L'axe EFI relève des trois réseaux thématiques de l'INSMI : rt2n, ALGR et GAS. Il a pour but de fédérer les nombreux chercheurs et chercheuses qui travaillent en France dans des domaines dont les équations fonctionnelles sont soit l'objet d'étude soit des outils importants pour les applications. Ces domaines concernent les mathématiques « pures » et « appliquées », l'informatique et la physique théorique. On observe actuellement des interactions de plus en plus fortes entre la théorie et les applications, de nombreuses actions communes ayant eu lieu depuis une dizaine d'années. 

Les journées 2025 de l'axe EFI auront lieu du lundi 13 (matin) au mercredi 15 (midi) octobre à l'Institut Camille Jordan, Lyon.
Organisateurs : Boris Adamczewski, Éric Delaygue et Julien Roques.

Mini-cours (3h)

• Xavier Caruso (Université de Bordeaux)
  Holonomic series and their reductions modulo p
  The aim of this course is to compare the algebraic behavior of a holonomic series $f(x) \in \mathbb Q[[x]]$ (that is, a series which is solution of a linear differential equation over  $\mathbb Q(x)$) and its reductions modulo the primes when they are defined.
  I will in particular discuss the Grothendieck-Katz conjecture which roughly speaking compares the differential Galois groups of $f(x)$ and $f(x) \bmod p$.
  When the reductions $f(x) \bmod p$ are algebraic (which happens times to times even though $f(x)$ itself is transcendental), I will also state a conjecture describing their algebraic Galois groups. This course will be illustrated by many examples.

• Javier Fresán (Sorbonne Université)
  Arithmetic holonomy bounds and irrationality (after Calegari, Dimitrov, Tang)
  I will survey on the ideas recently introduced by Calegari, Dimitrov, and Tang to prove the irrationality of some periods, namely the special value 1-1/4+1/16-1/25+1/49... of a Dirichlet L-function, without finding new linear forms approximating them. The method relies instead on bounds for the dimension of the vector space generated by G-functions whose coefficients have common denominators of a given type, refining and making effective a long series of algebraization results for power series with rational coefficients. 

Exposés (50mn)

• Mireille Bousquet-Mélou (Université de Bordeaux)
  Le modèle de Potts à 3 états sur les cartes planaires
  On considère la série génératrice  T(\nu,t) du modèle de Potts à 3 états sur les triangulations : cette série en \nu et t compte les triangulations planaires, à sommets coloriés en 3 couleurs, selon la taille (le nombre de sommets - variable t) et le nombre d'arêtes monochromes (variable \nu).
  Cette série est connue pour être algébrique depuis une quinzaine d'années, à cause de ses liens avec la solution d'une équation différentielle discrète (EDD), et de résultats d'algébricité généraux sur ces équations. Pourtant, malgré de récents progrès sur la résolution effective d'EDDs, la valeur exacte de T(\nu,t) est restée inconnue jusqu'à nos récents travaux avec Hadrien Notarantonio (IRIF). Nous avons finalement établi pour T(\nu,t) un polynôme minimal, de degré 11 en T. À partir de là nous déterminons la valeur critique de \nu et l'exposant correspondant. Ce résultat prouve aussi une conjecture de Bruno Salvy (~2009) sur le nombre de cartes planaires cubiques (sommets de degré 3) équipées d'une 3-coloration propre.
  Une autre approche, appliquée au cas (encore plus lourd) des cartes planaires générales, toujours 3-coloriées, mène à une équation de degré 21.
  L'exposé sera plus un récit de l'histoire de ce problème qu'une plongée dans les détails de notre solution.

• Hadrien Brochet (Université Paris-Saclay)
  Faster multivariate integration in D-modules
  Not all integrals can be expressed in closed form using elementary functions, as shown by Liouville's theorem. In contrast, the integral of a holonomic/D-finite function is always holonomic/D-finite, that is the integral of a function satisfying sufficiently many linear differential equations (LDEs) with polynomial coefficients also satisfies such a system of LDEs. This makes the holonomic and D-finite frameworks particularly relevant for symbolic integration.
  I will address two central algorithmic problems in this field: the problem of integration with parameters, where one seeks a differential equation satisfied by a parametric integral, and the reduction problem, where the goal is to find linear relations between integrals. Two distinct approaches exist, the D-finite one and the holonomic one. The D-finite approach has been the most studied one and offers efficient algorithms, but it lacks the full expressivity of the holonomic setting, which can handle a broader class of integrals and particularly those over semi-algebraic sets. However, the current algorithms developed for the holonomic setting have a prohibitive computational cost. I will present a new reduction algorithm working in a mixed approach, aiming to balance the efficiency of D-finiteness with the expressivity of holonomy. This reduction is inspired by the Griffiths-Dwork method for rational functions and yields similarly an algorithm for the problem of parametric integration.
  As an application, I will present the computation of a differential equation for the generating function of 8-regular graphs, which was out of reach so far.
  This is a joint work with my PhD advisors Frédéric Chyzak and Pierre Lairez.

• Alaa Ibrahim (ENS Lyon)
  Automatic positivity proofs for linear recurrences
  Behind many inequalities in combinatorics or involving special functions lies an elementary question: Are all terms of a sequence defined by a linear recurrence positive? This question appears in various applications including code verification, error analysis and biological modelling.
  More precisely, given a sequence defined by a linear recurrence with polynomial coefficients and initial conditions, the problem is to decide whether all terms of the sequence are positive. This problem is hard. Even for recurrences with constant coefficients, decidability is linked to open problems in number theory.
  Our proofs relie on a geometric approach: by induction, we show that the recurrence vectors remain in a positive cone, constructed using the Perron-Frobenius theory for cones. This cone-based approach establishes the decidability of the positivity for a large class of recurrences of arbitrary order.

• Joshua Lam (Humboldt University, Berlin)
  Non-abelian cohomology and differential equations
  It is by now well known that, by considering the cohomology of families of algebraic varieties, one gets particularly nice linear differential equations known as Picard-Fuchs equations. I will discuss the non-abelian generalization of this, which leads instead to non-linear differential equations, including the Painlevé VI equation. I'll argue that many of the properties of Picard-Fuchs equations extend to this setup, and survey some conjectures and known results, both arithmetic and geometric, about these differential equations. This is based on joint work with Daniel Litt.

• Julien Marché (ENS Paris)
  Équations aux q-différences en topologie quantique
  La conjecture du volume est une question de topologie quantique ouverte depuis les années 1990. Elle a pris depuis les formes les plus diverses mais n'est résolue que dans des cas spécifiques. Quelle que soit sa forme, elle cache une équation aux q-différences dont on espère bien se servir pour la résoudre. Je passerai ces idées en revue. 

• Xavier Roulleau (Université Angers)
  Nombre de partitions d’entiers modulaires
  Étant donné trois entiers positifs $n,k,s$, quel est le nombre de sous-ensembles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ de cardinal $k$ dont la somme est égale à $s$ modulo $n$ ?
  Avec David Broadhurst, nous avons trouvé de manière empirique des formules qui répondent à cette question pour les séries génératrices associées. Ces formules utilisent une suite de matrices carrées $M(k)$ de taille le nombre de diviseurs de $k$, et telles que si $k_1,k_2$ sont premiers entre eux, la matrice $M(k_1 k_2)$ est le produit de Kronecker de $M(k_1)$ et de $M(k_2)$. Comme nous l’avons appris par la suite, ces matrices étaient connues (Balandraud, Maze…), et liées aux sommes de Ramanujan. De plus, Ramanathan avait déjà explicité les formules pour les entiers $T(n,k,s)$. Deligne nous a donné une autre preuve que les formules empiriques que nous avions trouvées étaient correctes, preuve généralisant le problème de  $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ aux groupes abéliens finis. Dans cet exposé, j’expliquerai comment nous en sommes venus à considérer cette question (liée par exemple aux nombres de mots de Lyndon), ainsi que les grandes lignes de la preuve par Deligne.
  Exposé basé sur l’article ’Number of partitions of modular integers' en collaboration avec David Broadhurst, avec un appendice de Pierre Deligne.

• Béatrice de Tilière (Université Paris Dauphine-PSL)
  La récurrence dSKP : aspects combinatoires et systèmes géométriques
  Le sujet de cet exposé est la récurrence discrète Schwarzienne de Kadomtsev-Petviashvili (dSKP). Dans un premier temps, nous allons démontrer une expression explicite pour sa solution en fonctions des données initiales ; plus précisément, nous montrerons que la solution est le quotient de deux fonctions de partition associées à un modèle de dimères orientés. Dans chacune des fonctions de partition, il y a des annulations, et nous démontrerons une expression alternative, sans annulation, qui implique des arbres et des forêts. En dehors de son intérêt combinatoire, cette expression est utilisée pour montrer des résultats de singularités pour la récurrence. Ensuite, nous expliquerons comment l'équation dSKP apparaît dans de nombreux systèmes de géométrie discrète tels que : les fonctions holomorphes discrètes, le recoupage de polygones, le pentagram map. Nous exhiberons les implications de nos résultats sur ces systèmes. Il s'agit de travaux en collaboration avec Niklas Affolter (TU Vienne) et Paul Melotti (UP Saclay).

• Boris Adamczewski

• Cyril Banderier

• Gregor Böhm

• Pierre Bonnet

• Alin Bostan

• Mireille Bousquet-Mélou 

• Hadrien Brochet

• Enzo Brechler

• Xavier Caruso

• Frédéric Chyzak

• Eric Delaygue

• Philippe Dumas

• Andrew Elvey Price

• Colin Faverjon

• Javier Fresán

• Florian Fürnsinn

• Louis Gaillard

• Laurent Habsieger

• Charlotte Hardouin

• Vincel Hoang Ngoc Minh

• Alaa Ibrahim

• Rémi Jaoui

• Frédéric Jouhet

• Josh Lam

• Bodo Lass

• Yoann Loday

• Julien Marché

• Tuan Ngo Dac

• Minh-Duc Nguyen

• Quang-Khai Nguyen

• Lucas Pannier

• Marina Poulet

• Kilian Raschel

• Guillaume Rond

• Julien Roques

• Xavier Roulleau

• Bruno Salvy

• Juliette Schabanel

• Théo Ternier

• Trieu Thu-Ha

• Béatrice de Tilière

• Daniel Vargas-Montoya

• Jacques-Arthur Weil

• Youssef Yjjou