Matemática

  • Provar que 2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer n par natural
    PROBLEMA:

    Provar que 2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer n par natural.

    RESOLUÇÃO:

    Seja 2^n-1 múltiplo de 3 para todo n par.
    E seja n = 2k para todo k natural.
    Então 2^(2k)-1 é também múltiplo de 3.

    PROPOSIÇÃO 1:

    Para o primeiro número natural k = 0 temos que
    2^(2k)-1 = 2^(2.0)-1 = 2^0-1 = 1-1 = 0 (que é múltiplo de 3).
    Assim, fica provado que para o primeiro número natural k = 0
    é verdade que 2^n-1 é múltiplo de 3.

    Suponha que:
    Se, para um número natural qualquer, é verdade que: 2^(2p)-1 é múltiplo de 3,
    então será verdade para qualquer sucessor p+1 de p,
    ou seja, será verdade que 2^(2(p+1))-1 é múltiplo de 3.

    Vamos então desenvolver 2^(2(p+1)) - 1
    2^(2(p+1)) - 1 = 2^(2p+2) - 1 = 2^(2p) * 2^2 - 1 = 4 * 2^(2p ) - 1

    Somando-se - 3 + 3 = 0 à expressão anterior, teremos:
    4 * 2^(2p ) - 1 - 3 + 3 =  4*2^(2p) - 4 + 3 =  4*(2^2p-1) + 3

    Ora, se 2^(2p)-1 é múltiplo de 3, então existe um inteiro tal que 2^(2p)-1 = 3M.
    Assim: 4*(2^2p-1) + 3 = 4*3M + 3 = 3(4M+1)

    3(4M+1) é múltiplo de 3.
    Então é verdade que, se 2^(2p)-1 é múltiplo de 3 para um determinado número p natural,
    então também será múltiplo de 3 para qualquer sucessor (p+1) desse número.

    E se é verdade para o primeiro número natural 0, então será verdade para todos os seus sucessores.
    Logo,  2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer par natural.

    CQD

    Erisvaldo Ferreira Silva
    erisbaldo@yahoo.com.br
    Postado em 6 de mai de 2012 19:50 por Erisvaldo Ferreira Silva
  • MODELAGEM COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

    UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS – UNIMONTES

    CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CCET

    DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

    CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

    QUARTO PERÍODO TURNO: NOTURNO

    DISCIPLINA: TEORIA DOS NÚMEROS

    PROFESSOR: FREDY


    ACADÊMICOS:

    CAMILA CRISTINA BARROSO RODRIGUES

    ERISVALDO FERREIRA SILVA

    LAURA KARINNE RODRIGUES MOREIRA

    LÍCIA OLIVEIRA

    LORENA RODRIGUES ARAÚJO


    MODELAGEM COMO ESTRATÉGIA

    DE ENSINO E APRENDIZAGEM

    DA MATEMÁTICA


    MOSTES CLAROS / MG – 2007




    MODELAGEM COMO ESTRATÉGIA

    DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA


    CAMILA CRISTINA BARROSO RODRIGUES, ERISVALDO FERREIRA SILVA, LAURA KARINNE RODRIGUES MOREIRA, LÍCIA OLIVEIRA, LORENA RODRIGUES ARAÚJO


    Modelo e Modelagem


    Modelo é uma representação de alguma coisa ou de alguma situação a ser estudada. Um modelo matemático, geralmente, representa uma dinâmica ou plano de ensino no qual o principal fator é a aprendizagem ou facilitação.

    Modelagem é simplesmente o processo efetuado ao se construir um modelo, ou seja, quando criamos um modelo, estamos praticando a modelagem.


    Modelagem como estratégia de ensino e aprendizagem


    A modelagem ajuda os alunos a despertarem interesse pelos tópicos estudados, ao mesmo tempo em que estes aprendem a arte de modelar. É através da modelagem que os alunos aprendem a criar e usar suas próprias relações.

    É possível, através da modelagem, conhecer a realidade de cada aluno ou a afinidade de um grupo. Isso ajuda e facilita a escolha ou direcionamento do tema a estudado.

    É feita inicialmente uma breve exposição sobre o tema a ser abordado. Em seguida, faz-se um levantamento das questões e dificuldades encontradas entre a turma. Formula-se, então, algumas questões e trabalha-se com os alunos uma melhor forma de se criar as respostas para estas. Surgindo assim o modelo para a resolução daquelas propostas apresentadas ou, até mesmo, de outras compatíveis.

    A escolha do tema e a interação com o mesmo devem ter orientação (professor) e deve ser planejada de forma a ser trabalhada pelos grupos da melhor forma possível. O tema escolhido deve utilizar alguma parte do conteúdo programático (do dia, da semana).

    Uma vez concluído o modelo, a validação, divulgação e um breve relatório se fazem necessário. Um modelo pode ser simples ou complexo, mas sempre favorecer a simplificação e aplicação dos fatos abordados no mesmo.


    Apresentação de uma proposta de modelo para o ensino de Matemática


    Nas páginas que se seguem, apresentamos uma proposta de modelo simples, de baixa complexidade. Serão trabalhadas na mesma, algumas funções da disciplina Teoria dos Números, tais como função resto, divisibilidade, a idéia de par ou ímpar, divisão inteira, indução e alguns outros tópicos da matemática muito utilizados no dia a dia como tabelas, noções de lógica, interpretação e criação de novas relações.

    A proposta a que se refere as próximas páginas é sobre o conhecimento do calendário. Uma realidade de utilidade mundial e que muitos desconhecem ou ignoram. A história do calendário, a sua configuração, o porque dos nomes dos meses e da quantidade de dias de cada um, o porque dessa variação quantitativa, são alguns dos tópicos que serão abordados no modelo.

    Uma proposta que pode ser aplicado desde as séries iniciais (com a definição de ano comum e ano bissexto, nomes dos meses, etc) até o ensino superior (cálculo de dias da semana, construção de relações para estudo de datas ou de intervalos entre as mesmas, etc).


    REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


    Foi utilizado, como referência bibliográfica, um texto passado pelo professor.




    Postado em 3 de dez de 2011 11:35 por Erisvaldo Ferreira Silva
  • Diferença entre Número e Numeral

    Diferença entre Número e Numeral

    Erisvaldo Ferreira Silva


    Número é uma palavra ou símbolo que representa ou dá uma noção de quantidade. Alguns números podem ser divididos em quatro classes chamadas Numerais. Podemos então dizer que Numeral é um conjunto de números.

    Existem numerais cardinais que são compostos por números que indicam quantidade absoluta, numerais multiplicativos que são compostos por números que indicam múltiplos, numerais fracionários que são compostos por números que indicam frações e numerais ordinais que são compostos por números que indicam ordem.


    • Tenho três maçãs. Que quantidade de maçãs eu tenho? Resposta: Três. “Três” representa o número de maçãs que eu possuo. Logo “Três” é um número e pertence à classe dos numerais cardinais, pois representa uma quantidade.


    • João tem seis laranjas, eu tenho o dobro de laranjas que João. Quantas laranjas eu tenho? Resposta: Eu tenho doze laranjas, o dobro que João. “Dobro” representa a quantidade de laranjas que tenho. Logo “Dobro” é um número e pertence à classe dos numerais multiplicativos, pois representa um múltiplo.


    • Maria tinha nove balas, ela me deu um terço delas. Quantas balas Maria me deu? Resposta: Um terço, três balas. “Terço” representa o número de balas que ganhei de Maria. Logo “terço” é um número e pertence à classe dos numerais fracionários, pois representa uma fração.


    • Pedro está em terceiro lugar em uma fila. Quantas pessoas, da primeira até Pedro, estão na fila? Resposta: Três pessoas, o primeiro e o segundo e o terceiro (Pedro). “Terceiro” representa a quantidade de pessoas que estão na fila até Pedro. Logo “Terceiro” é um número e pertence à classe dos numerais ordinais, pois representa ordem.

    Postado em 3 de dez de 2011 11:19 por Erisvaldo Ferreira Silva
  • Ética e (Falta de) Educação

    Resenha do texto

    Ética e (Falta de) Educação de Roberto Patrus Mundim Pena

    por: Erisvaldo Ferreira Silva


    A Educação é a arte de ensinar às pessoas o conhecimento necessário para sobreviver e viver em sociedade.

    A Educação implica dois fatores interdependentes: a informação e a formação. A informação é o conhecimento que precisamos para viver bem com a sociedade ao qual pertencemos, mas conforme a sociedade vai se modificando precisamos atualizá-la. Para isso refletimos sobre tais mudanças. Isto é formação.

    O ser humano nasce apenas com seu instinto. Mas a partir daí já começa a entrar em contato com uma sociedade criada pelos homens. Com isso ela vai aprendendo a viver como tal e, a cada dia, desde jovem a adulto, se atualizando. Esse processo só acontece devido a Educação.

    Este mesmo ser humano estará à mercê de novos conceitos da sociedade. Sobre o que ético ou moral. E, dependentemente do meio onde se encontra e do grupo ao qual faz parte, através da formação, irá adquirir para si valores quanto a estes dois conceitos. Tornando-se assim um cidadão cujo comportamento seguirá ou não o padrão social.

    A origem do comportamento do indivíduo está na família. E esse comportamento se repercute na escola. Dependendo do padrão familiar, o comportamento desse aluno, na escola, pode até mesmo contrariar os valores éticos e morais impostos por esta. Esse problema é causado pela constante e acelerada privatização das famílias, pelo individualismo moderno do cidadão e pela popularização do uso da tecnologia.

    Diante desse fato, é necessário resgatar o papel da família quanto à construção da cidadania repensando o conceito de autoridade dos pais para com seus filhos. E é preciso que família e escola caminhem sempre juntas. É preciso conscientizar as pessoas quanto à importância da vida em sociedade mostrando os valores de da cada um e mostrar ainda que existem valores diferentes. Mostrar ainda que dependemos dos demais membros do meio ao qual pertencemos.

    Mas mesmo conhecendo a sociedade em que vivemos, a falta de respeito dos filhos para com os pais e professores, a inversão da ética e da moral, a existência de valores e comportamentos contrários, e sabendo-se da difícil reversão dessa situação, ainda podemos transformar a crise em oportunidade. Para tal transformação, o primeiro passo é a conscientização.

    Postado em 3 de dez de 2011 11:17 por Erisvaldo Ferreira Silva
  • Falta Fundamentação Didática no Ensino da Matemática

    Crítica acerca do texto

    Falta Fundamentação Didática no Ensino da Matemática”

    por: Erisvaldo Ferreira Silva


    A pesquisadora argentina Dra. Patrícia Sadovsky sugere o fim do professor polivalente enquanto o mundo moderno abraça a interdisciplinaridade, defende um espaço de reflexão para os professores enquanto estes mal têm tempo para dar aulas, diz não se tratar de discussão sobre inovação, mas sabe que para alcançar as suas metas é preciso mudanças.

    A Dra. Foi feliz em sua entrevista a colunista Roberta Bencini da revista Nova Escola (in: Fala, Mestre! – Jan/Fev 2007) quando expõe o seu ponto de vista, e de sua pesquisa, quanto ao ensino de Matemática na Argentina, no Brasil e no mundo. Tendo real percepção dos problemas ora enfrentados pelos alunos desta matéria.

    Dra. Patrícia encara a Matemática, sob a ótica de alunos e professores e sob a ótica de sua especialidade como Doutora em Didática da Matemática, como uma matéria que não está sendo aprendida (ou ensinada) por completo nas escolas de todo o planeta. Quando afirma que as calculadoras já efetuam cálculos e que o mundo já exige mais que isso, dá a entender que a necessidade de aprendizado do “fazer cálculos” já não se faz tão necessária quanto ao aprofundamento matemático da álgebra e da geometria.

    É de se esperar realmente mais que cálculos no mundo de hoje. É preciso programar e aprender a programar aulas com jogos e brincadeiras e simulações que, de acordo a própria Doutora, devem ser tidos apenas como ponta-pé inicial em uma seqüência de aprendizagem onde o restante do processo deve ser passado pelo professor através de aulas “interessantes”.

    Quando ela diz que “Fundamental é ter um compromisso de aprendizagem com o aluno” deixa portas abertas a diferentes metodologias por parte do professor. Mas deixa bem claro uma linha de didática a ser seguida, caso o professor opte pela resposta da sua pesquisa.

    Ora certa, ora não, o que realmente conta para o bem-estar dos alunos desta incrível disciplina, para o avanço da mesma e para uma melhor didática seria o ato de se por em prática ao menos algum destes métodos tão estudados, e que, aos montes são pesquisados, projetados e discutidos, que não passam de teoria.

    Postado em 3 de dez de 2011 11:13 por Erisvaldo Ferreira Silva
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