MATRIZES E DETERMINANTES

Em matemática, uma matriz m X n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Organização de uma matriz

Índice

[esconder]

[editar] Notação

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

 A = \begin{bmatrix}     a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\     a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\     a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}     \end{bmatrix}

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, a_{i j} = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}.

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

[editar] Classificação de matrizes quanto ao número de colunas ou linhas

[editar] Matriz quadrada

Ver artigo principal: Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.

[editar] Vetor

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

[editar] Classificação de matrizes quanto às suas propriedades

Tipo de matrizé quadrada?Tem inversa?Qual é sua transposta?Positiva/ negativa definida?
Matriz identidade InSempreSim, ela mesma: InEla mesma, In (é uma matriz simétrica)Sempre é positiva definida
Matriz inversa {B}^{-1}SempreSim, e é igual à matriz original, B\left ( {B}^{-1} \right )^TPositiva definida se B for positiva definida
Matriz singular CSempreNuncaC^T
Matriz simétrica DSempreNão necessariamenteD^T=DNegativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D forem negativos [1]
Matriz transposta EtNão necessariamenteNão necessariamenteE
Matriz positiva definida FSempreSim, e F-1 também é positiva definidaFtSempre é positiva definida
Matriz negativa definida GSempreSim, e G-1 também é negativa definida[1]GtSempre é negativa definida

[editar] Matriz identidade

Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordem m por n.


[editar] Matriz inversa

Ver artigo principal: Matriz inversa

Uma matriz {A}^{-1} é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial A . {A}^{-1} = I, ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \cdot \mbox{adj}(\mathbf{A}), pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

[editar] Matriz transposta

Ver artigo principal: matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que a^{t}_{ij} = a_{ji}, ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da n coluna. Exemplo: A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

[editar] Matriz simétrica

Ver artigo principal: Matriz simétrica

Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

[editar] Matriz positiva/negativa (semi)definida

Ver artigo principal: Matriz positiva definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja M uma matriz quadrada de dimensão nXn e z um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão nX1. Note que se n=1, temos a definição de número real positivo ou negativo.

Tipo de matrizSemi-definidaDefinida
PositivaM positiva semidefinida se z^TMz \ge 0, \forall z \in \mathbb{R}^NM é positiva definida se z^TMz > 0, \forall z \in \mathbb{R}^N
NegativaM é negativa semidefinida se z^TMz \le 0, \forall z \in \mathbb{R}^N [1]M é negativa definida se zMz < 0, \forall z \in \mathbb{R}^N

[editar] Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

[editar] Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e bij = k.aij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

2   \begin{bmatrix}     1 & 8 & -3 \\     4 & -2 & 5   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\     2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     2 & 16 & -6 \\     8 & -4 & 10   \end{bmatrix}

[editar] Adição e subtração entre matrizes

Ver artigo principal: Adição de matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix}     0 & 0 & 5 \\     7 & 5 & 0 \\     2 & 1 & 1   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     1+0 & 3+0 & 2+5 \\     1+7 & 0+5 & 0+0 \\     1+2 & 2+1 & 2+1   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     1 & 3 & 7 \\     8 & 5 & 0 \\     3 & 3 & 3   \end{bmatrix}

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

[editar] Multiplicação de matrizes

Ver artigo principal: Produto de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

 (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j] \,\!

para cada par i e j.

Por exemplo:

   \begin{bmatrix}     1 & 0 & 2 \\     -1 & 3 & 1 \\   \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix}     3 & 1 \\     2 & 1 \\     1 & 0   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}      (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\     (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     5 & 1 \\     4 & 2 \\   \end{bmatrix}

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente ABBA.


[editar] Propriedades

[editar] Determinante

Ver artigo principal: Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

[editar] Transposta da multiplicação

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

 (A*B)^{t} = B^{t}*A^{t}

No caso de N matrizes:

 (A*B*C*...*N)^{t} = N^{t}*...*B^{t}*A^{t}

[editar] Característica

Ver artigo principal: Posto matricial
A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.[2]
 
Determinante
 

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Índice

[esconder]

[editar] Definição

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

  1. f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
  2. f(In) = 1, onde In é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A).[Nota 1]

[editar] Propriedades

  1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
  2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);
  3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
  4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
  5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
  6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
  7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
  8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
  9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
  10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
  11. Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
  12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.

[editar] Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante da matriz A \, de ordem n = 1 \,, é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a_{11}] \, temos que o determinante é o número real a_{11} \,:

det(M) = a_{11} \,.

Por exemplo:

A = ( 3 ) \, , então det(A) = 3 \, .

[editar] Determinante de matriz de ordem 2

A area do paralelogramo é o determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

\hbox{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc .

Por exemplo, o determinante da matriz \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} é dado por: 0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2 \, .

[editar] Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=(aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + dbi) .
  • Por exemplo:
 A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow  \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}
 \det(A) = ((1 . 1 . 10) + (3 . 10 . 0) + (10 . (-1) . 2)) - ((0 . 1 .10) + (2 . 10 . 1) + (10 . (-1) . 3)) \,
 = (10 + 0 + (-20)) - ((0 + 20 + (-30))\,
 = 0 \,

[editar] Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:

O determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de uma qualquer linha ou coluna pelos respetivos complementos algébricos.[1]

O complemento algébrico de um elemento a_{i,j} de uma matriz e o número A_{i,j} = (-1)^{i+j}\cdot\ MC_{i,j}\,\!, sendo MC_{i,j}\,\! o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

[editar] Exemplo

Seja a matriz

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

\det A = a_{11} . (-1)^{1+1} . \det A_{-1,-1} + \,
 a_{12} . (-1)^{1+2} . det A_{-1,-2} + \,
 a_{13} . (-1)^{1+3} . det A_{-1,-3} + \,
 a_{14} . (-1)^{1+4} . det A_{-1,-4} \, ,

onde Ai,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem.

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ : & : & :: & :\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\\  a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} \cdot det A_{-i,-j} \, .

[editar] Matrizes n por n

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A, n por n é

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}.\

[editar] Cálculo de determinantes por triangularização

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a idéia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

  • Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);
  • Multiplicar uma linha por um número real \lambda \, não nulo, multiplica o determinante por \lambda \, (propriedade 6);
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

 \begin{vmatrix} 2 & -4 & 8\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\,

 L_1 \leftarrow \frac{1}{2} L_1 \,

 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\,

L_{2} \leftarrow L_{2} - 5.L_{1}  \land  L_{3} \leftarrow L_{3} + 3.L_{1}\,

 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 14 & -14 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}\,

L_{2} \leftarrow \frac{1}{14} =

2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}\,

 L_{3} \leftarrow L_{3} + 6.L_{2}\,

 = 2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} \, = 2 \cdot 14 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 224\,

Comments