Цифра 0 и число 0

Первые века хиджры явили нам блестящее воплощение заветов Пророка Мухаммада (мир ему и благословение Аллаха): религиозное знание дано через Откровение и может быть познано лишь через изучение Писания, научный прогресс — инструмент облегчения жизни, успехи в этой области достигаются изучением наук. Посланник Аллаха (мир ему и Его благословение) сказал: «Поиск знания — обязанность каждого мусульманина и каждой мусульманки» (Ибн Маджа).

Один из важнейших инструментов научного прогресса — алгебра, то есть наука отвлечённых вычислений, даже названием своим обязана мусульманской цивилизации: название это произошло от арабского слова аль-джабр ‘дополнение’, ‘восстановление’: название труда, положившего начало европейской математике, — «Китаб фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала» («Книга вычислений путём дополнений и уравнений»). Эту книгу написал Абу Абдулла Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, и его нисба (фамилия по месту рождения) дала название ещё одному математическому термину — алгоритм. Такое математическое понятие, как нуль, появилось в Европе также благодаря этому труду, и нередко аль-Хорезми считают даже изобретателем нуля. Однако этот вопрос не так прост.

Прежде всего, необходимо различать цифры и числа.

Число — это обозначение количества. Операции (сложение, вычитание, умножение, деление) производятся с числами. Цифра — это символ для записи чисел. Например, число тринадцать в принятой сегодня десятичной системе счисления записывается двумя цифрами: 13; в шестнадцатиричной — одной цифрой: d, в римской — четырьмя: XIII. Таким образом, цифра — атрибут системы счисления. Мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления и не отдаём себе отчёта в том, что это означает одновременно несколько положений: во-первых, счёт с основанием 10, во-вторых, запись с основанием 10, в-третьих, позиционная запись чисел. Эти три математических принципа появлялись в истории человечества в разное время и независимо друг от друга.

Основание счёта — отношение соседних разрядов счёта, то есть число единиц счёта, составляющих единицу счёта более высокого порядка. Несмотря на то что мы пользуемся в основном десятичным счётом, в отсчёте времени суток мы до сих пор прибегаем к вавилонскому шестидесятиричному счёту: 60 секунд составляют минуту, 60 минут составляют час.

Основание записи — отношение соседних разрядов записи числа. Римская система, считая десятками, запись ведёт по двум основаниям — пять и десять: два разряда, высших по отношению к единице (десятку, сотне), получаются умножением на пять и десять: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Позиционная запись — система записи, при которой одна и та же цифра означает разные числа в зависимости от положения (позиции) в числе. Непозиционная запись основана на сложении, позиционная — на сочетании сложения и умножения.

В Древнем Египте применялась десятичная непозиционная система, то есть каждая цифра означала одно и то же число независимо от позиции, в которой она находилась. Например, число 1428 в этой системе выглядит как один цветок (тысяча), четыре верёвки (четыре сотни), две дуги (два десятка), восемь чёрточек (восемь единиц) — и как бы эти символы ни располагались друг относительно друга, общее их значение не изменится.

У индейцев майя система счёта была двадцатиричной, а система записи — с основаниями пять и двадцать. Число 28 в записи майя выглядит как глаз (двадцать), черта (пять) и три точки (единицы).

Очевидно, что при непозиционной системе записи потребности в цифре ноль нет: без ноля проблемно различить 137, 1037 и 1370, но не CXXXVII, MXXXVII и MCCCLXX.

Впервые позиционная запись появилась в древнем Вавилоне, однако многие века вавилонские математики и сборщики налогов обходились без нуля (понимая из контекста, о каком числе идёт речь), и лишь около XVIII века до н. э. на глиняных табличках появляется символ из двух вертикальных клинышков: теперь цифры представляли число без разночтений. (При этом надо помнить, что основанием счёта и записи чисел вавилонянам служило число шестьдесят.)

Античный мир, которому Европа обязана во многих других отношениях, мало что дал алгебре: все построения древнегреческих математиков были геометрическими, а решение задач с числами было уделом торговцев. Правда, в астрономических записях применяется адаптированная вавилонская позиционная система, причём для обозначения нуля используется маленький кружок, однако в Европу символ нуля попал не из Греции посредством Рима (в котором, напомним, система записи чисел была непозиционной), а из Индии посредством Халифата.

Десятичный счёт и десятичная позиционная запись впервые сошлись в Индии. К середине VII в. г. к. индийские математики записывали числа привычным для нас способом, используя, однако, вместо нуля слог «кха» (индийский алфавит — слоговой). В начале IX в. г. к. в труде «Индийское искусство счёта» аль-Хорезми, излагая основы математики, адаптирует индийские цифры и обозначает ноль жирной точкой, расположенной на средней линии. Однако в самой Индии первая письменная фиксация цифры 0 в привычной для нас функции и в привычном для нас начертании датируется 876 годом по григорианскому календарю — спустя более полувека! (Был ли символ обратным заимствованием из арабской математики или собственным изобретением, неясно.)

Что же касается числа «нуль», первое формальное его представление (определение, правила арифметических операций с нолём) было сделано в труде индийского математика Брахмагупты «Кхандакхадьяка», датируемом 665 годом г. к.

Подытоживая сказанное (и несказанное):

Русские слова «ноль» и «нуль» образованы от лат. nullus ‘никакой’ и пришли к нам из немецкого языка (по всей видимости, ноль — устным путём, нуль — письменным). Обе формы употребляются в общем равноправно, однако чаще всё же нуль обозначает число, ноль — цифру.

Число «нуль» было введено в науку индийским математиком Брахмагуптой в 665 г. г. к.

Цифра «ноль» возникала в письменности неоднократно и в основном независимо: более 3800 лет назад в Вавилоне, ок. 650 г. г. к. в Индии, ок. 815 в Халифате.

Современный символ «0» — результат трансформации, произошедшей в Европе с точкой, которой обозначил цифру «ноль» арабский математик аль-Хорезми. (Наши так называемые «арабские цифры» почти все — результат подобной трансформации; это наглядно представлено в соответствующей статье Википедии.)

Comments