b.3) Medidas de Tendencia Central

Definiciones:

Las medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores también conocidos como estadigrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio. 

La media aritmética es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y caca uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorcionada de la información de los datos.

La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas. 

La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables que la media y la mediana.

Rango Medio es la media de las observaciones menor y mayor. como intervienen solamente estas observaciones, si hay valores extremos, se distorsiona como medida de posición, pero 
ofrece un valor adecuado, rápido y sencillo para resumir al conjunto de datos. 

Datos Discretos

No Agrupados

Analicemos para ello las edades que utilizamos cuando se vió la organización y presentación de datos discretos:

 

12

15

14

15

16

18

19

14

15

17

15

17

18

16

19

16

17

15

15

17

16

18

17

19

17

23

16

17

18

19

 

Estos fueron loa datos mostrados originalmente, no se han ordenado ni agrupado, determinemos ahora los valores de la Media, la Mediana y la moda, para ello recurramos a las fórmulas de estas medidas que resumimos en la siguiente tabla:

Medida

Formula

Observaciones

Media


Donde xi se refiere a todo y cada uno de los elementos de la muestra y n es el numero total de elementos en la muestra.

Mediana

a)      p = (n/2)

Es la posición en donde se encuentra la mediana.

Si n es impar, entonces es la opción a, en caso contrario, la b.

El valor de la mediana se obtiene por observación

b)      p = (n/2) + 1

Moda

 

Se obtiene el valor por observación

Rango Medio

(Valor máximo + Valor Mínimo) / 2

 

Aplicando, se obtienen los siguientes valores:

Para la media:

_     12 + 15 + 14 + 15 + 16 + 18 + 19 + 14 + 15 + 17 + 15 + 17 + 18 + 16 + 19 + 16 + 17 + 15 + 15 + 17 + 16 + 18 + 17 + 19 + 17 + 23 + 16 + 17 + 18 + 19  

X = -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                                                                                                     30

 

_         500

X = ------------ = 16.6667

             30

 

Para la mediana debera ordenarse el grupo de datos, como n = 30, utilizaremos la posición p = (30/2) = 15, el primer valor mayor a 15 corresponde a la clase 17.

 

La moda estaría determinada por observación directa, y correspondería al valor 17, que se presenta hasta 7 veces en la muestra.

El rango medio se determina por la suma entre 23 y 12 dividido entre 2 (23 + 12)/2 = 35/2 = 17.5

Si observamos los valores obtenidos veremos que solo para el cálculo de la mediana se obtiene tuvo que ordenar la información (así lo específica la definición), sin embargo podemos también observar que este ordenamiento no afecta de manera directa ninguno de los cálculos, de esta manera se puede construir la siguiente tabla:

Medida

Valor Calculado

Observaciones

Media

16.6667

 

Mediana

17

Se requirió el cálculo de la frecuencia acumulada

Moda

17

 

Rango Medio

17.5

 

Es de notar lo cercano de todos los valores que se han calculado, que circundan el valor de 17, no se notan cambios en los resultados comparados con los datos originales, sin embargo las formulas si se ven modificadas.

 


 

Agrupados

Recurramos ahora al agrupamiento de los datos discretos del ejercicio que hemos estado utilizando:

 Clase

Repeticiones

 Total de Años de la clase 

12

1

12

14

2

28

15

6

90

16

5

80

17

7

119

18

4

72

19

4

76

23

1

23

Total

30

500

En donde podemos observar la suma de las frecuencias y de los años multiplicados por la clase que agrupa a los datos coinciden con los datos utilizados cuando no se agruparon en la sección anterior, utilizando ahora las formulas de la siguiente tabla:

Medida

Formula

Observaciones

Media

Donde xi se refiere a todo y cada uno de los elementos de la muestra y n es el número total de elementos en la muestra y fi se refiere a la frecuencia de la clase.




Mediana




p = (n/2)

 

 

Es la posición en donde se encuentra la mediana.

Se ubica en la tabla el primer valor de frecuencia acumulada mayor a la posición calculada, si ese valor es mayor, entonces la mediana es la clase correspondiente al mismo. Si el valor es igual a la posición, entonces se suman el valor anterior más el valor obtenido y se divide entre 2.

Moda

 

Se obtiene el valor por observación de la mayor frecuencia

Rango Medio

(Valor máximo + Valor Mínimo) / 2

 

Aplicando, se obtienen los siguientes valores:

Para la media:

_      12 * 1 + 14 * 2 + 15 * 6 + 16 * 5 + 17 * 7 + 18 * 4 + 19 * 4 + 23 * 1           12 + 28 + 90 +  80 + 119 + 72 + 76 + 23

X = -------------------------------------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------------------

                                                      30                                                                                            30

 

_         500

X = ------------ = 16.6667

             30

 

Para la Mediana, utilizaremos la frecuencia acumulada:

 

 Clase

Frecuencia

Frecuencia Acumulada

12

1

1

14

2

3

15

6

9

16

5

14

17

7

21

18

4

27

19

4

29

23

1

30

Total

30


 

Como n = 30, utilizaremos la posición p = (30/2) = 15, el primer valor mayor a 15 corresponde a la clase 17.

 

La moda estaría determinada por observación directa, y correspondería al valor 17, que se presenta hasta 7 veces en la muestra.

El rango medio se determina por la suma entre 23 y 12 dividido entre 2 (23 + 12)/2 = 35/2 = 17.5

Si observamos los valores obtenidos veremos que solo para el cálculo de la mediana se obtiene tuvo que ordenar la información (así lo específica la definición), sin embargo podemos también observar que este ordenamiento no afecta de manera directa ninguno de los cálculos, de esta manera se puede construir la siguiente tabla:

Medida

Valor Calculado

Observaciones

Media

16.6667

 

Mediana

17

Se requirió el cálculo de la frecuencia acumulada

Moda

17

 

Rango Medio

17.5

 

Es de notar lo cercano de todos los valores que se han calculado, que circundan el valor de 17, no se notan cambios en los resultados comparados con los datos originales, sin embargo las formulas si se ven modificadas.



Datos Continuos

No agrupados

Las medidas de tendencia central para datos continuos no agrupados no tienen mayor significación, ya que el comportamiento es similar al de datos discretos no agrupados, por ello utilizaremos las mismas formúlas, pero ahora con los datos continuos del ejercicio de la sección correspondiente:

1.25

1.2

1.28

1.29

1.2

1.24

1.27

1.21

1.32

1.27

1.18

1.29

1.2

1.23

1.25

1.28

1.24

1.28

1.27

1.25

1.24

1.25

1.27

1.28

1.29

1.18

1.21

1.24

1.2

1.23

1.25

1.27

1.28

1.24

1.29

1.21

Aplicando, se obtienen los siguientes valores:

Para la media, aplicando la formula de la media para datos no agrupados (vista en la sección de datos discretos):

_    1.25 + 1.2 + 1.28+1.29+1.2 + 1.24 + 1.27 + 1.21 + 1.32 + 1.27 + 1.18 + 1.29 + 1.2 + 1.23 + 1.25 + 1.28 + 1.24 + 1.28 + 1.27 + 1.25 + 1.24 + 1.25 + 1.27 + 1.28 + 1.29 + 1.28 + 1.21 + 1.24 + 1.2 + 1.23 + 1.25 + 1.27 + 1.28 + 1.24 + 1.29 + 1.21

X = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                                                                                                                    30

 _         44.93

X = ------------ = 1.24805556

             30

 

Para la Mediana, como n = 36, es par, utilizaremos la posición p = (36/2) = 18

Por lo que la mediana se encontrará entre los valores que se ubiquen (de manera ordenada) entre las posiciones 18 y 19 (observa que antes de esa posición hay 17 y después también hay 17 valores), se encuentran 1.25 y 1.25, por lo que la mediana sería 1.25.

 

La moda estaría determinada por observación directa, y corresponderían a los valores 1.24, 1.25 y 1.27 que se repiten en la muestra 5 veces, por lo que la característica según la moda es una muestra trimodal (normalmente se le conoce como multimodal).

El rango medio se determina por la sumaentre 1.18 y 1.32 dividido entre 2 (1.18 + 1.32)/2 = 2.5 / 2 = 1.25

Si observamos los valores obtenidos veremos que solo para el cálculo de la mediana se tuvo que ordenar la información (así lo específica la definición), sin embargo podemos también observar que este ordenamiento no afecta de manera directa ninguno de los cálculos, de esta manera se puede construir la siguiente tabla:

Medida

Valor Calculado

Observaciones

Media

1.24805556

 

Mediana

1.25

Se requirió del ordenamiento de los datos

Moda

1.24,1.25, 1.27

Muestra multimodal

Rango Medio

1.25

 

Es de notar lo cercano de todos los valores que se han calculado, que circundan el valor de 1.25.

Agrupados

Retomando los cálculos realizados en la sección correspondiente a organización y presentación de datos continuos agrupados.

Clases

Li

Ls

Mc

F

fa

fc

fr

fra

frc

I

1.175

1.203

1.189

6

6

30

16.67%

16.67%

83.33%

II

1.213

1.241

1.227

10

16

20

27.78%

44.44%

55.56%

III

1.251

1.279

1.265

10

26

10

27.78%

72.22%

27.78%

IV

1.289

1.317

1.303

9

35

1

25.00%

97.22%

2.78%

V

1.327

1.355

1.341

1

36

0

2.78%

100.00%

0.00%

En ella se pueden observar los límites superiores e inferiores de cada clase, lo que indica (de no conocer los datos originales) que por ejemplo esos 6 valores de la clase pueden ubicarse en cualquier valor del rango, pueden ser por ejemplo 1.17, 1.171, 1.20, 1.202, 1.18, 1.1901.

Es decir pueden tomar cualquier valor dentro del rango lo que dificulta tomar estos parametros como elementos para el cálculo de las medidas de tendencia central, por ello se realizó el cálculo de la Mc (Marca de Clase) que en otras palabras es el rango medio de cada clase, que servirá para el cálculo de la media como lo establecemos en la siguiente tabla de cálculo para las medidas de tendencia central:

Medida

Formula

Observaciones

Media

Donde Mc se refiere a la marca de clase de cada clase, n es el número total de elementos en la muestra y fi se refiere a la frecuencia de la clase.



Mediana



p = (n/2)

 

 

Es la posición en donde se encuentra la mediana.

Se ubica en la tabla el primer valor de frecuencia acumulada mayor a la posición calculada.

El valor de la mediana se calcula tomando la formula del 5to. Decil.

Moda



Donde Li es el límite inferior de la clase que tiene la mayor frecuencia.

fm es la frecuencia  modal (aquella donde se encuentra la frecuencia  mayor)

f(m -1) es la frecuencia anterior a la frecuencia modal, en caso de encontrarse en la primera clase, este valor es cero.

F(m+1) es la frecuencia posterior a la frecuencia modal, en caso de encontrarse en la última clase, este valor es cero.

A es la amplitud de la clase modal.

Rango Medio

(Valor máximo + Valor Mínimo) / 2

 

Aplicandolas para calcular la media y complementando la tabla anterior:

Clases

Li

Ls

Mc

F

fa

fc

fr

fra

frc

Mc * f

I

1.175

1.203

1.189

6

6

30

16.67%

16.67%

83.33%

7.134

II

1.213

1.241

1.227

10

16

20

27.78%

44.44%

55.56%

12.27

III

1.251

1.279

1.265

10

26

10

27.78%

72.22%

27.78%

12.65

IV

1.289

1.317

1.303

9

35

1

25.00%

97.22%

2.78%

11.727

V

1.327

1.355

1.341

1

36

0

2.78%

100.00%

0.00%

1.341


36


45.122

Con fundamento en la tabla podemos entonces obtener:

                   45.122

Media =  ---------------- = 1.253388889

                      36

 

Para el cálculo de la mediana, se utiliza la formula del 5to. Decil (puede ser el 50tavo percentil), para ello determinamos la posición de este estadígrafo, p = (36/10)*5 = 3.6 * 5 = 18.

Con este valor recurrimos a la columna de la frecuencia acumulada y observarmos que el primer elemento mayor al valor calculado se ubica en la clase III, aplicando la fórmula obtenemos:

                                       ((36/10)*5 – 16)                                            (18 – 16)

Mediana = 1.251 + (----------------------------) * 0.028 = 1.251 + (---------------) * 0.028

                                                  10                                                             10

 

                                         2

Mediana = 1.251 + ( ---------) * 0.028 = 1.251 + (0.2 * 0.028) = 1.251 + 0.0056 = 1.2566

                                        10

La moda se encontraría en las clases II y III, son las que mayores frecuencias manifiestan, por lo tanto podemos definir que existen una característica de multimodalida en la muestra, calculemos la primera moda (dejamos como actividad complementaria el cálculo de la segunda moda).

                              ( 10 – 6)                                                     4

Mo = 1.213 + ( -------------------------) 0.028 = 1.213 + (--------) * 0.028 = 1.213 + 0.028

                              (2* 10 – 6 – 10)                                         4

Mo = 1.241

 

El rango medio se determina por la sumaentre 1.18 y 1.32 dividido entre 2 (1.18 + 1.32)/2 = 2.5 / 2 = 1.25

Si observamos los valores obtenidos veremos que solo para el cálculo de la mediana se tuvo que ordenar la información (así lo específica la definición), sin embargo podemos también observar que este ordenamiento no afecta de manera directa ninguno de los cálculos, de esta manera se puede construir la siguiente tabla:

Medida

Valor Calculado

Observaciones

Media

1.253388889

 

Mediana

1.2566

Se requirió del uso de fórmulas del 5to decil, se pudieron usar las de 50tavo centil.

Moda

1.241

Muestra multimodal, solo se calculó la primera moda

Rango Medio

1.25

 

Es de notar lo cercano de todos los valores que se han calculado, que circundan el valor de 1.25.

Construyamos una tabla comparativa de resultados de cálculo de estas medidas;

Medida

No agrupados

Agrupados

Media

1.24805556

1.253388889

Mediana

1.25

1.2566

Moda

1.24,1.25, 1.27

1.241

Rango Medio

1.25

1.25

Puede en esta tabla observarse una diferencia marcada en los valores obtenidos por agrupamiento y no agrupamiento para la media, la mediana y la moda, la última, por observación en el caso de no agrupamiento nos presenta 3 modas, mientras que en el agrupamiento, se obtienen 2 modas, la realidad es que el agrupar datos continuos se tiene una perdida de valores por la aproximación que se tiene al calcular por ejemplo la marca de clase como valor representativo medio de la misma.


Después de estos ejercicios que realizamos para la determinación de las medidas de tendencia central, para datos discretos y continuos tanto agrupados como no agrupados, realicemos los ejercicios de evaluación de esta sección, para ello baja el documento correspondiente en la sección de archivador (Ejercicios de Medidas de Tendencia Central.pdf) , resuelve los ejercicios (de preferencia en excel o en un software estadístico (spss, minitab, etc.) posteriormente envíalo a: leonardo.hernandez@gmai.com o sube tus respuestas en los archivos adjuntos de esta página.


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