unidad 5 aplicacion de la derivada

Unidad  5 aplicación de la derivada:

5.1 recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

5.2 teorema de valor medio (teorema de rolle o teorema de lagrange):

5.3 funcion creciente y decreciente:




Unidad  5 aplicación de la derivada:

5.1 recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.

Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por

Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):


recta normal a una curva en un punto:

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

5.2 teorema de valor medio (teorema de rolle o teorema de lagrange):

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

 

 

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

y así

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado a, b.

5.3 funcion creciente y decreciente:

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función     es estrictamente creciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,     y   , se cumple que:

 

 

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función     es estrictamente creciente en el punto de abcisa     si existe algun número positivo     tal que     es estrictamente creciente en el intervalo  

De esta esta definición se deduce que si     es derivable en     y     es estrictamente creciente en el punto de abcisa   , entonces   .

 

 

 

Función creciente en un intervalo

Una función     es creciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,     y   , se cumple que:

 

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función     es estrictamente decreciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,     y   , se cumple que:

 

 

 

 

 

 

 

 

1)      Máximos y minimos de una función:

Maximos y mínimos en una función

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.


Imagen:
Maximo de una función

Imagen:
Mínimo de una función

2)      Criterio de la segunda derivada:

  Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa. 

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

 Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada es creciente en ese  intervalo.

 

 

 

 

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos:

 Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

3) criterio de la primera derivada:

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Teorema de valor máximo y minimo:

Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).

2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).

3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide

 

 

 

 

 

 

 

 

4) concavidad y punto de inflexión:

  Concavidad y puntos de inflexión

 

 

Los posibles puntos de inflexión se identifican despejando a x de la ecuación que resulta una vez se ha igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de x para los cuales la segunda derivada no existe.

 

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7, halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de inflexión.










S o l u c i o n e s

 

 

 

En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos:


x

f (x)

f '(x)

f ''(x)

Conclusión




-

la gráfica de f es cóncava hacia abajo


0

9

0

f tiene un punto de inflexión




+

la gráfica de f es cóncava hacia arriba



 


fig.2

x

f (x)

f '(x)

f ''(x)

Conclusión




+

la gráfica de f es cóncava hacia arriba


0

0

0

f tiene un punto de inflexión




-

la gráfica de f es cóncava hacia abajo


-256

-128

0

f tiene un punto de inflexión




+

la gráfica de f es cóncava hacia arriba



 



En la tabla que sigue se resumen los resultados obtenidos:

x

f (x)

f '(x)

f ''(x)

Conclusión




+

la gráfica de f es cóncava hacia arriba


0

no existe

no existe

f tiene un punto de inflexión




-

la gráfica de f es cóncava hacia abajo

 

5.5 calculo de aproximaciones usando la diferencial:

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

 

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variación de f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, D f @ D RT .

Podemos expresar a D RT en términos de h y el ángulo q que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:

 

 

 

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