores sistemáticos ocurren cuando existe alguna causa por la cual los proyectiles impactan fuera del centro en una forma sistemática. Podría ser, por ejemplo, que la mira del arma estuviese desviada. A partir de esta figura también podemos definir con claridad dos palabras comúnmente utilizadas en el proceso de medición: precisión y exactitud. Diremos que una medición es precisa cuando la dispersión de los distintos valores obtenidos es pequeña, es decir, cuando los errores aleatorios son pequeños. Por otra parte, diremos que una medición es exacta cuando los errores sistemáticos asociados con ella son pequeños.

    Aunque esta figura es una excelente ilustración de los efectos de los errores aleatorios y sistemáticos, es engañosa en cierto sentido. Debido a que hemos dibujado el blanco en cada una de las figuras, podemos ver fácilmente cuán exacto ha sido un disparo en particular. En particular, la diferencia entre los casos a) y b) es evidente: claramente el error sistemático es grande en el caso b). En el laboratorio, sin embargo, no tenemos la referencia del blanco. Nadie nos muestra la posición relativa de los disparos respecto a una referencia externa. Saber la posición de los disparos respecto del centro del blanco equivale en la práctica a conocer el verdadero valor de la cantidad a medir, valor que, por supuesto, nos es desconocido en la inmensa mayoría de los casos. Todo lo que podemos evaluar es la precisión de nuestras mediciones, que está relacionada con la dispersión de nuestros valores. La exactitud, dependiente de los errores sistemáticos que cometemos al medir, es más difícil de evaluar que la precisión. Como dijimos anteriormente, los errores sistemáticos pueden ser difíciles de encontrar, aunque tienen la ventaja de que una vez localizados pueden ser corregidos.



    1.3 COMO EXPRESAR LAS INCERTEZAS


    La forma correcta de escribir el resultado de una medición es dar la mejor estimación del valor de la cantidad medida y el rango dentro del cual Ud. puede asegurar que este valor se encuentra. Convencidos de que no existe tal cosa como el valor real de una cantidad a medir, debemos conformarnos con saber dentro de qué intervalo estamos seguros que la cantidad a medir se encuentra. Supongamos, por ejemplo, que deseamos medir el diámetro de una esfera de granito con una regla, como lo muestra la figura.

     

    Midiendo el diámetro de una esfera con una regla.

     

    Observando la figura, podemos decir que el diámetro de la esfera es con seguridad mayor que 16 mm y menor que 17 mm, pero no es posible dar una lectura más precisa. En este caso, expresaremos el resultado como

     

    mejor estimación de la longitud = 16.5 mm,

    rango probable: 16 a 17 mm.

     

    Este resultado puede escribirse en forma más compacta como:

     

    valor medido de la longitud = 16.5 ± 0.5 mm.

     

    En general, el resultado de una medición cualquiera se expresa como

     

    (valor medido de x ) = xmejor ± Dx.

     

    Cifras significativas

    Existen varias reglas usadas para expresar las incertezas que vale la pena enfatizar. En primer lugar, debido a que la cantidad Dx es una estimación de la incerteza, obviamente no debe establecerse con demasiada precisión. Si medimos la aceleración de la gravedad g, sería absurdo escribir el resultado como

     

    (g medido) = 9.82 ± 0.02385 m/s2.

     

    No hay forma de conocer la incerteza en la medición con cuatro cifras significativas! En trabajos de gran precisión, las incertezas se establecen a veces con dos cifras significativas, pero para nuestros propósitos podemos establecer la siguiente regla:


    Regla para expresar las incertezas

    Las incertezas experimentales deben ser redondeadas en la mayor parte de los casos a una sola cifra significativa.


    Por lo tanto, si un cálculo resulta en una incerteza Dg = 0.02385 m/s2, la respuesta debe redondearse a Dg = 0.02 m/s2, y el resultado anterior debe escribirse

     

    (g medido) = 9.82 ± 0.02 m/s2.

     

    Esta regla tiene sólo una excepción significativa. Si el primer dígito en la incerteza Dx es un 1, entonces puede ser mejor mantener dos cifras significativas en Dx. Por ejemplo, supongamos que un cálculo resulta en una incerteza Dx = 0.14. Redondear este número a Dx = 0.1 resulta en una disminución substancial (del orden del 40%!), de forma tal que podemos afirmar que es más correcto en este caso retener dos cifras significativas, escribiendo la incerteza como Dx = 0.14.

    Una vez que se ha estimado la incerteza en la medición, deben considerarse las cifras significativas del valor medido. Un resultado escrito como

     

    velocidad medida = 6051.78 ± 30 m/s

     

    es obviamente ridículo. La incerteza de 30 significa que el dígito 5 podría ser realmente tan pequeño como 2 o tan grande como 8. Claramente, los dígitos siguientes 1, 7 y 8 no tienen ningún significado y debieran ser redondeados. Es decir que la forma correcta de escribir este resultado es

     

    velocidad medida = 6050 ± 30 m/s.

     

    La regla general es esta:


    Regla para escribir los resultados

    La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud (estar en la misma posición decimal) que la incerteza.


    Por ejemplo, la respuesta 92.81 con una incerteza de 0.3 debiera redondearse a

    92.8 ± 0.3.

    Si la incerteza es 3, la misma respuesta debiera redondearse a

    93 ± 3,

    y si la incerteza es 30, la respuesta debiera ser

    90 ± 30.

    Tenga en cuenta que estamos refiriéndonos a cómo expresar el resultado final. Las reglas de redondeo obviamente no se aplican a cálculos intermedios.

     

    Incerteza o error relativo

    La incerteza Dx en una medición,

     

    (x medido) = xmejor ± Dx,

     

    indica la precisión de la medición. Sin embargo, la incerteza Dx por sí misma no nos dice demasiado. Una incerteza de un centímetro en una distancia de un kilómetro indicaría una medición inusualmente precisa, mientras que una incerteza de un centímetro en una distancia de tres centímetros indicaría una estimación grosera. Obviamente entonces, la calidad de una medición no está dada sólo por la incerteza Dx sino también por el cociente entre Dx y xmejor, lo cual nos lleva a definir el error o incerteza relativa:

     

    error relativo = Dx /|xmejor|.

     

    En la mayoría de las mediciones medianamente cuidadosas, la incerteza Dx es mucho menor que el valor medido xmejor. Debido a que el error relativo Dx /|xmejor| resulta ser entonces un número pequeño, es conveniente a veces multiplicarlo por 100 y referirse a él como el error o incerteza porcentual. Por ejemplo, la medición

     

    longitud l = 50 ± 1 cm

     

    tiene un error relativo

     

    Dl /|lmejor| = 1 cm / 50 cm = 0.02

     

    y un error porcentual de 2%. Por lo tanto, el resultado puede escribirse también como

     

    longitud l = 50 cm ± 2%.

     

    El error porcentual es una indicación aproximada de la calidad de la medición, cualquiera sea el tamaño de la cantidad medida. Errores porcentuales del 10% comúnmente caracterizan a las mediciones gruesas. (Una medición gruesa de 10 cm podría tener una incerteza del orden del cm; una medición gruesa de 10 kilómetros podría tener una incerteza del orden del kilómetro). Incertezas relativas del 1 o 2% son características de experimentos razonablemente cuidadosos y están cerca del mejor valor que puede obtenerse en experimentos de laboratorio de nivel introductorio. Errores relativos menores al 1% son difíciles de obtener y son raros de encontrar en el laboratorio de nivel introductorio.

    Esta clasificación es, por supuesto, muy gruesa. Por ejemplo, una buena cinta métrica puede medir una distancia de 3 metros con una incerteza del orden de un tercio de milímetro, o aproximadamente 0.1%. En todo caso debemos recordar, sin embargo, que el proceso de medición involucra al aparato de medida, al observador y al sistema a medir, y existen errores asociados a cada uno de ellos. Aunque la cinta métrica de este ejemplo pueda permitir mediciones con una precisión del 0.1%, puede que los demás factores involucrados en la medición empeoren la precisión del resultado final.




    1.4 PROPAGACIÓN DE ERRORES

     

    Qué sucede cuando debemos combinar más de una medición para obtener el resultado buscado? Cómo estimamos la incerteza del resultado final? Veamos algunos casos simples para comenzar. Para estimar la incerteza en la suma x + y o la diferencia x - y, tenemos que decidir cuáles son los valores probables más altos y más bajos del resultado. Los valores probables más alto y más bajo para x son xmejor± Dx, y para y son ymejor ± Dy. Por lo tanto, el valor probable más alto de x + y es:

     

    xmejor + ymejor + (Dx + Dy ),

     

    y el valor probable más bajo es

     

    xmejor + ymejor - (Dx + Dy ).

     

    Por lo tanto, la mejor estimación para q = x + y es

     

    qmejor = xmejor + ymejor,

     

    y su incerteza es

    Dq ~ Dx + Dy .

     

    Un argumento similar muestra que la incerteza de la diferencia q = x y está dada por la misma expresión, Dq ~ Dx + Dy . (Demuéstrelo!). Es decir que la incerteza en la suma x + y o la diferencia x  y es la sumaDx + Dy de las incertezas en x e y. En caso de que tengamos varios números x, ..., w a ser sumados o restados, repitiendo el argumento anterior llegamos a la siguiente regla:


    Incerteza en las sumas o diferencias

    Si se miden varias cantidades x, ... , w   con incertezas Dx, ... , Dw, y se utilizan los valores medidos para calcular la cantidad

    q = x + ... + z – (u + ... + w),

    entonces la incerteza en el valor calculado de q es la suma

    Dq ~ Dx + ... + Dz + Du + ... + Dw,

    de todas las incertezas originales.


    Veamos ahora el caso de un producto q = xy. Sabiendo que el valor medido de x es xmejor ± Dx, y que el valor medido de y es ymejor ± Dy, podemos escribir

     

    (valor de q) = (xmejor ± Dx)(ymejor ± Dy).

     

    Desarrollando este producto obtenemos

     

    (valor de q) = xmejor ymejor ± (Dx ymejor + xmejor Dy 

    + Dx Dy).

     

    En el caso generalmente encontrado en la práctica en que Dx y Dy son cantidades pequeñas, podemos despreciar el último término del paréntesis frente los dos primeros. Esto nos lleva entonces al siguiente resultado:

     

    qmejor = xmejor ymejor,

     

    Dq ~ Dx ymejor + xmejor Dy.

     

    Es conveniente expresar la incerteza del producto como una incerteza relativa, es decir, dividir esta última expresión por |q| = |qmejor| = |xy|:

     

    Dq /|q| ~ Dx /|x| + Dy /|y|.

     

    Concluimos entonces que la incerteza relativa del producto de dos cantidades x e y es igual a la suma de las incertezas relativas de x e y. Veamos ahora el caso de la incertidumbre relativa de un cociente q = x/ y. En este caso podemos escribir

     

    (valor de q) = xmejor (1 ± Dx/|x|)/[ymejor (1 ± Dy /|y|)] = 

     

    = (xmejor / ymejor) [(1 ± Dx /|x|) / (1 ± Dy /|y|)],

     

    donde

     

    (valor de x) = xmejor ± Dx = xmejor (1 ± Dx /|x|).

     

    Nuestro problema ahora es encontrar los valores probables extremos de la cantidad q. Esta cantidad es máxima cuando el numerador alcanza su valor máximo 1 +D x /|x|, y el denominador toma su mínimo valor, 1 - Dy /|y|. Entonces, el valor máximo que puede tomar q = x/y es

     

    (valor de q) = (xmejor / ymejor) [(1 + Dx /|x|) / (1 - 

    - Dy /|y|)].

     

    El factor entre corchetes tiene la forma (1 + a)/(1 – b), donde los números a y b son normalmente pequeños (es decir, mucho menores que 1). Este factor se puede simplificar usando dos aproximaciones. Primero, y teniendo en cuenta que b es pequeño, el teorema del binomio nos permite escribir

     

    1 / (1 – b) ~ 1 + b.

     

    Por lo tanto,

     

    (1 + a) / (1 – b) ~ (1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab ~ 1 + a + b,

     

    donde, por ser a y b números pequeños, hemos despreciado su producto ab frente a los demás términos de la suma. El valor probable más grande de la cantidad q puede escribirse entonces como

     

    (valor más grande de q) = (xmejor / ymejor) (1 + Dx /|x| +

    + Dy /|y|).

     

    Un cálculo semejante muestra que el valor probable más pequeño está dado por una expresión similar con dos signos negativos (demuéstrelo!). Combinando las dos, encontramos que

     

    (valor de q) = (xmejor / ymejor) [1 ± (Dx /|x| + Dy /|y|)].

     

    Comparando esta expresión con la forma común de expresar un resultado

     

    (valor de q) = qmejor (1 ± Dq /|q|),

     

    vemos que el mejor valor para q es qmejor = xmejor / ymejor , como esperábamos, y que la incerteza relativa está dada por

     

    Dq /|q| ~ Dx /|x| + Dy /|y|.

     

    Concluimos entonces que cuando multiplicamos o dividimos dos cantidades medidas x e y, el error relativo de la respuesta es la suma de los errores relativos de x e y. Este resultado lleva a la siguiente regla:


    Incerteza en productos y cocientes

    Si se miden varias cantidades x, ... , w con pequeñas incertidumbresDx, ... , Dw, y los valores medidos se utilizan para calcular

    q = (x x ... x z) / (u x ... x w), q = (x x ... x z) / (u x ... x w), q = (x x ... x z) / (u x ... x w),

    entonces la incertidumbre relativa del valor calculado de q es la suma

    Dq /|q| ~ Dx /|x| + ... + Dz /|z| + Du /|u| + ...

    ... + Dw /|w|

    de las incertidumbres relativas en x, ... , w.

     

    Esta regla contempla un par de casos particulares: la multiplicación de una cantidad medida por una constante, y la incerteza al calcular una potencia de una cantidad medida. En el caso de la multiplicación por una constante B, q = Bx, la incerteza relativa de este producto es la suma de las incertezas relativas de los factores. Como DB = 0, entonces la incerteza relativa de q es igual a la incerteza relativa de x, o sea Dq/|q| = Dx /|x|. El resultado puede entonces escribirse como la siguiente regla:

     

    Cantidad medida multiplicada por un número exacto

    Si se mide una cantidad x con incerteza Dx y se utiliza para calcular el producto

    q = Bx, q = Bx, q = Bx,

    donde B no tiene incerteza, entonces la incerteza en q es |B| veces la incerteza en x,Dq = B Dx.

     

    El segundo caso particular de la regla de adición de incertezas relativas para el producto contempla el caso de elevar a una potencia una cantidad medida. Por ejemplo, podemos medir la velocidad v de un objeto y luego calcular v2 para encontrar su energía cinética. Debido a que v2 = v x v, la incerteza relativa de la cantidad v2 es eldoble de la incerteza relativa en v. La regla general para las potencias es entonces como sigue:

     

    Incerteza en una potencia

    Si se mide una cantidad x con una incerteza Dx y el valor medido se utiliza para calcular la potencia

    q = xn, q = xn, q = xn,

    entonces el error relativo en q es n veces aquel en x, o sea

    Dq /|q| = n Dx /|x|.

     

    Aunque no lo hemos demostrado, esta regla vale para todo n real. Para el caso en que en exponente n es negativo, Dq /|q| = |n| Dx /|x|.



    PUEDES VER EL SIGUIENTE VÍDEO PARA COMPLEMENTAR EL TEMA:


    Vídeo de YouTube




    De estas paginas se extrajo la información dada anteriormente: 

    http://youtube.com/watch?v=fXOF8ReT958



    ELABORADO POR: 




    Centro de Bachillerato Tecnológico  
    industrial y de servicio  N°162.
                                                                
    "Gral. Lázaro Cárdenas del Río"


    Esquivel Guijosa María Guadalupe  

    Informática  5° "G"  









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