Descuento y equivalencias financieras



Pago Único




Cuando se conoce en una obligacion o inversion una sola de las magnitudes o flujos de caja, el tiempo que transcurre en el negocio y la tasa de interes correspondiente a este plazo, se dice que se esta en presencia de un problema o una situacion de pago unico y se utilizan las formulas financieras desarrolladas en la sesion anterior.

 

No obstante la mayoria de los problemas financieros difieren de ser tan simplificados, en estos las obligaciones contraidas son canceladas en una serie de pagos (sean estos iguales o no) asi mismo las inversiones que se realizan pueden ser redimidas de manera anticipada de forma parcial lo cual genera unos mayores flujos de caja a traves del tiempo.

 











Serie Uniforme




DEFINICIÓN DE ANUALIDAD


Una anualidad es una serie de flujos de cajas iguales o constantes que se realizan a intervalos iguales de tiempo, que no necesariamente son anuales, sino que pueden ser diarios, quincenales o bimensuales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, anuales. Las anualidades se simbolizan con la letra A.

 

El concepto de anualidad, es importante en el área de las finanzas, entre otras consideraciones, porque es el sistema de amortización más utilizado en las instituciones financieras en sus diferentes modalidades de créditos. Además, es muy frecuente que las transacciones comerciales se realicen mediante una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo establecido en la negociación.



Para que exista una anualidad se debe cumplir con las siguientes condiciones:

 

 

  •    Todos los flujos de caja deben ser iguales o constantes (la misma magnitud)

 

  •    Todos los flujos de caja deben tener la misma dirección positiva (ingresos) o negativa (egresos)

 

  •    La totalidad de los flujos de caja en un lapso de tiempo determinado deben ser periódicos.

 

  •           La tasa de interés aplicable a todos los flujos de caja debe ser la misma y el objetivo es llevarlos  al principio o al final de la serie, a un valor equivalente, es decir, a la anualidad debe tener un valor presente y un valor futuro equivalente.


  •     El número de períodos debe ser igual necesariamente al número de pagos.

Cálculo del Valor Futuro dado una Serie Uniforme

Para el cálculo del valor futuro relacionada con la serie uniforme, es necesario tener tres variables conocidas (serie uniforme (A); la tasa de interés (i) y el números de periodos (n)) con el fin de encontrar el valor futuro, ya que se maneja el mismo concepto de tener valores equivalentes entre la serie uniforme y el valor futuro mediante el descuento de dinero en el tiempo por medio de la tasa de interés.


La expresión simbólica en este caso es F = A (F/A, i%, n) , el cual se lee: Encontrar un valor futuro  F dado una serie uniforme A, con una tasa de interés i% y periodos n.

 

Ahora, de acuerdo a las características que tiene una serie uniforme y sabiendo que es necesario encontrar un valor futuro al final de n-periodos a una tasa de interés determinado, a continuación se muestra la construcción de la fórmula:

 

Paso 1: La relación de la serie uniforme con el valor futuro, se obtiene de sumar los valores equivalentes futuros de cada uno de los flujos de efectivo:



Paso 2: Los términos entre corchetes constituyen una secuencia geométrica que tiene una razón común 1/(1+i), por tanto la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica es:


Si a1 es el primer elemento de la secuencia, an es el último y b es la razón común, entonces se tiene que:






Paso 3: Al simplificar queda la fórmula definitiva de F = A (F/A, i%, n)  se obtiene






Cálculo de una anualidad dado un valor futuro

De esta expresion podemos deducir la formula de equivalencia de la anualidad dado un valor futuro, simplemente despejando A de la expresion anterior, asi:

 

 

 

 Cálculo de una anualidad dado un valor presente

 A partir de estas expresiones y considerando que ya conocemos la equivalencia entre el valor presente P y el valor futuro F podemos encontrar la equivalencia entre el valor presente P y la anualidad A, asi:

 





Anualidades infinitas (perpetuidades)

 

 

En ocasiones, para algún tipo de situaciones cotidianas con productos financieros (seguros de vida, procesos de valoración de empresas) es común que el horizonte final de un flujo de caja no sea conocido, o sea tan lejano en el tiempo que sea más adecuado hacer suposiciones sobre la duración indefinida o infinita de estos.

 

Esta situación conlleva a lo que en matemáticas financieras se conoce como el modelo de series perpetuas o anualidades infinitas, en esta condición es imposible proponer el cálculo del valor futuro, puesto que este nunca se lograría obtener dado que el tiempo  n es indeterminado, mas si puede ser importante conocer la serie uniforme equivalente (valor de la prima en un contrato de seguros de vida, por ejemplo) o el valor presente equivalente (valor actual de una empresa o de una acción).

 

A continuación se presentan las equivalencias financieras de valor presente, tasa y anualidad de una serie uniforme infinita (perpetuidad).






De aqui podemos despejar el valor de la anualidad, asi:



Y por tanto la tasa de interés equivalente sera:










DESCOMPOSICIÓN DE UNA SERIE UNIFORME
(Cuando la serie representa el pago de una obligación financiera)

    

Una serie uniforme (anualidad) se puede descomponer en sus elementos principales

 

Amortización e intereses.

El comportamiento de los intereses es decreciente, en tanto que el comportamiento de la amortización (abono al capital prestado o invertido) es creciente.


La amortización se defino como el abono que se hace en cada periodo a la deuda contraída por el obligacionista o prestatario.


Los intereses (llamados también interés corriente) corresponden al costo financiero de pedir prestado y visto desde la contraparte del negocio es la ganancia del prestamista.


El siguiente esquema de flujo de caja nos muestra claramente la descomposición de una serie uniforme o anualidad en sus dos componentes

 

Una serie uniforme Ak cualquiera (recordemos que por definición todas son iguales) la podemos descomponer en sus dos elementos principales Ik (interés contenido en la cuota k) y Mk (contenido de amortización de la cuota k)

 



Las siguientes son las formulas para calcular el contenido de intereses y de amortización de una serie uniforme cualquiera:







Donde Sk es el valor presente de las (n-k) cuotas pendientes después de pagar o recibir la cuota k y se calcula de la siguiente manera:



Es decir Sk es el saldo que se tiene de la obligación una vez se hayan pagado k cuotas fijas.

Graficamente sería:



Por lo tanto para hallar el contenido de amortización de la cuota k se debe determinar el saldo después de pagar la (k-1) cuota y a partir de allí encontrar los intereses de la cuota k y por diferencia se obtendría la amortización contenida en la cuota k respectiva.





Serie Gradiente


Las series gradientes (G), manejan el mismo procedimiento de equivalencia de dinero en el tiempo visto anteriormente; sin embargo se diferencia por que sus flujos de caja no son uniformes sino que se comportan de una manera creciente o decreciente, ya sea mediante un valor fijo o un incremento porcentual durante el periodo de evaluación.  


Gradiente Aritmético

La serie gradiente aritmético, se identifica cuando los flujos de caja crecen o decrecen de una manera fija durante el periodo de tiempo, en este caso la G se conoce como la cantidad en forma de gradiente uniforme; en donde, si la cantidad crece a la serie uniforme se le suma el gradiente (A+G), pero si la cantidad decrece a la serie uniforme se le resta el valor del gradiente (A-G).  Con el fin de tener claridad sobre los conceptos expuestos hasta el momento en el capítulo, se presenta a continuación dos gráficas que muestran las dos situaciones.

 

La representación gráfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una serie gradiente aritmético creciente de este flujo es el siguiente:







La representación gráfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una serie gradiente aritmético decreciente de este flujo es el siguiente:







Cálculo de un Valor Futuro dado un gradiente Aritmético

 

El valor futuro equivalente, de la secuencia aritmética de los flujos de efectivo, se representa de la siguiente manera:


No olvidar que Fg hace referencia únicamente al valor futuro de la serie o componente gradiente, si se requiere conocer el valor presente total de una inversión o préstamo este valor de deberá sumar (serie creciente o restar (serie decreciente) al valor de la primera cuota (anualidad) la cual se convierte en la base del gradiente.

 

 

 

Es decir:

 

Ft = Fa + Fg (serie creciente)

 

Ft = Fa - Fg (serie decreciente)




Cálculo de un Valor Futuro dado un gradiente Aritmético


El valor presente equivalente, de la secuencia aritmética de los flujos de efectivo, se representa de la siguiente manera:




Serie Uniforme equivalente a un gradiente aritmetico

La serie uniforme equivalente a un gradiente aritmético (dado que en ocasiones en necesario convertir esta (por ejemplo cuando se propone una refinanciación de un crédito o un nuevo sistema de inversión que sea equivalente en el tiempo a la serie gradiente) se realiza con la siguiente ecuación de equivalencia:




Valor presente de una serie gradiente aritmética creciente infinita

Una serie gradiente aritmética (solo creciente) que sea infinita permite encontrar el valor presente, utilizando la siguiente expresión:







A diferencia del gradiente aritmético, los flujos de caja crecen o decrecen de una manera porcentual.  Estas variaciones porcentuales se identifican en las fórmulas mediante ig, ya que la tasa de interés comúnmente se referencia por medio de la i.

 

Como manera de ilustración se muestra cuál es el diseño gráfico de estos flujos de caja crecientes, en donde se representa un valor presente o valor futuro equivalente a una serie gradiente geométrica.



Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Geométrico

El valor futuro equivalente, de la secuencia geométrica de los flujos de efectivo, se representa por medio de la siguiente fórmula, en donde si la serie es creciente se aplica  (ig-i) y si es decreciente la serie se aplica (ig+i) :



Cabe destacar que esta equivalencia permite encontrar directamente el valor futuro de todo el flujo de caja y no solamente el del gradiente como se hallaba en el modelo aritmético.


Si la serie gradiente es creciente se utiliza el denominados con el signo (-) y en caso de ser decreciente se utiliza el denominador con el signo (+).


Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Geométrico

El valor presente total equivalente a una serie geométrica de flujos de efectivo, se calcula por medio de la siguiente fórmula




Si la serie gradiente es creciente se utiliza el denominados con el signo (-) y en caso de ser decreciente se utiliza el denominador con el signo (+).

 

Las ecuaciones anteriores requieren estrictamente que ig sea diferente de i, dado que el denominador no puede ser igual a cero.

 

Una forma de resolver este inconveniente es utilizando la siguiente formula alternativa:

 


Cálculo de una Serie Uniforme  dado un Gradiente Geométrico

La manera de volver una serie gradiente geométrica en una serie uniforme, se realiza mediante la siguiente fórmula, en donde se sigue las mismas especificaciones de signo en el denominador del primer corchete cuando la serie es creciente o decreciente.













Una serie gradiente geométrica (solo creciente) que sea infinita permite encontrar el valor presente, utilizando la siguiente expresión:










Para estudiar el caso del gradiente aritmético escalonado, pensemos en una serie de pagos que se realizan mensualmente iniciando con cuotas de valor R y que cada año se incrementan en un valor L, la siguiente figura ilustra la situación:






En la figura se pueden apreciar sobre la línea de tiempo conteos en meses y en años, nótese que en general, las cuotas se mantienen constantes durante cada año y que solamente a partir de la primera cuota del año siguiente se realiza incremento y dicho valor (cuota mas incremento) se mantiene constante durante todo el nuevo año en la forma que se comporta una anualidad de 12 periodos. Basándonos en este comportamiento es posible simplificar nuestro gráfico, hallando los futuros equivalentes de las anualidades de R y de L, a los cuales llamaremos por mnemotécnico FR y FL como se observa enseguida:






Dado que el futuro de una anualidad esta establecido por la relación:

 

 

Tendríamos que FR y FL serían, calculados a una tasa im (mensual) dada su periodicidad así:

 

 

Nota: Si los pagos no son mensuales, n e i deberán corresponder a la periodicidad que se plantee.

 

Con estos valores de FR y FL es posible crear nuestro nuevo gráfico del gradiente escalonado, el cual se vería aproximadamente así:

 

 




Donde es fácilmente reconocible un gradiente de n/12 periodos, con cuotas que inician en 1 con valor FR y que cada periodo se incrementan en FL. Nótese ahora la razón por la cual se escogió el valor futuro en el cálculo de FR y FL como equivalentes de las respectivas series, ya que de no haber sido así, no hubiésemos obtenido los equivalentes al final de cada periodo sino al principio (si se hubiera escogido presente de una anualidad) lo que hubiera dificultado la utilización de las expresiones previamente determinadas de valor presente y futuro así:



Valor presente







Que para el gradiente escalonado se transforma en:





Es muy importante recordar que en esta ultima expresión (la del gradiente escalonado) el conteo de periodos n se realiza en años y la tasa de interés (ia) por lo tanto será en años.




Valor futuro





Que para el gradiente geométrico escalonado se transforma en:






Nuevamente se recuerda que en esta última expresión (la de gradiente escalonado) el conteo de periodos n se realiza en años y la tasa a usar por tanto será la anual (ia).


Nota: Si los escalones no son anuales (por ejemplo semestrales), n e i deberán corresponder a la periodicidad que se plantee.








Para estudiar el caso del gradiente geométrico escalonado, pensemos en una serie de pagos que se realizan mensualmente iniciando con cuotas de valor R y que cada año se incrementan en un porcentaje G, la siguiente figura ilustra la situación:





Valor Presente







Valor futuro


























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Esteban Posada,
14 may. 2012 18:40
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Esteban Posada,
7 mar. 2011 12:49
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Esteban Posada,
6 nov. 2012 10:58
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Esteban Posada,
25 abr. 2011 4:57
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Esteban Posada,
25 mar. 2011 7:07
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Esteban Posada,
25 mar. 2011 6:37
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