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    2.7.- ECUACIONES Y ANALISIS DIMENCIONALES

    ·       ECUACIONES Y ANALISIS DIMENCIONALES
     

     

     

     

    v ANALISIS DIMENSIONAL

    El análisis dimensional es una potente herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema Π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada a dimensionales más reducido. Estos parámetros a dimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

    ·       Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio

     

    ·Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema 
     
     
     
     
     

    El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números a dimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real.

    Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.

     


     
     

    TEOREMA DE PI-BUCKINGMAN

     

     

    El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números a dimensionales construidos con las variables originales.

    Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros a dimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas formas la elección de parámetros a dimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.

     

     

    LISTA DE NUMEROS ADIMENSIONALES

     

     
     
     
     
     
     
     

     

    PROCEDIEMENTO PARA EL ANALISIS DIMENSIONAL

     

    Para reducir un problema dimensional a otro a dimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:

    1.    Contar el número de variables dimensionales n.

    2.    Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) m

    3.    Determinar el número de grupos a dimensionales. El número de grupos o números a dimensionales (Π) es n - m.

    4.    Hacer que cada número Π dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una de las n - m variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemática; ello para asegurar que los números a dimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).

    5.    Cada Π se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.

    6.    El número Π que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números a dimensionales.

        7.En caso de trabajar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus números a dimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.
     
     
     
     
     
     

    APLICACIONES DEL ANALISIS DIMENSIONAL

    ·       Detección de errores de cálculo.

    ·       Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.

    ·       Creación y estudio de modelos reducidos.

    ·       Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.

     


     
      

    v ECUACIONES DIMENSIONALES

    Son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas. Las ecuaciones dimensionales se usan los símbolos de las magnitudes fundamentales .Cada símbolo está afectado de un exponente que indica las veces que dicha dimensiòn interviene en la magnitud derivada, las cuales se usan para probar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.

     
     
     

     
     

    CLASIFICACION POR SISTEMA

    Sistema Absoluto:

     

    ·       Unidad de masa:

    ·       Unidad de longitud:

    ·       Unidad de tiempo:

     
                   

     

    Sistema Técnico:

    • Unidad de Fuerza:

      Unidad de longitud:

      Unidad de tiempo:

       


      

    ECUACIONES DIMENSIONALES MÁS COMUNES
     

    *Longitud:

              * Área:     
     

    *Volumen:

     

    *Velocidad:

     

    *Aceleración:

     

    *Velocidad Angular, Frecuencia:

     

    *Aceleración Angular:

     

    *Período:

     

    *Fuerza, Empuje, Tensión:

     

    *Trabajo, Torque, Energía:

     

    *Potencia:

     

    *Densidad:

     
    *Presión:
     

     

     

     

     

    ·       Al aplicar una ecuación o fórmula física, debemos recordar dos reglas:

     

    1.   Las dimensiones de las cantidades físicas a ambos lados del signo de igualdad, deben ser las mismas.

    2.     Sólo pueden sumarse o restarse cantidades físicas de la misma dimensión.

     

    Ejemplo:

     

    Partiendo de las dimensiones: longitud (L), masa (M) y tiempo (t), obtendremos las ecuaciones dimensionales de algunas cantidades físicas:

     

    •  Ecuación dimensional para el área:

     

    A = lado x lado = l. l = l 2

     

    •  Ecuación dimensional para la velocidad:

     

    V = d / t = l / t

     

    Si conocemos las dimensiones de una cantidad física podemos trabajar las unidades correspondientes según el sistema de unidades.

     

     

    EJEMPLO

     

    Demostrar que la fórmula

    d = (V0t + at^2) / 2

    es dimensionalmente válida.

     

    SOLUCIÓN.

    Sustituyendo las cantidades físicas por sus dimensiones tenemos que:

    Por lo tanto l = l

     

     


     

     

    VIDEOS

     

     
     

     

     
     

    FUENTE DE INFORMACION

     

     
     
     

    ELABORADO POR

     
    DIAZ MENDOZA LILIANA 5 "G" 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

     

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