EL NOMBRE AURI


1.1 QUÈ ÉS EL NOMBRE AURI?

El nombre auri és, en matemàtiques, el quocient entre un segment menor i un segment major, que és el mateix que dividir un segment major entre una totalitat.




La formulació matemàtica de la definició es pot escriure com:


   



1.2  QUI VAN SER ELS SEUS DESCOBRIDORS?

Un dels seus orígens és en l’antiga civilització babilònica, que es basa en la relació entre aquesta proporció i les estrelles de cinc puntes que es van trobar en tauletes de fang del 3200 aC.

També s’han trobat raons molt properes al nombre auri en les posicions i proporcions de les piràmides de Giza, probablement els primers que van fer servir la raó àuria van ser els antics egipcis, però segurament no ho feien conscientment.
 
Concretament podríem dir que el nombre auri va ser descobert a l’antiga Grècia, sobretot pels Pitagòrics, ja que hi havia una aparició freqüent de la geometria. 

En el Partenó podem trobar-hi proporcions divines o molt pròximes a ella. El nombre d’or va ser molt utilitzat durant el Renaixement, en les arts plàstiques i en l’arquitectura. Era considerat la proporció perfecta entre els costats d’un rectangle i va ser la clau per algunes construccions de l’Antiga Grècia que es basaven en la geometria.


1.3 COM HO FEREN?

Amb la successió de Fibonacci. El problema ens porta a la seva solució:

''Algu va posar en una cort una perlla de conills nounats amb el propòsit de saber quantes parelles hi hauria després d'un any. La rolífica natural d'aquests animals indica que cada parella nouvinguda necessita un mes de maduració, durant el qual no es reprodueix però al final del segon mes dóna llum a una nova parella i després segueix parint cada mes una altra parella. Quantes parelles hi hauran al cap d'un any, suposant que cap conill mor:

La solució és simple, al principi tenim una parella, al final del primer mes continuem tenint una parella. Al cap del segon mes, la cort compta ja amb dues parelles. Al cap del tercer mes la parella inicial torna a alegrar-nos amb el nou part d'una parella, ara ja són tres parelles. Al cap del quart mes ja són cinc parelles... 


Aquesta successió: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... ha estat molt estudiada i s'han descobert propietats molt interessats.

Aquest nombre és el nombre auri i és igual a   



2.1 CÀLCUL DE LA ESTRELLA PITAGÒRICA

Per calcular la estrella pitagòrica hem de dividir una de les puntes (triangle auri) en dos parts iguals i obtindrem dos triangles rectangles. Els angles que obtenim són 90º, 72º i la meitat de l’angle de 36º, és a dir, 18º.


Després hem de buscar les relacions amb sinus, cosinus i tangent.

Cosinusà  72 = 1,6/5,2 = 0,3

A continuació per  fer  la tangent hem de saber el catet oposat:
 

1,6² + a² = 5,2²           2,56 + a² = 27,04                    a= 4,95

 

Tangentà  72= 4,95/1,6 = 3,07                     sinusà  72 = 5,15/5,4 = 0,95

 

Cosinus 18 = sinus 72                       sinus 18 = cosinus 72          

 

 tangentà  18 = 1,6/4,95 = 0,32

 

Buscarem comparacions amb el cosinus de l’angle del triangle auri:

 

Cosinusà  36 = 0,809                  sinusà  36 = 0,58               tangentà  36 = 0,726

 

Tangent  36 / cosinus 72 = 2,35         sinus  36 / tangent 18 = 1,8           cosinus 18 / sinus 36 = ɸ


L’estrella Pitagòrica o pentagrama és un altre exemple en el qual podem trobar no solament diverses vegades el nombre d’or, sinó altres nombres irracionals (arrels quadrades, nombres primers i tota operació aritmètica).



 


Dividim el segment major entre el següent més major, sense comptar l’anterior, i ho fem amb les quatre grandàries distintes de segments que tenim:

AD = 8,1 cm              DQ = 5 cm                 QP = 1,85 cm             PB  = 3 cm

AD/DQ = 8,1/5 = 1,62           DQ/QP = 5/3 = 1,66              QP/PB = 3/1,85= 1,62     


2.2 RELACIÓ ENTRE EL DNI I EL NOMBRE AURI

Si calculem les mesures d’una targeta de crèdit podem veure com si dividim l’allargada entre l’amplada obtindrem un nombre que s’aproxima al nombre auri.

Amplada: 5,4 cm

Llarg: 8,7 cm

8,7/5,4=  1,61111...

                                            


2.3 LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

En matemàtiques, la successió de Fibonacci també anomenada sèrie de Fibonacci és la següent successió infinita de nombres naturals:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377

La successió comença amb els nombres 0 i 1, i a continuació cada terme és la suma dels dos anteriors, aquesta és la relació de recurrència que la defineix.

Els elements que trobem en aquesta successió s’anomenen nombres de Fibonacci. Aquesta successió va ser descrita a Europa per Leonardo de Pisa, un matemàtic italià del segle XIII i que també era conegut com a Fibonacci.

Té nombroses aplicacions en ciències de la computació, en les matemàtiques i en la teoria de jocs. També apareix en configuracions biològiques, com per exemple en les branques dels arbres.

Si dividim dos nombres consecutius entre sí, el nombre major entre el nombre menor, podem veure que cada vegada es va apropant més el resultat al nombre auri.

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377

13/8= 1’625

21/13= 1’6153

34/21= 1’6190

55/34= 1’6176

89/55= 1’6181818…

144/89= 1’6179

233/144= 1’6180

377/233= 1’6180

Des del primer resultat al últim no hi ha una gran diferencia però si que podem observar que cada cop s’apropa més al nombre auri.


3.1 EL NOMBRE AURI A L'HOME PERFECTE 

L’home de Vitruvi és un famós dibuix que està acompanyat de notes anatòmiques de Leonardo da Vinci realitzat mes o menys l’any 1492 en un dels seus diaris. 

Representa una figura masculina despullada en dues posicions sobreimpreses de braços i cames i inscrita en un cercle i un quadrat.

 Es tracta de l’estudi de les porcions del cos humà, realitzat a partir de textos d’arquitectura de Vitruvi, arquitectura de l’antiga Roma, de la qual el dibuix pren el nom.

Podem observar que hi han quatre mesures diferents que s'han obtingut de restar mesures de parts del cos que dividides entre si donen una aproximació del nombre auri.

1. ALTRURA DE L'HOME ENTRE LA DISTÀNCIA DEL MELIC ALS PEUS.


14.2/8.8= 1.6136 cm


2. DISTANCIA DEL MELIC ALS PEUS DIVIDIT ENTE LA DISTANCIA DEL MELIC AL CAP. 


8.8/5.5= 1.6 cm


3. DISTANCIA DE L'HOMBRO FINS A LA PUNTA DE LA MA ENTRE LA DISTANCIA DEL COLZE FINS AL FINAL DE LA MA.


6/3.6= 1.6666... cm


4. LA DISTANCIA DE LA CADERA DIVIDIT ENTRE LA DISTANCIA QUE HI HA DEL TERRA AL GENOLL.

4.5/2.7= 1.6666... cm


4.1 EL NOMBRE AURI AL NOSTRE PROPI COS  

NOM

EDAT

A (altura total)

B (altura melic)

A/B

Elisa

15

166 cm

103 cm

1,61

2ª persona

17

175 cm

107 cm

1,63

3ª persona

50

182 cm

110 cm

1,65

 

Podem observar que el resultat de dividir l’altura total entre l’altura del melic ens dona un nombre aproximat al nombre auri i que es proporcional en totes les edats.


5.1 CONSTITUIM I ESTUDIEM L'ESPIRAL ÀURIA 

L’espiral àuria es una línia corba que es forma dins d’un rectangle auri. Aquest rectangle auri està format a partir de que el costat llarg és 1,618 vegades més gran que el costat curt. 

Aquesta proporció es troba en molts elements naturals (les flors, la closca dels cargols o la tija de les plantes), arquitectònics (Partenó, Notre Dame de París...) i artístics (la Mona Lisa, Home de Vitruvi o en els rectangles de Mondrian).

Fins i tot la podem trobar en el nostre cos (la relació que hi ha entre la nostra alçada i la distancia que hi ha entre els peus i el melic).

Per elaborar l’espiral àuria hem de seguir els passos següents:

Pas 1: fem un rectangle auri.


Pas 2: fem un quadrat de la mida del costat curt del rectangle, el rectangle que resulta també és auri.



Pas 3: tornem a fer un quadrat de la distancia del costat curt del segon rectangle, i anem repetint l’acció.


Pas 4: fem un quart de circumferència amb el compàs per dintre de cada quadrat.


Pas 5: si dibuixem les diagonals dels dos rectangles més grans es creuen en l’origen de l’espiral



6.1 DISSENY D'UN OBJECTE DE DIMENSIONS ÀURIES

A partir de les proporcions àuries podem fer molts objectes, com per exemple aquest gerro.