FUNCÕES

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, Função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.[1][2].

Função f(x)=x^2

Índice

[esconder]

[editar] Conceito

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x (às vezes denominado variável independente) um único valor da função f(x) (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. [3][4].

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado simplesmente imagem.[4]

[editar] Definição formal

Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

f:X\rightarrow Y

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.[3]

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

  1. f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
  2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

Naofuncao1.pngEsta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
Naofuncao2.pngEsta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
Funcao venn.svgEsta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:
f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.

[editar] Exemplos

Para modelar o crescimento de uma população de bactérias de acordo com o tempo, da seguinte forma:

  • Considera-se o tempo como variável independente, podendo-se denotá-lo por x.
  • Como o tamanho da população de bactérias varia como o tempo, ele pode ser considerado como uma variável dependente, e denotado por ƒ(x).

Dizemos então que, o crescimento desta população de bactérias está em função do tempo.

[editar] Elementos da função

Ver artigo principal: Conjunto imagem
Ver artigo principal: Domínio
Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

Seja f: D \rightarrow CD uma função. Toda função consta de três partes:

  • A primeira é o conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto onde a função é definida [5], ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida.
  • Outra parte integrante da função é o contradomínio (representado na figura por CD), que é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outras palavras, é o conjunto onde a função toma valores.[5] Dentro do contradomínio, define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
  • A terceira parte de uma função é a regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento x \in D, um único elemento f(x) \in CD, chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x).[5]

A função, portanto, se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e pela lei de associação (regra). A função f: \R \to \R, \ f(x) = x^2 é diferente da função g: \R \to \R^{+}, \ g(x) = x^2, pois o contradomínio é diferente.

[editar] Gráficos de função

Ver artigo principal: Gráfico#Gráficos de função

As funções são comumente representadas em gráficos. O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja:

\left\{\left(x,f(x)\right) : x \in D \right\}

ou equivalentemente:

\left\{\left(x,y\right)\in D\times I : x \in D \mbox{ e } y=f(x) \right\}

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada, respectivamente.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

[editar] Tipos de funções

Dependendo do tipo de regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contradomínio de uma função, ela pode receber nomes específicos. Por exemplo,

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções, e classe é empregado aqui como classificação mesmo e não como classe de equivalência. [6]

Tipo de funçãoCaracterística da funçãoConjunto imagemExplicação visualExemploAdmite função inversa? É inversível?
Injetora ou injetivaCada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando xy no domínio tem-se f(x)f(y) no contradomínio.Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função.
Funcao venn.svg
A função f: N \rightarrow N dada por f(x)=2x, é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos.Não sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Sobrejetora ou sobrejetivaTodos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Surjection.svg
A função f: R \rightarrow R dada por f(x)=x^2, não é sobrejetiva, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.Não sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Bijetora ou bijetivaSão ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa.O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Bijection.svg
A função f: N \rightarrow N dada por f(x)=x, é bijetiva porque é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Exemplo: função identidadeSim, sempre; imagem igual ao contradomínio vira domínio e vice-versa.

[editar] Funções implícitas e explicitas

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo:

f(x)=x^2

que associa a cada x o seu quadrado. Uma generalização direta é permitir funções que dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo:

g(x,y)=xy,

recebe dois números x e y e associa a eles o seu produto, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela é chamada de função explícita (como acima) ou de função implícita, como em

xf(x) = 1,

que define implicitamente a função

f(x)= \frac{1}{x}.

[editar] Composição de funções

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Por exemplo, dadas as funções:

f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1

uma função composta pode ser:

g(f(x)) = 2x + 2
Observa-se que f(x) transforma-se em variável de g(x). Ou seja, g(x)= ƒ(x)-1. Temos que, g(f(x)) = (2x+3)-1. Logo g(f(x)) = 2x+2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)), etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.[6]
 
 
 
 
 
 
 
 

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, Função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.[1][2].

Função f(x)=x^2

[editar] Conceito

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x (às vezes denominado variável independente) um único valor da função f(x) (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. [3][4].

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado simplesmente imagem.[4]

[editar] Definição formal

Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

f:X\rightarrow Y

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.[3]

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

  1. f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
  2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

Naofuncao1.pngEsta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
Naofuncao2.pngEsta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
Funcao venn.svgEsta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:
f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.

[editar] Exemplos

Para modelar o crescimento de uma população de bactérias de acordo com o tempo, da seguinte forma:

  • Considera-se o tempo como variável independente, podendo-se denotá-lo por x.
  • Como o tamanho da população de bactérias varia como o tempo, ele pode ser considerado como uma variável dependente, e denotado por ƒ(x).

Dizemos então que, o crescimento desta população de bactérias está em função do tempo.

[editar] Elementos da função

Ver artigo principal: Conjunto imagem
Ver artigo principal: Domínio
Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

Seja f: D \rightarrow CD uma função. Toda função consta de três partes:

  • A primeira é o conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto onde a função é definida [5], ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida.
  • Outra parte integrante da função é o contradomínio (representado na figura por CD), que é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outras palavras, é o conjunto onde a função toma valores.[5] Dentro do contradomínio, define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
  • A terceira parte de uma função é a regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento x \in D, um único elemento f(x) \in CD, chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x).[5]

A função, portanto, se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e pela lei de associação (regra). A função f: \R \to \R, \ f(x) = x^2 é diferente da função g: \R \to \R^{+}, \ g(x) = x^2, pois o contradomínio é diferente.

[editar] Gráficos de função

Ver artigo principal: Gráfico#Gráficos de função

As funções são comumente representadas em gráficos. O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja:

\left\{\left(x,f(x)\right) : x \in D \right\}

ou equivalentemente:

\left\{\left(x,y\right)\in D\times I : x \in D \mbox{ e } y=f(x) \right\}

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada, respectivamente.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

[editar] Tipos de funções

Dependendo do tipo de regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contradomínio de uma função, ela pode receber nomes específicos. Por exemplo,

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções, e classe é empregado aqui como classificação mesmo e não como classe de equivalência. [6]

Tipo de funçãoCaracterística da funçãoConjunto imagemExplicação visualExemploAdmite função inversa? É inversível?
Injetora ou injetivaCada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando xy no domínio tem-se f(x)f(y) no contradomínio.Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função.
Funcao venn.svg
A função f: N \rightarrow N dada por f(x)=2x, é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos.Não sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Sobrejetora ou sobrejetivaTodos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Surjection.svg
A função f: R \rightarrow R dada por f(x)=x^2, não é sobrejetiva, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.Não sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Bijetora ou bijetivaSão ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa.O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Bijection.svg
A função f: N \rightarrow N dada por f(x)=x, é bijetiva porque é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Exemplo: função identidadeSim, sempre; imagem igual ao contradomínio vira domínio e vice-versa.

[editar] Funções implícitas e explicitas

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo:

f(x)=x^2

que associa a cada x o seu quadrado. Uma generalização direta é permitir funções que dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo:

g(x,y)=xy,

recebe dois números x e y e associa a eles o seu produto, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela é chamada de função explícita (como acima) ou de função implícita, como em

xf(x) = 1,

que define implicitamente a função

f(x)= \frac{1}{x}.

[editar] Composição de funções

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Por exemplo, dadas as funções:

f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1

uma função composta pode ser:

g(f(x)) = 2x + 2

Observa-se que f(x) transforma-se em variável de g(x). Ou seja, g(x)= ƒ(x)-1. Temos que, g(f(x)) = (2x+3)-1. Logo g(f(x)) = 2x+2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)), etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.[6]

 

 

Função afim

Uma função afim é a composição de uma função linear com uma translação.

[editar] Expressão algébrica

  • Uma função afim em \R^n é dada pela expressão f(v)=Av+b, onde A\,\; é uma matriz n\times n.
  • Uma função afim em \R é dada pela expressão f(x)=ax+b, onde a\,\! é um número real diferente de zero.

lembrando que b, é constante. f(x) = ax+b

Uma função afim é definida como uma função que apresenta o expoente 1 como maior expoente da variável independente. O seu gráfico é constituído por uma reta inclinada, podendo determiná-lo apenas com dois pontos. É expressa por:

f(x)=ax + b\rightarrow onde o "a" é denominado o coeficiente angular e o "b" o coeficiente linear

[editar] Crescimento ou decrescimento da função afim

Uma função afim é crescente quando o valor do coeficiente angular for superior a 0 e decrescente quando for inferior.

a > 0 - função crescente - ângulo agudo

a < 0 - função decrescente - ângulo obtuso

[editar] Ligações externas


FUNÇÃO QUADRÁTICA
 

Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma:

f(x)=ax^2+bx+c

se, e somente se a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y, se tal função for contínua. A expressão:

ax^2+bx+c

na definição de uma função quadrática é um polinômio de segundo grau ou um polinômio de grau 2, porque o maior expoente de x é 2.

Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.

Índice

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[editar] Origem da palavra

O adjetivo quadrática vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.

Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.

[editar] Raízes

Ver artigo principal: Equação quadrática

As raízes da função quadrática são os valores de x cuja imagem é 0, ou seja, em que o gráfico corta o "eixo x". O número de raízes depende do valor do discriminante, geralmente denotado pela letra grega delta, definido por:

\Delta = b^2 - 4 a c

Para:

  • \Delta > 0\, \!, a função terá duas raízes.
  • \Delta = 0\, \!, a equação terá uma raiz apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
  • \Delta < 0\, \!, não terá raíz (com maior precisão, diz-se que a equação não tem raíz reais, tendo duas raízes complexos conjugados).

As duas raízes da equação quadrática 0=ax^2+bx+c, onde a \ne 0 são

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.

Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.

Efetuando  r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} e  r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} ou vice versa, é possível fatorar  a x^2 + b x + c como  a(x - r_1)(x - r_2).

[editar] Concavidade do gráfico da função quadrática

A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

[editar] Vértice da parábola

O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

(X_\text{vertice}= -\frac{b}{2a}, Y_\text{vertice}= -\frac {\Delta}{4a})

[editar] Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.

  • Concavidade voltada para cima:
    • Decrescente do -infinito ao vértice
    • Crescente do vértice ao infinito
  • Concavidade voltada para baixo:
    • Crescente do -infinito ao vértice
    • Decrescente do vértice ao infinito

[editar] Formas da função quadrática

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

  • f(x) = a x^2 + b x + c é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) é chamada a forma fatorada, onde  r_1 e  r_2 são as raízes da equação quadrática, e
  • f(x) = a(x - h)^2 + k é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).

Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes  r_1 e  r_2 . Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

[editar] Gráfico

f(x) = ax^2 + x ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).

  • Se a > 0, a parábola abre para cima.
  • Se a < 0, a parábola abre para baixo.

O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".

O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).

O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.

O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

[editar] Vértice

O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por (h, k). Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral:

f(x) = a x^2 + b x + c

em

 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,

de forma que o vértice da parábola na forma geral seja:

 \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).

Se a função quadrática estiver na forma fatorada:

f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)

a média aritmética da duas raízes, isto é:

\frac{r_1 + r_2}{2}

fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por:

 \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!

O vértice é também o ponto máximo se a < 0 ou o ponto mínimo se:

a > 0.

A linha vertical:

 x=h=-\frac{b}{2a}

que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.

  • Pontos de máximo/mínimo
O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.
Tomando f(x) = ax^2 + bx + c como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de a, se a > 0, tem um ponto mínimo, se a < 0, tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:
f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrowf'(x)=2ax+b
Depois, encontramos as raízes de f'(x):
2ax+b=0 \Rightarrow 2ax=-b \Rightarrow x=-\frac{b}{2a}
Então, -\frac{b} {2a} é o x valor de f(x). Agora, para encontrar o valor de y, substituimos x = -\frac{b} {2a} em f(x):
y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a}  - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow
y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}
Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:
 \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).

[editar] Estudo do sinal

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de x

O estudo do sinal da função quadrática define o sinal da função para qualquer valor de x. O estudo depende do sinal do coeficiente a e do \Delta. Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.

[editar] Caso Δ < 0

Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:

a > 0 \rightarrow f(x) > 0, \forall x \in R

a < 0 \rightarrow f(x) < 0, \forall x \in R

[editar] Caso Δ = 0

Exemplo de uma função negativa para x \ne r_1 = r_2 e nula para x = r_1 = r_2

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a e das raízes r_1 e r_2 (note que r_1 < r_2):

  • a > 0

f(x) > 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2

  • a < 0

f(x) < 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2

[editar] Caso Δ > 0

Exemplo de uma função positiva para x < r_1 ou x > r_2; nula para x = r_1 = r_2 e negativa para r_1 < x < r_2.

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a (note novamente que r_1 < r_2):

  • a > 0

f(x) > 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2

f(x) < 0 \rightarrow r_1 < x < r_2

  • a < 0

f(x) > 0 \rightarrow r_1 < x < r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2

f(x) < 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2

[editar] Raiz quadrada de uma função quadrática

A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se a>0 então a equação  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente  y_p = a x^2 + b x + c
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se a<0 então a equação  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente  y_p = a x^2 + b x + c for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

[editar] Função quadrática bivariada

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

 f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F

Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo f(x,y) igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano z=0, que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.

[editar] Mínimo/máximo

Se  4AB-E^2 <0 a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

Se  4AB-E^2 >0 a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.

O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de  (x_m, y_m) onde:

x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}
y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}

Se  4AB- E^2 =0 e  DE-2CB=2AD-CE \ne 0 a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Se  4AB- E^2 =0 e  DE-2CB=2AD-CE =0 a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

 

FUNÇÃO EXPONENCIAL

 

Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.
Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R+* tal que ƒ(x)= ax em que a ∈ R, 0<a≠1.
O a é chamado de base e o x de expoente.

A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

Propriedades da Função Exponencial

  • Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;
  • A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
  • A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
  • Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a ∈ R+* e a ≠ 1 é bijetora;



A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A função exponencial é achatada para x negativos, e cresce rapidamente para x positivos.
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor de e^1 é aproximadamente  2{.}718281828

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

a^x = e^{x \ln a}

Para todo a > 0 e x \in \mathbb{R}.

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

a^0 = 1
a^1 = a
a^{x + y} =  a^x a^y
a^{x y} = \left( a^x \right)^y
{1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
a^x b^x = (a b)^x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

{1 \over a} = a^{-1}
\sqrt[c]{a}^b = a^{b \over c}

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[editar] Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

{dy \over dx} = y

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.

[editar] Função exponencial no plano complexo

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:

e^{z + w} = e^z e^w
e^0 = 1
e^z \ne 0
{d \over dz} e^z = e^z

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2 \pi i que pode ser escrita como

e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: z^w = e^{w \ln z} para todos os números complexos z e w.

Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.

[editar] Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

e^{x + y} = e^x e^y

se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

e^0 = 1
ex é invertível com inverso e-x
a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

f(t) = e^{t A}

onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

f(s + t) = f(s) f(t)
f(0) = 1
f'(t) = A f(t)

[editar] Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.

 

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

 

Na matemática, o logaritmo (do grego: logos= razão e arithmos= número), de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função que faz corresponder aos objectos x a imagem y tal que b^y = x. Usualmente é escrito como logb x = n. Por exemplo: 3^4 = 81, portanto log_3 81 = 4. Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.[1][2]

O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bn = x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com exponenciais.

Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um superlogaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função superexponencial. O superlogaritmo de x cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.

Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta assimetria tem aplicações em criptografia.

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[editar] Logaritmos e exponenciais: inversas

Logaritmos em várias bases: vermelho representa a base e, verde a base 10, e lilás a base 1,7. Inverta a base some com o expoente x e multiplique as equações depois de somar as raizes das duas equações. Note como logaritmos de todas as bases passam pelo ponto (1, 0).

Para cada base (b em bn), existe uma função logaritmo e uma função exponencial; elas são funções inversas.[3] Com bn = x:

  • Exponenciais determinam x quando dado n; para encontrar x, se multiplica b por b (n) vezes.
  • Logaritmos determinam n quando dado x; n é o número de vezes que x precisa ser dividido por b para se obter 1. Depois que seu logaritmo estiver dividido some novamente com o coeficiente e chegará a um resultado parcialmente correto.

[editar] Usando logaritmos

Três curvas para três bases diferentes: b = 2 (curva amarela), b = e (curva vermelha) e b = 0,5 (curva azul).

Uma função logb(x) é definida quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para várias leis que definem as funções logarítmicas. Logaritmos podem também ser definidos para argumentos complexos. Isso é explicado na página do logaritmo natural.

Para inteiros b e x, o número logb(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log23 fosse racional, ter-se-ia log= n/m para alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2n. Mas essa última identidade é impossível, uma vez que 2n é par e 3m é ímpar.

[editar] Bases não especificadas

  • Engenheiros, biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando se trata do logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log10(x) ou, no contexto da computação, log2(x).
  • Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado significando log10(x), pelas pessoas que usam log(x) com l minúsculo significando loge(x).
  • A notação Log(x) também é usada pelos matemáticos para se referir ao ramo principal da função logaritmo natural.
  • Nas linguagens de programação mais usadas, incluindo C, C++, Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG" significa o logaritmo natural.

A maior parte das razões para se pensar em logaritmos na base 10 tornaram-se obsoletas logo após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram populares (para mais sobre esse assunto, veja logaritmo comum). Não obstante, uma vez que calculadoras são feitas e normalmente usadas por engenheiros, as convenções usadas por eles foram incorporadas nas calculadoras, agora a maioria dos não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na base 10 de x e usam "ln(x)" para se referir ao logaritmo natural de x. A notação "ln" foi introduzida em 1893 por Irving Stringham, professor de matemática da Universidade de Berkeley. Até 2005, alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a maioria usa "log". Em Ciência da Computação o logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar confusão. Este uso foi sugerido por Edward Reingold e popularizado por Donald Knuth.

Quando "log" é escrito sem uma base (b faltando em logb), o significado pode normalmente ser determinado através do contexto:

[editar] Usos dos logaritmos

Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são desconhecidos. Eles possuem derivadas simples, por isso eles são comumente usados como soluções de integrais. Além disso, várias quantidades na ciência são expressas como logaritmos de outras quantidades; veja escala logarítmica para uma explicação e uma lista.

[editar] Funções exponenciais

Algumas vezes (especialmente em análise) é necessário calcular exponenciais arbitrárias f(x)^g(x) usando-se apenas a exponencial natural e^x:

f(x)^g(x) = e^{\log(f(x)^{g(x)})}

= e^{g(x)\log(f(x))}

[editar] Propriedades Algébricas

Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:

Operação com númerosOperação com expoentesIdentidade logarítmica
 \!\, a b  \!\, A + B  \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
 \!\, a / b  \!\, A - B  \!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b)
 \!\, a ^ b  \!\, A b  \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
 \!\, \sqrt[b]{a}  \!\, A / b  \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \log(a) / b

[editar] Demonstração

Sendo \!\,a=k^x e \!\,b=k^y

\!\,log_k(ab)=log_k(k^x \times k^y)substituindo as variáveis;
\!\,log_k(k^x \times k^y)=log_k(k^{x+y})pela propriedade das funções exponenciais \!\,a^x \times a^y=a^{x+y};
\!\,log_k(k^{x+y})=x+yvisto que \!\,log_b(b^x)=x;
\!\,x+y=log_k(k^x)+log_k(k^y)utilizando a mesma propriedade;
\!\,log_k(k^x)+log_k(k^y)=log_k(a)+log_k(b)voltando a substituir pelas variáveis iniciais;

Provando assim que \!\,log_k(ab)=log_k(a)+log_k(b).

Antes da calculadora eletrônica, isto fazia com que operações difíceis de dois números fossem muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos dos dois números (multiplique e divida) ou o primeiro número (potência ou raiz, onde um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas. Outras ferramentas para realizar multiplicações antes da invenção da calculadora incluem ossos de Napier e calculadoras mecânicas.

Na álgebra abstrata, esta propriedade das funções logarítmicas pode ser resumida observando-se que qualquer uma delas com uma base fixa é um isomorfismo do grupo de números reais estritamente positivos sobre a multiplicação para o grupo de todos os números reais sobre a adição.

[editar] Mudança de base

Apesar de existirem identidades muito úteis, a mais importante para o uso na calculadora é a que permite encontrar logaritmos com bases que não as que foram programadas na calculadora (normalmente loge e log10). Para encontrar um logaritmo com uma base b usando qualquer outra base a:

 \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}

[editar] Demonstração

tendo que

 x = b^a \iff \log_b{x} = a \,

aplicando um logaritmo de base k obtém-se

 \log_k{x} = \log_k{b^a} = a\log_k{b} \iff \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}} = a

Tudo isso implica que todas as funções logaritmo (qualquer que seja sua base) são similares umas às outras.

[editar] Cálculo

Para calcular a derivada de uma função logarítmica a seguinte fórmula é usada : \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x} onde ln é o logaritmo natural, i.e. com a base e. Fazendo b = e:

\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}, \qquad \int \frac{1}{x} \,dx = \ln(x) + C

A seguinte fórmula é para obter a integral da função logaritmo

\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

[editar] Operações relacionadas

O cologaritmo de um número é o logaritmo do recíproco deste, sendo cologb(x) = logb(1/x) = −logb(x).

O antilogaritmo é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Ele é escrito da seguinte maneira: antilogb(n) e significa o mesmo que bn.[4]

[editar] História

Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos naturais foi proposto pela primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio escrito por John Napier, Barão de Merchiston na Escócia, quatro anos após a publicação de sua memorável invenção.[5] Este método contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica. De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma série geométrica de números. O termo antilogaritmo foi introduzido no final do século XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na matemática, persistiu em coleções de tabelas até não ser mais usado. Napier não usou uma base como a concebemos hoje, mas seus logaritmos eram na base \frac {1}{e}. Para facilitar interpolações e cálculos, é útil fazer a razão r na série geométrica próximo de 1. Napier escolheu r=1-10^{-7}=0,999999, e Bürgi escolheu r=1+10^{-4}=1,0001. Os logaritmos originais de Napier não tinham log 1=0, ao invés disso tinham log 10^7 = 0. Desse modo se N é um número e L é seu logaritmo tal qual calculado por Napier, N=10^7(1-10^{-7})^L. Uma vez que (1-10^{-7}) é aproximadamente 1/e, L é aproximadamente 10^7\log_{1/e} N/10^7.

[editar] Tabelas de logaritmos

Antes do advento do computador e da calculadora, usar logaritmos significava usar tabelas de logaritmos, que tinham de ser criadas manualmente. Logaritmos de base-10 são úteis em cálculos quando meios eletrônicos não são disponíveis. Veja logaritmo comum para detalhes, incluindo o uso de características e mantissas de logaritmos comuns (i.e., base-10). Em 1617, Briggs publicou a primeira versão de sua própria lista de logaritmos comuns, contendo os logaritmos com 8 dígitos de todos os inteiros inferiores a 1.000. Em 1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética Logarítmica", contendo os logaritmos de todos os inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000, juntos com uma introdução que explicava a história, a teoria e o uso dos logaritmos. O intervalo de 20.000 a 90.000 foi preenchido por Adrian Vlacq; mas em sua tabela, que apareceu em 1628, os logaritmos eram de somente 10 dígitos. Foram descobertos mais tarde 603 erros na tabela de Vlacq, mas "isso não pode ser considerado uma grande quantidade, quando se é considerado que a tabela foi um resultado de um cálculo original, e que é possível haver erros quando mais de 2.100.000 números são utilizados." (Athenaeum, 15 de Junho de 1872. Veja também as "Notícias Mensais da Sociedade Real de Astronomia" de Maio, 1872.) Uma edição do trabalho de Vlacq, contendo diversas correções, foi publicado em Leipzig, 1794, titulado de "Thesaurus Logarithmorum Completus" por Jurij Vegal. A tabela de 7 dígitos de Callet (Paris, 1795), ao invés de parar em 100.000, dava os logaritmos de oito dígitos dos números entre 100.000 e 108.000, visando diminuir os erros de interpolação, que eram grandes no início da tabela; e essa adição era geralmente incluída em tabelas de 7 dígitos. A única extensão publicada importante da tabela de Vlacq foi feita por Mr. Sang, em 1871, cuja tabela tinha os logaritmos de 7 casas de todos os números abaixo de 200.000. Briggs e Vlacq também publicaram tabelas originais de logaritmos de funções trigonométricas. Além das tabelas mencionadas acima, uma grande coleção, chamada Tables du Cadastre, foi feita sob a direção de Prony, por um cálculo original, sob a ajuda do governo republicano francês. Esse trabalho, que continha os logaritmos de 9 dígitos de todos os números até o 100.000, e de 24 dígitos dos números entre 100.000 e 200.000, existe apenas no manuscrito in seventeen enormous folios, no observatório de Paris. Esse trabalho foi iniciado em 1792, e para garantir uma grande precisão de todos os cálculos, o trabalho foi realizado de duas formas diferentes, e ambos os manuscritos foram subsequentemente e cuidadosamente unidos, tendo todo o trabalho sido realizado em um período de dois anos (English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., artigo "Prony"). Interpolação cúbica poderia ser utilizada para encontrar o valor dos logaritmos, com uma precisão similar. Para os estudantes de hoje, que contam com a ajuda de calculadoras, o trabalho a respeito das tabelas acima mencionada, é pequeno para o avanço dos logaritmos.

[editar] Logaritmo

Para calcular logb(x) se b e x são números racionais e xb > 1:

Se n0 é o maior número natural tal que bn0x ou, alternativamente,

 n_0 = \lfloor \log_b(x) \rfloor

então

 \log_b(x) = n_0 + \frac{1}{\log_{x / b^{n_0}}(b)}

Este algoritmo recursivamente produz a fração contínua

 \log_b(x) = n_0 + \frac{1}{n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3 + \cdots}}}.

Para usar um número irracional como entrada, basta aplicar o algoritmo a sucessivas aproximações racionais. O limite da Sucessão matemática resultante deve convergir para o resultado correto.

\ln 2 = 2\sum_{n = 0}^{\infty }\frac{(1/5)^{ 2\,n+1}}{ 2\,n+1}+2\sum_{n = 0}^{\infty }\frac{(1/7)^{ 2\,n+1}}{ 2\,n+1}
Prova do algoritmo
 \log_b(x) = \log_b(x)\,\! identidade
 \log_b(x) = n_0 + \log_b(x) - n_0\,\! manipulação algébrica
 \log_b(x) = n_0 + \log_b(x) - \log_b(b^{n_0})\,\! identidade logarítmica
 \log_b(x) = n_0 + \log_b\left(\begin{matrix}\frac{x}{b^{n_0}}\end{matrix}\right) identidade logarítmica
 \log_b(x) = n_0 + \frac{1}{\log_{\begin{matrix}\frac{x}{b^{n_0}}\end{matrix}}(b)} troca de base

[editar] Trivia

[editar] Notação alternativa

Algumas pessoas usam a notação blog(x) em vez de logb(x).

[editar] Relações entre logaritmos comum, natural e binário

Em particular, temos os seguintes resultados:

log2(e) ≈ 1,44269504
log2(10) ≈ 3,32192809
loge(10) ≈ 2,30258509
loge(2) ≈ 0,693147181
log10(2) ≈ 0,301029996
log10(e) ≈ 0,434294482

Um relação curiosa é a aproximação log2(x) ≈ log10(x) + ln(x), com precisão de 99,4%, ou 2 dígitos significativos. Isso porque 1/ln(2)1/ln(10) ≈ 1 (na verdade vale 1,0084...).

Outra relação interessante é a aproximação log10(2) ≈ 0,3 (na verdade vale 0,301029995). Com isso, com um erro de apenas de 2,4%, 210 ≈ 10³,ou seja, 1024 é aproximadamente 1000.

 

FUNÇÃO MODULAR

 

O módulo, valor modular ou valor absoluto (representado matematicamente como |a|) de um número real a é o valor numérico de a desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.

[editar] Definição

O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{if } a < 0. \end{cases}

Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.

Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos

Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real, e em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em Matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.

[editar] Propriedades

Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que

|a| = \sqrt{a^2}(1)

que às vezes é utilizado como definição do valor absoluto.[1]

O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

|a| \ge 0 (2)É não negativo
|a| = 0 \iff a = 0 (3)É positivo definido
|ab| = |a||b|\,(4)É multiplicativo
|a+b|  \le |a| + |b|  (5)É subaditivo

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

|-a| = |a|\,(6)Simetria
|a - b| = 0 \iff a = b (7)Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)
|a - b|  \le |a - c| +|c - b|  (8)desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)
|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (if } b \ne 0) \,(9)Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
|a-b| \ge ||a| - |b|| (10)(equivalente à subaditividade)

No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:

|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a

Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12

O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.

Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:

  • |x|^2 = x^2\qquad \forall x \in \mathbb{R}
  • |-x|=|x|\qquad \forall x \in \mathbb{R}
  • |x-y|\le|x|+|y|\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}

 

 

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