FISICA‎ > ‎

3.11.- SUMA DE MÁS DE DOS VECTORES CONCURRENTES

Vectores concurrentes

Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.

 
 
 
Ejemplo 1

Un libro, cuyo peso es de 10 N, se encuentra en reposo sobre una mesa (N representa  newton, que es la unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI. Un newton equivale, aproximadamente, a un cuarto de libra).

Ver la figura 1

Figura 1 Los vectores se representan con flechas

 

Note que la flecha representando el vector w tiene una longitud aproximada de 2 cm, y apunta en la dirección del peso del libro. En este caso se ha elegido una escala tal que 10 N corresponden a 2 cm. Si se aplicara una fuerza horizontal, F, de 15 N, para empujar el libro hacia la derecha, esta fuerza estaría representada por una flecha paralela a la superficie de la mesa, con una longitud de 3 cm, ya que cada 5 N equivalen a 1 cm en la escala escogida. Observe que cuando se usa una letra para referirse a un vector ésta se escribe más oscura, para distinguirla de los escalares. ¿Qué longitud tendría una flecha para representar a un vector de 100 N si se usara la misma escala de 5 N por centímetro?

 

Ejemplo 2

Asuma que la fuerza necesaria para levantar el peso de una persona adulta es de aproximadamente 600 N. En la escala que se usó en el Ejemplo 1, la longitud de la flecha que representaría a esta fuerza sería de 600 N / 5 N/CM =120 CM. Claramente en este caso, debido a que en una hoja de papel de maquinilla no tendríamos suficiente espacio para dibujar una flecha de esta magnitud, se debe modificar la escala y asumir, por ejemplo, 1 cm por cada 100 N, con lo cual la longitud de la flecha se reduciría a sólo 6 cm. La elección de una escala es asunto de conveniencia para quien quiera usar flechas para dibujar vectores en un espacio limitado al tamaño del papel.

 

Método del polígono para sumar vectores

Este método es geométrico. Se describe a continuación mediante el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3

Sean A = 10 N, B = 15 N y C = 5 N tres vectores tales que A apunta directamente hacia la derecha, B hacia arriba y C, 45º hacia abajo de la horizontal y hacia la izquierda. Note que cuando nos referimos solamente a la magnitud de los vectores los escribimos con trazo delgado. Se quiere representar estos vectores mediante flechas

 

Figura 2 Tres fuerzas A, B, y C representadas por flechas

 

El primer paso consistirá en elegir una escala conveniente que permita convertir los néwtones a centímetros. Sean 2.5 N = 1 cm. Con esta escala, las longitudes de las flechas que representarán a los vectores A, B y C serán: longitud de A,

10 N /2.5 N /4 cm =1 cm, longitud de B, 15 N/2.5N/ 1 cm =6 CM, y longitud de C, 5 N / 2.5 N/1 CM= 2 CM

Ver la figura 2

La suma R = A + B + C es un nuevo vector, el cual se llamará resultante y se representará con R. Dicha resultante se encuentra luego de unir el comienzo del vector A con el final del vector C, una vez que los vectores B y C se han trasladado de su posición original a nuevas posiciones en las cuales el comienzo de B se une al final de A, y el comienzo de C, al final de B. Ver la figura 3

Figura 3 Las mismas fuerzas A, B y C, formando un polígono con la resultante R

 

 

La magnitud de la resultante se encuentra midiendo la longitud de R y convirtiéndola a newton. En este ejemplo la longitud medida es de 5.2 cm, lo que equivale a 13 N.

Para determinar la dirección de R se mide con un transportador el ángulo entre A y R.

Su valor es de 60º. Es evidente que el uso de este método requiere papel, lápiz, utensilios de geometría y habilidad para dibujar, medir y usar dichos utensilios correctamente. El método es muy sencillo pero requiere la inversión de tiempo, y su precisión no es muy buena. En la siguiente sección veremos cómo sumar estos mismos vectores de una manera más fácil, precisa y rápida

 

Método por componentes

En este método analítico se descompone cada vector en dos componentes perpendiculares entre sí, según ilustraremos en el ejemplo 4

Ejemplo 4

Sean nuevamente los vectores A, B y C del ejemplo 3. El primer paso para sumar analíticamente estos tres vectores consiste en definir un sistema de coordenadas cartesianas, gracias al cual se especificará la dirección de cada vector. Note que en este método todos los vectores se colocan con su extremo inicial en el origen. Ver la figura 4. Se descompondrá cada uno de estos vectores en sus componentes horizontales y verticales. Para hacer esto considérese la figura 5. En esta figura se muestra el vector F localizado en un sistema coordenado cartesiano. La magnitud del vector es proporcional a la longitud de la flecha, mientras que su orientación está determinada por el ángulo θ que el vector hace con el lado positivo del eje x. Observe que el triángulo Oab es recto en el vértice a. El lado Oa es el cateto adyacente al ánguloθ. El lado ab es opuesto al ánguloθ, y el segmento Ob es la hipotenusa del triángulo. El segmento ab es paralelo al eje y, y el cb, paralelo al eje x. Se ha designado como Fx al segmento Oa, Fy al ab, y F a la flecha Ob

Figura 4 Los vectores A, B y C referidos a un sistema de coordenadas cartesiano
VIDEO

Vídeo de YouTube

 
FUENTES
 
 
ELABORADO POR:
FRANCISCO GABRIEL LOPEZ ARTEAGA 5 "G"
 
 
 
Comments