c) Probabilidad‎ > ‎

c.2) Eventos y Probabilidades

En las secciones anteriores hemos visto los conceptos, de experimentos, eventos, y probabilidad, ahora observemos esos conceptos desde la perspectiva de los conjuntos:

Un Conjunto es toda reunión de objetos. Con frecuencia es de utilidad identificar cómo pueden relacionarse los conjuntos entres sí. Se asume que se han identificado dos conjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. Es completamente posible que algunos elementos esten en los dos conjuntos. Por ejemplo, si asumimos que el conjunto A consta de todos los estudiantes de estadística y el conjunto B consta de todos los estudiantes de administración. Aquellos elementos que estan en ambos conjuntos son los estudiantes de adminsitración de la clase de estadítia. tales estudiantes constituyen la intersección entre A y B. que se describe como AB y esta constituida con los elementos que son comunes tanto a A como a B.
Un diagrama de venn es una Herramienta útil para mostrar la relación entre conjuntos. esta representación se muestra en la figura:



Para que ocurra AB tanto “A como B” debe ocurrir. En nuestro ejemplo El estudiante de la clase de Estadística debe estar estudiando administración. A estos eventos se les denomina no disyuntivos. Ambos deben ocurrir ante de que ocurra la intersección..
La Unión de A y B, que se escrB e A   B , consta de tales elementos que están o en A o en B o en ambos.en nuestro ejemplo todos los estudiantes que están en la clase (A) sin tener en cuenta su especialización, y todos los espacialistas (B) sin tener en cuenta si están en la clase deestadística, son elementos de AB.
Una comprensión total de la probabilidad no puede adqruirse sin un entendimiento de las formas como pueden relacionarse los eventso.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8 productos defectuosos.

p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana

                                      = 18 / 1500 = 0.012

Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea serán defectuosos.

¿Porqué se utilizó para calcular las probabilidades la información de la semana inmediata anterior?. Debido a que esta refleja la situación que guarda actualmente la producción de la línea mencionada.

2. Basándose en la experimentación. Hay casos en los que después de repetir un número muy grande de veces un experimento, es posible determinar las probabilidades de ocurrencia de algunos eventos, tales como: La probabilidad de que aparezca águila al lanzar una moneda equilibrada, la probabilidad de que aparezca el número 3 en un dado, etc., etc.

Ejemplos:

p(águila) =1/2 = 0.5

p(aparezca el número 3)= 1 / 6 = 0.1666

3. Asignando probabilidades. En este caso se hace uso de las probabilidades obtenidas mediante estadísticas y la experimentación y se asignan a los eventos previamente descritos y a partir de ellas se determinan probabilidades de otros eventos.

A continuación se definen algunas cuestiones implícitas en el cálculo de probabilidades.

a) Espacio muestral (d).- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo.

Ejemplos:

1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.

                                                     d= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral.

                                         d = {AA, AS, SA, SS}

b) Evento A.- El evento A es un subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

1. Sea A el evento de que aparezca un número par en el lanzamiento de un dado, entonces;

                                                          A = {2,4,6}

2. Sea B el evento de que aparezcan dos águilas en tres lanzamientos de una moneda normal, entonces;

                                  Como d = {AAA, AAS, SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS}

Luego B = {AAS, SAA, ASA}

a)      Sea f un evento que carece de elementos.

= {         }

Como se observa los experimentos y eventos probabilísticos se pueden expresar con la notación  de conjuntos y a continuación se enumeran algunas operaciones que es posible realizar con los eventos.

     1) AB Es el evento que ocurre si y solo sí A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.

**

AB = A + B                                                           AB    


2) AB Es el evento que ocurre sí y solo sí A  y B ocurren a un mismo tiempo.

**

3) Ac  Es el complemento de A. Es el evento que ocurre sí y solo sí A no ocurre.

*

1)      Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes  o exclusivos si AB =

*

Ejemplo:

En un salón de clase hay 15 alumnos, 7 de los cuáles son de tercer semestre, 5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto semestre de la carrera de Ingeniería Química, de los cuales 4, 2 y 1 respectivamente dominan el Inglés, si se selecciona un alumno al azar de este grupo, a. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de quinto semestre?, b. ¿cuál es la probabilidad de que sea de tercero o cuarto semestre?, c. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de tercer semestre y domine el inglés?, d. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado no domine el inglés?, e. Diga si los eventos T y Q son mutuamente excluyentes, diga si los eventos Q e I son mutuamente excluyentes?

 

Solución:

Empezaremos por definir algunos eventos;

T = evento de que un alumno sea de tercer semestre

Cu = evento de que un alumno sea de cuarto semestre

Q = evento de que un alumno sea de quinto semestre

I = evento de que un alumno domine el inglés

a.       p(alumno seleccionado sea de quinto semestre) = p(Q) = 3/15 = 0.2

b.      p(alumno seleccionado sea de tercero o cuarto semestre)= p(T  Cu) =

= p( T) + p(Cu) = 7/15 + 5/15 = 12/15 = 0.8

c.       p(alumno sea de tercer semestre y domine el inglés) = p(T  I) = 4/15 = 0.26667

d.      p(alumno seleccionado no domine el inglés) = p(Ic ) = 8/15 = 0.53333

e.       Los eventos T y Q son mutuamente excluyentes dado que TQ =

Los eventos Q e I no son eventos mutuamente excluyentes, ya que QI= {1}

Ya que hay un alumno que cumple con ambos eventos, es de quinto semestre y domina el inglés.




Axiomas y teoremas de la Probabilidad

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0  p(A)  1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral  debe de ser 1.

                                                          p() = 1

3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B)

                                 

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS


TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.


                                                           p()=0

DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a  un evento A cualquiera, como  y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A)=p(A) +p()=p(A).

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

*

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .

TEOREMA 3. Si un evento A  B, entonces la p(A)  p(B).

*

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)p(B).

 

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AB)

*

DEMOSTRACIÓN:

Si A y B son  dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AB).   

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) – p(AB).

*

DEMOSTRACIÓN:

Si AB = (A \ B)  B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A  B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB).  

COROLARIO:

Para tres eventos A, B y C, p(ABC) = p(A) + p(B) + p(C) – p(AB) – p(AC) – (BC) + p(ABC).



ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.

Sea  d el espacio muestral, que contiene n elementos {a1, a2, a3,.....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad pi ³ 0, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las siguientes características:

1)    Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de  deben ser mayores o iguales a cero, pi  0.

2)    La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de  debe de ser igual a 1.

Pi = 1

En caso de que no se cumpla con las características antes mencionadas, entonces  no se trata de un espacio finito de probabilidad.

Ejemplos:


1.Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al número que ostenta, a) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?, b) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número primo?

Solución:

                        = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

En este caso asignaremos las probabilidades como sigue;

p(aparezca el número 1) = p,  p(aparezca el número 2) = 2p, .....,

p(aparezca el número 5) = 5p, p(aparezca el número 6) = 6p

Y por ser  un espacio finito de probabilidad, entonces,

p() = p + 2p +  3p + 4p + 5p + 6p =1

Por tanto,   21p = 1, luego,  p = 1/21

a.       Luego;

A = evento de que aparezca un número par = {2, 4, 6}

p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21= 0.5714


b.      B = es el evento de que aparezca un número primo = {1, 2, 3, 5}


p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21) = 11/21 = 0.5238


2. En una competencia de nado sincronizado, participan los equipos de Ecuador, México y Venezuela, México tiene el doble de posibilidades de ganar que Ecuador, mientras que Venezuela tiene un tercio menos de posibilidades de ganar que ecuador,


a. Determine la probabilidad de que gane Venezuela,

b. Determine la probabilidad de que gane Ecuador o Venezuela,

c. Determine la probabilidad de que no gane México.


Solución:

                        = {Ecuador, México Venezuela}


Por ser un espacio finito de probabilidad, p() = 1, luego,


P() = p(gane Ecuador) + p(gane México) + p(gane Venezuela) = p + 3p + 2/3p=1


Como 14/3p = 1,                 luego p = 3/14


a. p(gane Venezuela) = 2/3 p = 2/3*3/14 = 2/14 = 1/7 = 0.14285


b. p(gane Venezuela o Ecuador)=p(gane Venezuela)+p(gane Ecuador)=

p(gane  Venezuela o Ecuador)= 2/3p + p = 5/3 p = 5/3*3/14 =5/14 = 0.35714


c. p(no gane México) = p(gane Venezuela o Ecuador) = 1 – p(gane México) = 1 – 3p =

= 1 – 3(3/14) = 1 – 9/14  = 5/14 = 0.35714


3. En una competencia de ciclismo participan A, B y C, A tiene el doble de posibilidades de ganar que B y B el doble que C, a. Determine la probabilidad de que gane B, b. Determine la probabilidad de que gane A o B.

Solución:

={ A, B, C}, y por ser un espacio finito de probabilidad,

p() = p(gane A) + p(gane B) + p(gane C) = 4p + 2p + p = 1

Como 7p = 1,    luego, p = 1/7

a.       p(gane B) = 2p = 2(1/7) = 2/7 = 0.28571

b.      p(gane A o B) = 4p + 2p = 6p = 6(1/7) = 6/7 = 0.85714



ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.

Sea d un espacio muestral que contiene n elementos, d = {a1, a2, a3,....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener nelementos d, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones:

  1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, pi  0.

  2. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1.

Pi = 1

En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores, entonces no se trata de un espacio finito equiprobable.


Solo en el caso de espacios finitos equiprobables, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, entonces;

           p(A) = r*1/n = r/n

p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Número de elementos del espacio muestral

r = maneras de que ocurra el evento A

1/n = probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral


n = número de elementos del espacio muestral

Ejemplos:

  1. Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente equilibrada) tres veces, determine la probabilidad de que:

a. Aparezcan puras caras,

b. Aparezcan dos águilas,

c. Aparezcan por lo menos dos águilas.

Solución:

Para calcular las probabilidades de este problema, hay que definir el espacio muestral en cuestión; si representamos los tres lanzamientos de la moneda mediante un diagrama de árbol, encontraremos que el espacio muestral o el conjunto de todos los resultados posibles es:

            = {AAA, ASS, SAS, SSA, AAS, SAA, ASA, SSS}

A = evento de que aparezcan puras caras = {SSS}

p(A) = p(aparezcan puras caras) = p(SSS) = 1/8 = 0.125


¿Porqué un octavo?, sí el espacio muestral consta de 8 elementos como se ha observado, entonces la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral es de 1/8, por ser un espacio finito equiprobable ya que cada uno de los elementos mostrados tiene la misma probabilidad de ocurrencia.

B = evento de que aparezcan dos águilas = {AAS, SAA, ASA}

p(B) = p(aparezcan dos águilas) = p(AAS, SAA, ASA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

C = evento de que aparezcan por lo menos dos águilas = {AAS, SAA, ASA, AAA}

p(C) = p(AAS, SAA, ASA, AAA)=p(aparezcan dos águilas) + p(aparezcan tres águilas)

p(C) = 4/8 = 1/2 = 0.5

2. En un lote de producción que consta de 20 computadoras personales de cierta marca, se ha detectado que 4 tienen defectos de tipo operacional.


1. Si se selecciona al azar una computadora,


a. Determine la probabilidad de que la computadora seleccionada tenga defectos de tipo operacional,

b. ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos de tipo operacional?.


2. Si se seleccionan al azar 4 computadoras de este lote, determine la probabilidad de que:


a. Solo tres tengan defectos de tipo operacional,

b. Por lo menos dos tengan defectos de tipo operacional, c. Como máximo una tenga defectos de tipo operacional.

Solución:

Para el punto 2.1, cuando se selecciona de un lote un solo elemento, entonces el espacio muestral está compuesto de entes unitarios, que son cada una de las computadoras,

                                       = {20 computadoras}

A = evento de que una computadora tenga defectos de tipo operacional

                                     p(A) = 5/20 = 0.25

B = evento de que una computadora no tenga defectos de tipo operacional

                                     p(B) = 1 - p(A) = 1 – 0.25 = 0.75

2.2   Al seleccionar del lote más de una computadora, el espacio muestral ya no estará compuesto por entes unitarios, estará formado por todos los grupos que se puedan formar de 4 computadoras seleccionadas de entre 20 que se tienen,

{20C4 = 4,845 maneras de seleccionar las cuatro computadoras al azar}

Dicho de otra forma serían 4,845 muestras de cuatro computadoras, entre estas muestras hay algunas que contienen puras computadoras defectuosas o puras sin defectos y otras muestras que tienen una mezcla de computadoras con defectos y sin defectos.

  1. C = evento de que tres de las computadoras seleccionadas tengan defectos de tipo operacional

C = {4C3*16C1 = 4*16 = 64 muestras de cuatro computadoras que contienen tres defectuosas}

 

p(C) = 64/ = 64/4,845 = 0.013209

D = evento de que dos o más computadoras tengan defectos de tipo operacional

D = {2 con defectos, 3 con defectos o 4 con defectos}

D = {4C2*16C2 + 4C3*16C1 + 4C4*16C0 = 6*120 + 4*16 + 1 = 720 + 64 + 1 = 785}

El evento D consta de 785 muestras, en las que por lo menos dos de las cuatro computadoras seleccionadas tienen defectos.

p(D) = número de elementos del evento D/ número de elementos del espacio muestral

 

p(D) = 785/ = 785/4,845 = 0.162022

 

E = evento de que como máximo una de las computadoras seleccionadas tenga defectos de tipo operacional

E = {0 con defectos o 1 con defectos}

E = {4C0*16C4 + 4C1*16C3 = 1*1,820 + 4*560 = 1820 + 2240 = 4,060 muestras}

El evento E contiene 4,060 muestras que contienen una o ninguna computadora defectuosa, por lo que;

p(E) = 4,060/ = 4,060/4,845 = 0.83797

¿Porqué utilizar combinaciones para obtener la probabilidad en lugar de permutaciones?, en este caso no se habla de algún orden para seleccionar las computadoras es el motivo por el cual se usaron combinaciones, pero si decimos que se toman cuatro computadoras del lote y se pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que la primera y segunda computadora seleccionada tengan defectos de tipo operativo y que la tercera y cuarta no tengan defecto alguno?

En este caso el espacio muestral se determina haciendo uso de permutaciones ya que se trata de una prueba ordenada; como se observa a continuación:

= {20P4 = 20!/(20 – 4)! = 20!/16! = 116,280 maneras de seleccionar cuatro computadoras una tras otra}

F = evento de que la primera y segunda computadora tengan defectos y que la tercera y cuarta no tengan defectos

F = {4P2*16P2 = 4 x 3 x 16 x 15 = 2,880 muestras en donde la primera y segunda computadora tienen defectos y la tercera y cuarta no tienen defectos}

p(F) = 2,880/116,280 = 0.024767

Ejemplos:


I.- Se seleccionan dos números al azar de entre los dígitos del 1 al 9, a. Determine la probabilidad de que ambos números seleccionados sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.

Solución:

Para obtener el espacio muestral de este problema podemos hacer uso de un diagrama de árbol en donde se represente la selección del primer número y luego la del segundo número, encontrándose que los pares de números a elegir serían 36, como se muestran a continuación.

       (1,2)  (2,3)  (3,4)  (4,5)  (5,6)  (6,7)  (7,8)  (8,9)

       (1,3)  (2,4)  (3,5)  (4,6)  (5,7)  (6,8)  (7,9)

=   (1,4)  (2,5)  (3,6)  (4,7)  (5,8)  (6,9)

       (1,5)  (2,6)  (3,7)  (4,8)  (5,9)

       (1,6)  (2,7)  (3,8)  (4,9)

       (1,7)  (2,8)  (3,9)

       (1,8)  (2,9)

       (1,9)

Definiendo un evento A = evento de que los dos números seleccionados sean pares

Luego, A = {(2,4,  (2,6),  (2,8),  (4,6),  (4,8),  (6,8)}

p(A) = 6/36 = 1/6 = 0.1667

B = evento de que los dos números seleccionados sean impares

Luego, B = {(1,3), (1,5),  (1,7),  (1,9),  (3,5),  (3,7),  (3,9), (5,7), (5,9), (7,9)}

p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778

Otra forma de resolver este problema es haciendo uso de combinaciones, donde;

           

                 = {9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos números}

A = {selección de dos números de entre (2, 4, 6 y 8), 4C2 = 6 maneras de seleccionar dos números pares}

p(A) = 4C2/9C2 = 6/36 = 1/6 = 0.1667

B = {selección de dos números impares, se seleccionan de entra (1, 3, 5, 7 y 9), 5C2 = 10 maneras de hacer la selección }

p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778


II.- Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección:

TIPO DE FLECHA

DEFECTO

A

B

C

D

TOTAL

I

54

23

40

15

132

II

28

12

14

5

59

S-DEF

118

165

246

380

909

TOTAL

200

200

300

400

1100



Se selecciona una flecha al azar de las inspeccionadas, determine la probabilidad de que:

a. La flecha seleccionada sea del tipo B,

b. La flecha seleccionada no tenga defectos,

c. La flecha seleccionada tenga defectos del tipo II,

d. La flecha seleccionada tenga cualquier tipo de defecto.

Solución:

p( flecha sea tipo B) = 200/1,100 = 0.18182

p(flecha no tenga defectos) = 909/1,100 = 0.82636

p(flecha con defectos del tipo II) = 59/1,100 = 0.05363

p(flecha tenga cualquier tipo de defecto) = p(def tipo I) + p(def tipo II) =

= 132/1,100 + 59/1,100 = (132 +59)/1,100 = 191/1,100 = 0.17364


Se diseñan placas para automóvil que consten de tres letras seguidas de cuatro dígitos, las letras se toman del abecedario y los números de los dígitos del 0 al 9, no se repiten letras y números, si se selecciona una placa al azar de las que se han diseñado, determine la probabilidad de que:


a. La placa empiece por la letra D,

b. La placa empiece por la letra D seguida de E,

c. La placa termine por el número 4,

d. La placa termine por el número 43,

e. Si a un tránsito se le ha dado a la fuga un infractor, y recuerda que las placas empiezan por la letra E y terminan por el número 9¿cuántas placas tendrá que revisar el tránsito?, él alcanzó a ver que no se repetían letras y números, determine también la probabilidad de que encuentre al infractor.

Solución:

El espacio muestral será:

= {26P3*10P4 = 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000 placas}

El espacio muestral está formado por todas las placas que es posible diseñar,

A = evento de que una placa empiece por la letra D

A = {1*25P2*10P4 = 1 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 3,024,000 placas}

p(A) = 3,024,000/78,624,000 = 0.03846

B = evento de que la placa empiece por la letra D seguida de la E

B = {1 x 1 x 24 x 10P4 = 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas}

p(B) = 120,960/78,624,000 = 0.0015385

C = evento de que la placa termine por el número cuatro

C = {26P3*9P3*1 = 26 x 25 x 24 x 9 x 8 x 7 x 1= 7,862,400 placas}

p(C) = 7,862,400/78,624,000 = 0.10

D = evento de que la placa termine por el número 43

D = {26P3*8P2 x 1 x 1 = 26 x 25 x 24 x 8 x 7 x 1 x 1 = 873,600 placas }

p(D) = 873,600/78,624,000 = 0.01111



Se lanza al aire un dado normal dos veces,


a. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete?,


b. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea mayor de siete?,


c. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea de cómo máximo cinco?,


d. ¿cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento aparezca el número tres?

Solución:

Lo primero que hay que hacer es definir el espacio muestral correspondiente, si hacemos uso de un diagrama de árbol en donde representemos el primer lanzamiento del dado y luego su segundo lanzamiento  y obtendremos lo siguiente:

  (1,1)  (2,1)  (3,1)  (4,1)  (5,1)  (6,1)

        (1,2)  (2,2)  (3,2)  (4,2)  (5,2)  (6,2)

=    (1,3)  (2,3)  (3,3)  (4,3)  (5,3)  (6,3)

        (1,4)  (2,4)  (3,4)  (4,4)  (5,4)  (6,4)

        (1,5)  (2,5)  (3,5)  (4,5)  (5,5)  (6,5)

        (1,6)  (2,6)  (3,6)  (4,6)  (5,6)  (6,6)

Como se observa,  = {36 elementos} cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir, por lo que;

A = evento de que la suma de los  números que aparecen sea de por lo menos siete

A = {21 elementos que son los que suman siete o más}

       (6,1)

       (5,2)  (6,2)

A =  (4,3)  (5,3)  (6,3)

       (3,4)  (4,4)  (5,4)  (6,4)

       (2,5)  (3,5)  (4,5)  (5,5)  (6,5)

       (1,6)  (2,6)  (3,6)  (4,6)  (5,6)  (6,6)

p(A) = 21/36 = 0.58333

b. B = evento de que la suma de los números que aparecen sea mayor de siete

B = {15 elementos, que son los que suman más de siete, 8 o más}

           (6,2)

           (5,3)  (6,3)

B =      (4,4)  (5,4)  (6,4)

           (3,5)  (4,5)  (5,5)  (6,5)

           (2,6)  (3,6)  (4,6)  (5,6)  (6,6)

p(B) = 15/36 = 0.41667

c. C = evento de que la suma de los números que aparecen sea de cómo máximo cinco

C = {10 elementos, los que suman 5 o menos}

      (1,1)  (2,1)  (3,1)  (4,1)

C = (1,2)  (2,2)  (3,2)

      (1,3)  (2,3)

      (1,4)

p(C) = 10/36 = 5/18 = 0.27778

d. D = evento de que en el primer lanzamiento aparezca el número tres

D = {(3,1)  (3,2)  (3,3)  (3,4)  (3,5)  (3,6)}

p(D) = 6/36 = 1/6 = 0.16667

 
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