c) Probabilidad‎ > ‎

c.1) Reglas de Conteo.


Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales, si el numero de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Por ejemplo, al tirar un dado se obtiene solo 6 posibles resultados s = {1,2,3,4,5,6}, como se ha visto anteriormente, aún tirando dos datos se pueden obtener estos resultados: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Que serían, 5 niños, 4 niños y una niña, 3 niños y 2 niñas, etc. Para facilitar el conteo veamos tres técnicas de conteo, la de multiplicación, la técnica de permutación y la de la combinación.


Principio Multiplicativo.

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, entonces hay m x n formas de hacer ambas cosas, en otras palabras, el numero total de formas de hacer ambas cosas sería m x n, lo que se puede extender a más de dos eventos. Para tres eventos (m,n,o) se tendría que el número total de eventos sería, de m x n x o.

En el ejemplo de los dados, un dado puede caer de 6 maneras diferentes, un segundo dado puede caer también de 6 maneras diferentes, por lo tanto ambos dados pueden caer de 6 x 6 (36) maneras diferentes, si fueran 3 datos entonces, las maneras en que podrían caer serían de 6 x 6 x 6 maneras diferentes (216).

Ejemplo 2:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?


Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin). Número total de arreglos = 3 x 2


No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:


Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48


Ejempo 3:


En la etapa final de fútbol  profesional de primera, cuatro equipos :Chivas ( C ), Benfica ( B) ,Estudiantes  ( E ), UNAM (U), disputan el  primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse  en dichos lugares?


m = 4

n = 3


porque el primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 4 equipos, y el segundo lugar quedaría para los 3 lugares restantes, por ello el resultado sería: 4 x 3 = 12 



Ejercicios:


  1. El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas Maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?
  2. José (J), Pedro (P) y Anabel (A) fueron a comprar paletas de hielo de diferentes sabores: Limón (L), Fresa (F) y Uva (U). ¿Cuántas paletas compraron en total?
  3. Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y brazalete para una fiesta, ¿cuántas diferentes combinaciones puede llevar?
  4. una empresa de turismo estudiantil entrevista tres candidatos (Raúl, Diego y Martín) para cubrir un puesto de coordinador y uno de vendedor


Principio Aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas, ....., y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esta actividad puede llevarse a cabo de M + N + .... + W maneras o formas.

Ejemplo 1.

Una personas desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora W se presenta en dos tipos (8 u 11 kg), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semi automática, mientras que la lavadora E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora GE, se presenta en un solo tipo de carga, de 11 kg, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora Easy = 3 x 2 x 2 = 12 maneras 
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora GE = 1 x 2 x 1 = 2 maneras.

por lo tanto la lavadora se puede escoger de 16 + 12 + 2 maneras diferentes.

Nota: es interesante notar que la compra de una lavadora responde a una frase "o compro W o compro E o compro GE", pero no se compran más de una.

Ejemplo 2.

Carlos Pérez desea ir a Can Cun o a Playa del Carmen en las próximas vacaciones de verano, para ir a Can Cun, tiene tres medios de transporte para ir hasta Mérida y 2 para ir de Mérida a Can Cun, y para ir a Playa del Carmen desde Mérida, tiene cuatro diferentes medios de transporte:
a) ¿Cuántas maneras diferentes, tiene Carlos para ir a Can Cun o a Playa del Carmen?
b) ¿Cuántas maneras diferentes, tiene Carlos para ir a Can Cun o a Playa del Carmen  en viaje redondo, si no regresa por el mismo medio de transporte por el que se fue?

a)

M = Maneras de ir a Can Cun = 3 x 2 = 6 
N = Maneras de ir a Playa del Carmen = 3 x 4 = 12

por lo tanto

M + N = 6 + 12 = 18 maneras


b) 

M = Maneras de ir y regresar de Can Cun = 3 x 2 x 1 x 2 = 12
N = Mnaeras de ir y regresar de Playa del Carmen = 3 x 4 x 3 x 2 = 72

Por lo tanto

M + N = 12 + 72 = 84

Nota: ¿cómo determinar, cuando utilizar el principio aditivo y cuando el multiplicativo?, Cuando se trata de una sola actividad, que requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.


FACTORIAL DE UN NÚMERO

 

 

Es el producto de n por todos los naturales menores que el y se representa con el n!


n!=n·(n-1)!(n-2)·...·3·2·1

 

Ejemplo 1: hallar 6!


6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

 

          Ejemplo  2: 4!


         4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

 

 

NOTA: Considerando que todos los productos tienen por lo menos dosfactores, no tienen sentido los símbolos 0! Y 1!, pero para poder aplicar lasfórmulas a todos los casos, se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.

 

Encontrar el factorial de los siguientes números 

 

     5!     6!  0!   8!   10!    3!       




Permutaciones y Combinaciones.

El entendimiento de estos conceptos se puede lograr al definir a ambos, para establecer sus diferencias y de entender claramente cuando se puede utilizar una combinación o utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.

Combinación.- Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Permutación.- Es todo arreglo de elementos en donde interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constiye dicho arreglo.

Ejemplo:

Suponga que en un salón de clases, existen 35 alumnos. 

a) El maestro desea que tre de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando sea así necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente Secretario y Tesorero).


a) Los elegidos son Daniel, Arturo y Rafael para limpiar el aula o entregar material (aunque pudieron haberse seleccionado a estos alumnos o a otros para realizar este trabajo), la pregunta obligada es ¿Es importante el orden de selección de los elementos que van a formar el grupo de tres personas?, y se nota que en este caso no tiene importancia, ya que lo único que interesaría es el contenido de cada grupo, o dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo?, por tanto en este caso se trata de una combinación, lo que significa que las combinaciones nos permite formar grupo o muestras de elementos en donde lo único que interesa es el "contenido" (quienes o que conforman a los grupos o muestras) de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como presidente, a Arturo como Secretario y a Rafael como Tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer los cambios que se muestran a continuación:

 

CAMBIOS

PRESIDENTE

Daniel

Arturo

Rafael

Daniel

SECRETARIO

Arturo

Daniel

Daniel

Rafael

TESORERO

Rafael

Rafael

Arturo

Arturo


Tenemos ahora 4  tipos de representaciones, ¿ se trata de la misma representación? la respuesta inmediata es no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, un presidente tomará decisiones diferentes a otro, aún cuando se encuentre en el mismo "cuadro" electo, ¿importa el orden de los elementos en estas representaciones?, por supuesto que sí, luego entonces las representaciones definidas anteriormente son diferentes ya que el orden o la forma en la que se asignan las funciones si importa, por lo tanto en este caso se está tratando con permutaciones.


Obtención de fórmula de permutaciones.


Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.


¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?

 

Solución:


Haciendo uso del principio multiplicativo,

 

14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso

 

Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.

 

Luego si n es el total de participantes en el concurso y es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.

 

 

14 x 13 x 12 x 11 = n x (n - 1) x (n - 2) x  .......... x (n – r + 1)

 

si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces

 

= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!

 

= n!/ (n – r)!

 

Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:

 

 

                                                      

                                                    

 

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante  y solo se usen parte (r) de  los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

 

Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?


Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.

 

 

          nPn=  n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

 

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces

 

                                               

                                             nPn= n!

 

Ejemplos:

1)      ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

 

Solución:

 

Por principio multiplicativo:

 

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.

 

 

Por Fórmula:

 

 

n = 25,      r = 5

 

25P5 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=

          = 6,375,600 maneras de formar la representación

 

 

2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)  b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

 

Solución:

 

a. Por principio multiplicativo:

 

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera

 

Por Fórmula:

 

n = 8,   r = 8

 

8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.

 

 

b. Por principio multiplicativo:

 

8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

 

 

Por fórmula:

 

n =8,   r = 3

 

8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

 

 

3)      ¿Cuántos puntos de tres coordenadas  ( x, y, z ), será posible generar con  los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si,  a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

 

Solución:

 

a. Por fórmula

n = 6,     r = 3

 

    6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles

 

Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo

 

b. Por el principio multiplicativo

 

6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

 

 ¿Cuál es la razón por la cuál no se utiliza en este caso la fórmula?. No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor  ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.

 

 

4)      a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?

 

 

Solución:

 

a. Por fórmula:

 

n = 12,    r = 5

 

          12P5 = 12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego

 

 

a. Por principio multiplicativo:

 

1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego

 

 

      Por fórmula:

 

1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición

 

 

     a. Por principio multiplicativo

 

1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego

 

 

     Por fórmula:

 

1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas

 

5)      Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?

 

 

Solución:

 

a. Por principio multiplicativo:

 

 

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso

 

      Por fórmula:

 

 

26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso

 

a.       Por fórmula:

 

 

1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x  25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6

 

 

b.      Por fórmula:

 

 

1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar.


PERMUTACIONES CON REPETICION.

 

En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para  hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.

 

Ejemplo:

Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.

Solución:

 

Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras O, por lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtener serían:

 

  3P3 = 3! = 6

 

definiendo las permutaciones tenemos que estas serían,

 

                     O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1S

 

¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen?

 

Como:

                                         Arreglos reales

O1SO2 = O2SO1                          OSO

SO1O2 = SO2O1                          SOO

O1O2S= O2O1S                          OOS

 

 

Entonces se observa que en realidad sólo es posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idénticas, ¿pero qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales.

 

Para obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresión:

 

 

El número de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos los objetos como diferentes

                                                      Los cambios entre objetos iguales                                                  

 

 

            El número de arreglos reales =  3! /  2! = 3 x 2! / 2! = 3

 

 

 Por tanto la fórmula a utilizar sería;

                                                                         

 

Donde:

 

nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k.

 

n = x1 + x2 + ...... + xk

 

Ejemplos:

 

1)      Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

 

Solución:

 

n = 6 banderines

x1 = 2 banderines rojos

x= 3 banderines verdes

x3 = 1 banderín morado

 

 

                  6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

 

 

2)      a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las  claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?

 

Solución:

 

a. n = 8 números

    x1 = 3 números uno

    x2 = 1 número dos

    x3 = 4 números cuatro

 

                        8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso

 

 

b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos)

    x1 = 2 números uno

    x2 = 4 números tres

                        1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso

 

El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de acceso un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes.

 

c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres)

    x1 = 3 números uno

    x2 = 3 números tres

 

                        1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso

 

El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes.

 

3)      ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?

 

Solución:

 

n = 9 árboles

x1 = 2 nogales

x2 = 4 manzanos

x3 = 3 ciruelos

 

                  9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles

 

4)      Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

 

Solución:

 

n = 12 juegos

x1 = 7 victorias

x= 3 empates

x3 = 2 juegos perdidos

 

                 

                  12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos.



PRUEBAS ORDENADAS.

 

Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras:

 

1)      Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se  selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extraído los objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene:

 

 

            Número total de pruebas ordenadas con sustitución = n x n x n x .........x n = nr

 

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente.

 

2)      Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin  sustitución se obtiene:

 

 

          Número total de pruebas ordenadas sin sustitución = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPr

 

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n –1  maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-ésimo objeto, hay (n –r +1) de que sea seleccionado.

 

Ejemplos:

 

1)      ¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de cómputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a.sí la asignación se puede hacer con sustitución, b.sí la asignación se puede hacer sin sustitución.

 

Solución:

 

a. Por principio multiplicativo:

 

120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios

 

        Por fórmula:  n =120,    r = 120

 

            nr = 1203 = 1,728,000 maneras de asignar los tres premios

 

Hay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto que es extraído de la urna, las personas que participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres premios. Cosa que generalmente no ocurre.

 

b. Por principio multiplicativo:

 

 

             120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios

 

Por fórmula:

 

n = 120,     r = 3

 

 

120P3 = 120! / (120 – 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios

 

Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo.

 

 

2)      ¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de fórmula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación es totalmente al azar.

 

Solución:

 

Esta asignación debe ser sin sustitución, esto es, se trata de una prueba ordenada sin sustitución, por lo que la solución es la que se muestra.

 

n = 26,     r = 5

 

 

      26P5 = 26! / (26 – 5)! = 26! / 21! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 = 7,893,600 maneras de asignar las cinco primeras posiciones de salida

 

 

3)      ¿Cuántas formas hay de asignar el orden de participación de las primeras 5 concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss Mundo?

 

Solución:

 

Esta asignación debe realizarse sin sustitución, por lo que se trata de una prueba ordenada sin sustitución.

n = 11,   r = 5

 

            11P5 = 11! / (11 – 5)! = 11! / 6! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 55,440 maneras de asignar la participación


COMBINACIONES.

 

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

 

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

 

                                                

 

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

 

Donde se observa que,

                                               

 

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos  tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de objetos tomados de entre nobjetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

 

 

                                               nPr = nCr r!

 

Y si deseamos r = n entonces;

 

                                               nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1

 

¿Qué nos indica lo anterior?


Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.

 

Ejemplos:

1)      a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

 

Solución:

a. n = 14,  r = 5

 

                                           14C= 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!

                                         = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

                                         = 2002 grupos

 

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

 

b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres),           r = 5

 

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan  3 mujeres y 2 hombres

 

                                           8C3*6C2  = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!)

                                                 = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)

                                                 = 8 x7 x 6 x 5 /2!

                                                 = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas

 

 

c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más

 

Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

                          = 6C4*8C1    +     6C5*8C0 =  15 x 8   +   6 x 1 = 120 + 6 = 126

 

2)      Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a.¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2  primeras preguntas?, c.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?

 

Solución:

 

a.  n = 12,    r = 9

 

                  12C9 = 12! / (12 – 9)!9!

                           = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3!

                           = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera,

                                   el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen

 

b.      2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos primeras preguntas

 

c.       3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntas

 

d.      En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas

 

 3C0*9C9  +  3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar

 

3)      Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

 

Solución:

a. n = 11,    r = 5

 

      11C5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5!

                = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5!

                = 462 maneras de invitarlos

 

Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar.

 

 

 b. Esta señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja.

 

2C0*9C5   +    2C2*9C3 = (1 x 126)    +   (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos

 

      En este caso separamos a la pareja de los demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.

 

       c.La señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.

 

      2C0*9C5    +    2C1*9C4 = (1 x 126)    +    (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitación

  

4)      En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?.

 

Solución:

 

a.       En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen.

 

Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto,

 

     10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45  líneas que se pueden trazar

 

b.      En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán las líneas.

 

      2C0*8C2  = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B

 

c.       Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;

 

10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar

 

d.      En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y     posteriormente también se seleccionan dos puntos más.

 

1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A

 

e.       Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que;

 

2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB


PARTICIONES ORDENADAS.

 

Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos.

 

Para deducir la fórmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?

Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;

 

 

 


Diferente a
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Solución:

Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;

 

                        10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los libros

 

Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;

 

                         8C3 = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras

 

Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación;

 

                         5C5 = 5! / (5 –5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera

 

Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina:

 

                                 10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 – 2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10! /2!3!5!

 

La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas.

 

Por tanto la fórmula para las particiones ordenadas sería:

 

                                              

 

Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones.

 

Donde:

 

nPx1,x2,.....,xk = Total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos ...... y xk objetos.

 

               n = x1 + x2 + ......+ xk

 

Ejemplos:

 

1)      ¿Cuántas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea que al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?

 

Solución:

 

Por combinaciones,

 

9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetes

 

Por fórmula,

n = 9

x= 4

x= 2

x=3

 

9P4,2,3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes

 

2)      ¿Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9 juguetes entre tres niños, si se desea darle 3 al primer niño, 2 al segundo niño y 2 al tercer niño?

 

Solución:

 

En este caso únicamente se puede dar solución por combinaciones, ya que no es posible usar la fórmula debido a que se reparten solo parte de los juguetes.

 

 

9C3*6C2*4C2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes)

 

3)      a. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto?, b. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer alumno?

 

Solución:

 

a.       Por fórmula:

 

n = 14

x= 5

x2 = 5

x3 = 4

 

14P5,5,4 = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos de 5, 5 y 4 libros

 

b.      Por combinaciones:

 

14C5*9C3*6C2 = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3 y 2 libros

 

4)      a.¿Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas cada uno de ellos  para que realicen prácticas de laboratorio diferentes?, b. ¿Cuantas maneras hay de que se repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a realizar una misma práctica?

 

Solución:

 

a.       En este caso al ser prácticas de laboratorio diferentes, es posible resolver el problema por combinaciones o por la fórmula, dado que se reparten todos los alumnos

 

Por fórmula:

 

n = 12

x1 = 3 práctica 1

x2 = 3 práctica 2

x3 = 3 práctica 3

x4 = 3  práctica 4

 

12P3,3,3,3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3 personas para realizar prácticas diferentes

 

b.      En este caso lo más probable es que se crea que la solución es igual que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una misma práctica, el orden en el que se hace la repartición no tiene importancia, ya que al equipo de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en el segundo o tercero, ya que la práctica a realizar es la misma, entonces la solución es;

 

12P3,3,3,3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en equipos de 3 personas para realizar una misma práctica

 

Al multiplicar la solución que se da al inciso a, por 1/4! se está quitando el orden de los grupos, que en este caso no nos interesa.


DIAGRAMA DE ARBOL.

 

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

 

Ejemplos:


1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?                                  


 



 Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son  2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.

 

 

 

1)      Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un  diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,

 

 

 

Solución:

 

 

A = gana el equipo A

B = gana el equipo B

 

 

 

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar; AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.

 

 

 

2)      Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos  o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar




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Leonardo Hernández Triano,
16 de jun. de 2010 7:41
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